2.3.32.3.3直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解直理解直线和和圆的三种位置关系的三种位置关系. .2.2.会用会用圆心到直心到直线的距离来判断直的距离来判断直线与与圆的位置关系的位置关系. .3.3.能解决直能解决直线与与圆的位置关系的的位置关系的综合合问题. .素养达成素养达成学生通学生通过学学习直直线和和圆的位置关系的位置关系, ,体体验和和应用数形用数形结合思想方法合思想方法, ,促促进直直观想象、数学运算等核心素养的达想象、数学运算等核心素养的达成成. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成知识探究知识探究1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种直线与圆的位置关系有三种, ,分别是直线与圆分别是直线与圆 、 、 . .相离相离相交相交相切相切点击进入点击进入 情境导学情境导学2.2.直线和圆位置关系的判断直线和圆位置关系的判断(1)(1)代数法代数法将直线将直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0和圆和圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2+E+E2 2-4F0)-4F0)联立联立, ,得方程组得方程组消去消去y(y(或或x)x)得得mxmx2 2+nx+p=0(+nx+p=0(或或ayay2 2+by+q=0)+by+q=0)利用判别式利用判别式:当当=0=0时时, ,直线与圆直线与圆 ; ;当当00时时, ,直线与圆直线与圆 ; ;当当00时时, ,直线与圆直线与圆 . .相切相切相交相交相离相离(2)(2)几何法几何法已知直线已知直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,圆心到直线的距离圆心到直线的距离d= .d= .0dr0drdr直线与圆直线与圆 . .3 3. .过过圆圆上上一一点点P P( (x x0 0, ,y y0 0) )作作圆圆的的切切线线, ,若若圆圆的的方方程程为为x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2, ,则则切切线线方方程程为为 . .相交相交相切相切相离相离x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2(2)(2)若给出的点若给出的点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在圆外在圆外. .则过该点作圆的切线有两条则过该点作圆的切线有两条, ,可通过两种方可通过两种方法求圆的过法求圆的过P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线方程的切线方程. .几何法几何法: :设出切线方程设出切线方程y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )即即kx-y-kxkx-y-kx0 0+y+y0 0=0,=0,利用圆心到直线的利用圆心到直线的距离等于半径可得距离等于半径可得k k值值, ,从而确定出切线方程从而确定出切线方程. .注意注意 若若k k有一个值有一个值, ,说明另一条切线斜率不存在说明另一条切线斜率不存在, ,可直接写出可直接写出. .代数法代数法: :利用利用P(xP(x0 0,y,y0 0) )点设出切线方程点设出切线方程y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )代入圆的方程得关于代入圆的方程得关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程, ,由由=0=0可求得可求得k k值值, ,若若k k只有一个值只有一个值, ,说明另一条切线斜率不说明另一条切线斜率不存在存在, ,可直接写出可直接写出. .原因是在设直线方程时原因是在设直线方程时, ,漏去了斜率不存在的直线漏去了斜率不存在的直线. .(3)(3)关于圆的切线方程有以下结论关于圆的切线方程有以下结论经过圆经过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线方程为的切线方程为x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2. .经经过过圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2上上一一点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的的切切线线方方程程为为(x(x0 0-a)(x-a)+(y-a)(x-a)+(y0 0-b) -b) (y-b)=r(y-b)=r2 2. .注意注意 求弦长时求弦长时, ,应用几何法更为简便实用应用几何法更为简便实用. .自我检测自我检测A A1.1.直线直线x+y=1x+y=1与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0的位置关系是的位置关系是( ( ) )(A)(A)相交相交(B)(B)相切相切(C)(C)相离相离(D)(D)不确定不确定C CC C4.4.设直线设直线ax-y+3=0ax-y+3=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4相交于相交于A,BA,B两点两点, ,且弦且弦ABAB的长为的长为2 2 , ,则则a=a=. .答案答案: :0 0类型一类型一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系课堂探究课堂探究素养提升素养提升【例例1 1】 当当m m为何值时为何值时, ,直线直线mx-y-m-1=0mx-y-m-1=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x-2y+1=0-4x-2y+1=0相交、相切、相交、相切、相离相离? ?方法技巧方法技巧 利用上述两种方法都可进行判别利用上述两种方法都可进行判别, ,但几何法要比代数法更直观但几何法要比代数法更直观更简便更简便, ,容易理解容易理解, ,凡涉及与圆有关的距离问题都可以转化为圆心到直线的凡涉及与圆有关的距离问题都可以转化为圆心到直线的距离来分析研究距离来分析研究. .变式训练变式训练1 1- -1:1:m m为何值时为何值时, ,直线直线mx-y+2=0mx-y+2=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交. .类型二类型二 直线与圆的相切问题直线与圆的相切问题【例例2 2】 求过点求过点P(1,-7)P(1,-7)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=25=25相切的直线方程相切的直线方程. .解解: :因为因为1 12 2+(-7)+(-7)2 2=5025.=5025.所以点所以点P P在圆外在圆外. .法法一一设切线的斜率为设切线的斜率为k,k,由点斜式得由点斜式得y+7=k(x-1),y+7=k(x-1),即即y=k(x-1)-7, y=k(x-1)-7, 将将代入圆的方程代入圆的方程x x2 2+y+y2 2=25,=25,得得x x2 2+k(x-1)-7+k(x-1)-72 2=25,=25,整理得整理得(k(k2 2+1)x+1)x2 2-(2k-(2k2 2+14k)x+k+14k)x+k2 2+14k+24=0,+14k+24=0,=(2k=(2k2 2+14k)+14k)2 2-4(k-4(k2 2+1)+1)(k(k2 2+14k+24)=0.+14k+24)=0.方法技巧方法技巧 过一点求圆的切线过一点求圆的切线, ,应首先判定点与圆的位置关系应首先判定点与圆的位置关系,若在圆若在圆上上, ,则该点即为切点则该点即为切点, ,可利用垂直求斜率可利用垂直求斜率, ,切线只有一条切线只有一条,若在圆外可根据若在圆外可根据此点设出切线方程此点设出切线方程, ,利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率, ,这时切线有这时切线有两条两条. .变式训练变式训练2-1:2-1:求过点求过点P(-1,5)P(-1,5)且与圆且与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4相切的直线方程相切的直线方程. .(2)(2)当斜率当斜率k k不存在时不存在时, ,直线方程为直线方程为x=-1,x=-1,此时与圆正好相切此时与圆正好相切. .综上综上, ,所求圆的切线方程为所求圆的切线方程为x=-1x=-1或或5x+12y-55=0.5x+12y-55=0.类型三类型三 直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题【例例3 3】 直线直线l l经过点经过点P(5,5)P(5,5)且和圆且和圆O:xO:x2 2+y+y2 2=25=25相交截得弦长为相交截得弦长为4 ,4 ,求直求直线线l l的方程的方程. .方法技巧方法技巧 此题应从直线的斜率存在和不存在两方面综合考虑此题应从直线的斜率存在和不存在两方面综合考虑, ,若斜率不若斜率不存在存在, ,可直接写出直线方程可直接写出直线方程x=5,x=5,若斜率存在若斜率存在, ,应设出点斜式方程求解应设出点斜式方程求解, ,显然显然几何法优于代数法几何法优于代数法. .变式训练变式训练3-1:3-1:直线直线x+ y+m=0x+ y+m=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x-6=0-4x-6=0相交于相交于A,BA,B两点两点, ,若若|AB| |AB| 2,2,则则m m的取值范围是的取值范围是( () )(A)-8,8(A)-8,8(B)-4,4(B)-4,4(C)-8,4(C)-8,4(D)-4,8(D)-4,8类型四类型四 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题【例例4 4】 已知圆已知圆C:(x-3)C:(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4=4和直线和直线l:kx-y-4k+3=0,l:kx-y-4k+3=0,(1)(1)求证求证: :不论不论k k取何值取何值, ,直线和圆总相交直线和圆总相交; ;(1)(1)证明证明: :由圆的方程由圆的方程(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=4=4得圆心得圆心(3,4),(3,4),半径半径r=2,r=2,由直线方程得由直线方程得l:k(x-4)+(3-y)=0,l:k(x-4)+(3-y)=0,即直线即直线l l过定点过定点(4,3),(4,3),而而(4-3)(4-3)2 2+(3-4)+(3-4)2 2=24,=24,所以所以(4,3)(4,3)点在圆内点在圆内. .故直线故直线kx-y-4k+3=0kx-y-4k+3=0与圆与圆C C总相交总相交. .(2)(2)求当求当k k取何值时取何值时, ,圆被直线圆被直线l l截得弦最短截得弦最短, ,并求此最短值并求此最短值. .方法技巧方法技巧 通过分析圆的性质寻找解题途径通过分析圆的性质寻找解题途径, ,由于直线可以看作是绕定点由于直线可以看作是绕定点(4,3)(4,3)旋转的动直线旋转的动直线, ,在旋转过程中在旋转过程中, ,当弦最短时当弦最短时, ,弦心距最长弦心距最长. .