下页返回首页结束曲线的凹凸性与拐点一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点与求法三、曲线的拐点与求法曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方（下凸）（下凸） 凸凸（上凸）（上凸） 凹凹上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义定义定义则相应地改称则相应地改称“凸函数凸函数”为为“严格凸函数严格凸函数”.上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义引理：引理：上页返回下页证：证：整理后即得证整理后即得证. 由必要性推导逆过程，从由必要性推导逆过程，从(*)得得(*).曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定定理定理1 1上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义定理定理2 2：上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义例例1 1解解注意到注意到,上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义方法方法1:1:上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义例例2 2解解凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐点拐点拐点拐点上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义拐点为拐点为上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义方法方法2:2:例例3 3解解上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义注意注意: :上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义例例4 4解解上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义利用函数的凹凸性可以证明不等式利用函数的凹凸性可以证明不等式. .例例提示：提示：上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义例例5 5证证上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义思考题思考题上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义思考题解答思考题解答例例上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义练练 习习 题题上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义练习题答案练习题答案上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义上页返回下页曲线的凹凸性与拐点【一元分析学讲义