3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近泰勒公式与函数的高阶多项式逼近（如下图）（如下图）3.3.1 泰勒公式泰勒公式问题的提出：问题的提出：仅仅是无穷小仅仅是无穷小泰泰 勒勒不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计、误差不能估计.1、多项式函数、多项式函数只包含加、减、乘三种只包含加、减、乘三种 运算，计算方便运算，计算方便.一个复杂一个复杂的函数能否用多项式近似表示出来？的函数能否用多项式近似表示出来？分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交这个多项式称为泰勒多项式这个多项式称为泰勒多项式. 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理证：证：n次次重复应用柯西中值定理得重复应用柯西中值定理得注注:(1)其中其中拉格朗日型余项拉格朗日型余项 . (2)当当n=0时，泰勒公式为拉格朗日公式时，泰勒公式为拉格朗日公式故泰勒公式是拉格朗日公式的推广，是关于高阶故泰勒公式是拉格朗日公式的推广，是关于高阶导数的中值定理导数的中值定理.(3)若取若取拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项麦克劳林公式麦克劳林公式 在泰勒公式中取在泰勒公式中取x0=0，就有，在包含原点的区间就有，在包含原点的区间此公式称为麦克劳林公式此公式称为麦克劳林公式.3.3.2 3.3.2 函数的高阶多项式逼近函数的高阶多项式逼近例：求例：求f(x)=sinx的麦克劳林公式的麦克劳林公式.例：求例：求f(x)=ln(1+x)的的n麦克劳林公式麦克劳林公式. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解解播放播放小结小结播放播放思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限思思考考题题解解答答练练 习习 题题练习题答案练习题答案TaylorMaclaurin