微分方程 第十二章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第十二章 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证函数是微分方程的解,的特解 . 解解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数,利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可可分离变量方程分离变量方程 第十二章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:解解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解法解法 1 分离变量即( C 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h ,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解解:令得再令 YX u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 得 C = 1 , 故所求特解为思考思考: 若方程改为 如何求解? 提示提示:第四节 目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第十二章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例3. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为因此有即初始条件: 由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程:由初始条件: 得利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方方程程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求方程的通解.解解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十二章 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程则称为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解解: 因为故这是全微分方程. 则有因此方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解解: 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为即故原方程的通解为或机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程这不是一个全微分方程 ,就化成例2 的方程 .使为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数 积分因子.例2 目录 上页 下页 返回 结束 常用微分倒推公式常用微分倒推公式:积分因子不一定唯一 .例如, 对可取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解解: 分项组合得即选择积分因子同乘方程两边 , 得即因此通解为即因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解方程解法解法1 积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 化为齐次方程. 原方程变形为积分得将代入 ,得通解此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 化为线性方程. 原方程变形为其通解为即此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十二章 一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 M : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端积分得因此有注意注意“”号号机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 y = R 时由原方程可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 解初值问题解解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解解:于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.机动 目录 上页 下页 返回 结束 速度大小为 2v, 方向指向A , 提示提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有去分母后两边对 x 求导, 得又由于设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入 式得所求微分方程:其初始条件为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求电容器两两极板间电压 例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .提示提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于的方程:故有 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程. 例例1例例2 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得复习 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: 设的解为 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令于是将以上结果代入方程 : 得故, 的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 积分得: 代入 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明说明: 将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2. 仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解: 代入 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.的通解为 的通解.解解: 将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组: 积分得故所求通解为, 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.的通解.解解: 对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换. 特征根:设的特解为于是得的通解: 故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第十二章 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解解: 位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 解的解的特征特征解的解的特征特征解的解的特征特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解推广 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 解解: 特征方程:即其根为方程通解 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程的通解 .答案答案:通解为通解为通解为第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节一、一、二、二、 第十二章 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解定解问题解解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为第七节例1中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1 . (填空) 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程:通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求下列方程的通解:提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为(贝努里方程) (分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u t(齐次方程)令 t = x 1 , 则可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得于是 求以为通解的微分方程.提示提示:消去 C 得 求下列微分方程的通解:提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程提示提示: 为贝努里方程 , 令提示提示: 为全微分方程 , 通解提示提示: 可化为贝努里方程令微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 , 即则故原方程通解提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为( 齐次方程 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 能否根据草图列方程?练习题练习题:已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题6. 已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时解定解问题因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 .初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题2 求以为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为 题题3 求下列微分方程的通解提示提示: (6) 令则方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思思 考考若 (7) 中非齐次项改为提示提示:原方程通解为特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题4(2) 求解提示提示: 令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题8 设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二阶可导, 且试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:利用对称性, 即( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解初值问题:则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根 :例例1. 求微分方程提示提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解 :代入方程定 A, B, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题:最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 设提示提示: 对积分换元 ,则有解初值问题: 答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 例例3.设函数内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规例例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数提示提示:两边对 s 求导得:牛顿第二定律为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段下垂 x m , 又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件得故定解问题的解为解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故再积分得通解复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (1) 验证函数满足微分方程(2) 利用(1)的结果求幂级数的和.解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)所以(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入初始条件可得故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束