第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的 条件，q是p的_ 条件.(2)若pq，但qp，称p是q的 条件，若qp，但pq，称p是q的 条件.充分必要充分不必要必要不充分知识点二充要条件思思考考在ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B60”的什么条件？答案答案因为A，B，C成等差数列，故2BAC，又因为ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B60”的充要条件.梳梳理理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的 条件，简称充要条件.(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件.充分必要 (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立. 思考辨析思考辨析 判断正误判断正误 (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题.( )(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立.( )题型探究例例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件.(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定解答(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；解解两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，p是q的必要不充分条件.解解 矩形的对角线相等，pq，而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要条件.(3)p：AB，q：ABA；解答(4)p：ab，q：acbc.解解 pq，且qp，p既是q的充分条件，又是q的必要条件.解解 pq，且qp，p是q的既不充分也不必要条件.反思与感悟反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.跟踪训练跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a0满足题意；故p是q的必要不充分条件.解解易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要条件.(3)p：ABA，q：ABB；解答解解因为ABAABB，所以p是q的充要条件.解答所以qp，所以p是q的充分不必要条件.类型二充要条件的探求与证明命题角度命题角度1充要条件的探求充要条件的探求例例2求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么？解答反反思思与与感感悟悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.解答跟跟踪踪训训练练2已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数)，试问t1是否为数列an是等差数列的充要条件？请说明理由.命题角度命题角度2充要条件的证明充要条件的证明例例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明反反思思与与感感悟悟对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论.证明跟跟踪踪训训练练3求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.例例4设命题p：x(x3)0，命题q：2x3m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_.类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)解析解析p：x(x3)0，即0x3；由题意知pq，qp，则在数轴上表示不等式如图所示，即实数m的取值范围为3，).3，)答案解析q：2x3m，反反思思与与感感悟悟在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围.根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求出参数的范围.跟踪训练跟踪训练4记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件，则解析解析由题意知A(0,1)，m的取值范围为_.依题意，得BA，答案解析达标检测答案解析1.“x0”是“x2x0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12345解析解析由x2x0x1或x0，由此判断A符合要求.答案解析2.若a，b，c是实数，则“ac0”是“不等式ax2bxc0有解”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12345答案解析3.“关于x的不等式x22axa0，xR恒成立”的一个必要不充分条件是解析解析当关于x的不等式x22axa0，xR恒成立时，应有4a24a0，解得0a1.所以一个必要不充分条件是0a1.A.0a1 B.0a1D.a1或a012345答案解析4.设p：1x4，q：xm，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_.(用区间表示)4，)12345解析解析因为p为q的充分条件，所以1,4)(，m)，得m4.5.设p：|x|1，q：x2或x1，则q是p的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析解析由已知，得p：x1或x1，则q是p的充分不必要条件.12345充分不必要答案解析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“pq”及“qp”的真假，根据定义下结论.(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.规律与方法