1第五章 超静定结构的内力与位移计算研究对象：超静定结构主要内容：内力与位移计算超静定结构特性：(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系几何构造特性：几何不变有多余约束体系(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。均可产生内力。 超静定结构种类：基本解法：力法以多余约束力作为求解的基本未知量力法以多余约束力作为求解的基本未知量位移法以未知结点位移作为求解的基本未知量位移法以未知结点位移作为求解的基本未知量25-1 力法超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。 确定方法：去掉多余约束，将超静定结构变为静定结构，即可确定超静定次数即去掉多余约束，将超静定结构变为静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。力法基本未知量的个数。 一、超静定次数的确定强调：（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。3举例：4 二、力法基本概念 力法的核心思想：是把超静定结构转化为一个等效的静定结构来求解。力法的核心思想：是把超静定结构转化为一个等效的静定结构来求解。(a) 原超静定结构 (b) 力法基本结构 (c) D1P图 (d) D11图 (e) d11图 (f) MP图 (g) M1图 (h) M图 D1=0, D1=D11+D1P=0, D11=d11X1, d11X1+D1P=0, 力法典型方程5 三、力法典型方程 力力法法典典型型方方程程就就是是多多余余约约束束处处的的位位移移方方程程。下下面面以以图图所所示示刚刚架架为为例例，讨讨论论力力法法方方程程的一般形式。的一般形式。 D1=0, D2=0, D3=0 D1=D11+D12+D13+D1P=0，D2=D21+D22+D23+D2P=0，D3=D31+D32+D33+D3P=0 (i, j=1, 2, 3) 6对于n次超静定结构，去掉n个多余约束，代之以n个多余约束力X1、X2、Xn，得到力法的基本未知量与力法基本结构。依照上面的分析，根据n个多余约束处的位移方程，即D1=0，D2=0，Dn=0，可建立如下形式的力法典型方程 对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点：(1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程；(2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必为正，即dii0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外界因素无关；(3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可为正、负或0；(4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；7 力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位移，相应的计算公式为 显然，对于各种具体结构，通常只需计算其中的一项或两项。系数与自由项求出后，将它们代入力法典型方程中即可解出各多余约束力。然后，利用平衡条件可求出其余反力与内力。 8四、力法计算步骤与示例 例题5-1. 用力法计算图所示超静定刚架，并作出M图。 原结构 力法基本结构 M1图 M2图 MP图 M图结论：(1)荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与杆件刚度的绝对值无关；(2) 刚度大的杆件，往往内力也较大。9 力法的解题步骤 (1)确定原结构的超静定次数，去掉多余约束，代之以多余约束力，得到一个静定结构作为力法的基本结构，以多余约束力作为力法的基本未知量。(2) 根据原结构在多余约束处的位移约束条件，列出相应的力法典型方程。(3) 令各多余约束力分别等于1单独作用在力法基本结构上，作出相应的弯矩图或求出相应的内力；令荷载单独作用在力法基本结构上，作出相应的弯矩图或求出相应的内力。(4) 按静定结构求位移的方法，计算出力法方程中的各柔度系数与自由项。(5) 求解力法方程，解出各多余约束力。(6) 多余约束力已知的情况下，按静定结构分析方法求出其余未知的反力或内力，并作出原结构的弯矩图或求出原结构的内力。 10例题5-2. 用力法求解图所示两端固定超静定梁。其EI=常数。 原结构 力法基本结构 X1=1 X2=1 X3=1 MP图 M图d13=d31=0, d23=d32=0 d33=l/(EA)0, D3P=0 X3=0 结论：梁结构，不管是静定还是超静定梁，在竖向荷载的作用下，水平反力必为0，这是梁式结构与拱式结构的主要区别。拱式结构在竖向荷载的作用下，水平约束反力不为0。 11例题5-3. 用力法求解图示超静定桁架。EA=常数。 原结构 力法基本结构 X1=1 FNP FN 若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不为0，而应该等于杆DE的轴向缩短。12五、支座移动时超静定结构的计算 求解思路与荷载作用的情况相类似。对于n次超静定结构，可以去掉n个多余约束，代之以n个多余约束力X1、X2、Xn，得到力法的基本未知量与力法基本结构。力法基本结构在n个多余约束力与支座移动的共同作用下，应与原结构完全等效。原结构沿n个多余约束力方向的位移分别为D1、D2、Dn(等于0或不等于0)，则此时力法典型方程为 13例题5-5. 图示两端固定梁，A端发生转角q，试用力法求解并作出M图。 原结构 力法基本结构 X1=1 X2=1 M图将单位长度上的抗弯刚度定义为线刚度，即i=EI/l，则有，X1=4iq, X2=2iq。 结论：支座移动或温度变化引起的超静定结构的内力，与杆件刚度EI的绝对值有关，这一点与荷载作用的情况不同。 14六、温度变化时超静定结构的计算 n次超静定结构在温度变化时，求解的基本思路与前面类似。去掉n个多余约束，代之以多余约束力X1、X2、Xn，得到力法的基本未知量与基本结构。基本结构在多余约束力与温度变化共同作用下，应与原结构完全等效，而原结构沿n个多余约束方向的位移一般为0，此时力法典型方程可写成 15例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为a。 原结构 力法基本结构 FN1 M1 M图165.2 位移法 结构在外界因素作用下，其内力与位移之间恒具有一定的关系。先设法求出内力，然后便可计算相应的位移，这就是力法。但也可以反过来，先设法求解出结构的位移，再确定结构的内力，这便是位移法。力法是以多余约束力作为求解的基本未知量，位移法则以某些结点位移作为求解的基本未知量，这是二者的基本区别之一。位移法基本思路： 一、位移法基本概念 原结构 位移法基本体系 结构的离散 Z1单独发生时 荷载单独作用时 M图 M12+M13=0 17二、等截面直杆的转角位移方程 位移法符号规定杆端剪力：绕隔离体顺时针为正，这与以前的规定相同。杆端弯矩：绕杆端顺时针为正，对于结点或支座来说则是逆时针正。角位移：顺时针方向为正。线位移：使整个杆件顺时针转动为正。 1. 两端固定梁 两端固定梁的转角位移方程为 182. 一端固定一端铰支的梁 由可解出可见铰支座、铰结点处的转角不是独立的结点位移一端固定一端铰支梁的转角位移方程为193. 一端固定一端定向滑动的梁 由B端剪力为0 可解出 不是独立的结点位移 一端固定一端定向滑动梁的转角位移方程为的转角位移方程为由三种单跨超静定梁的转角位移方程，可计算出单位杆端位移引起的杆端弯矩与剪力，具体结果列于表5-1。另外，荷载作用下产生的固端弯矩与剪力见表5-2，温度变化引起的杆端弯矩与剪力见表5-3。 202122三、位移法的基本未知量与基本体系 位移法的基本未知量：结构中独立的未知的结点位移。注意(1)所有支座处与自由端点处的角位移与线位移(如果有的话)，不作为位移法的求解未知量，仅考虑结构的内部结点即可。 (2)(2)铰结点处的杆端角位移不是位移法的基本未知量。 位移法的基本体系：在刚结点上附加刚臂约束(只限制转动，不限制刚结点的线位移)，在结点线位移方向上施加链杆支座约束，就得到位移法的基本体系。 位移法实际上是把原结构离散成若干根单跨超静定梁，然后根据原结构的边界约束条件与变形协调条件，再组装回原来的结构。 原结构 位移法基本体系 位移法离散体系23 原结构 位移法基本体系 原结构 位移法基本体系 原结构 位移法基本体系 24四、位移法典型方程与计算步骤R1=0, R2=0 R1=0说明刚结点1满足力矩平衡条件R2=0意味着铰结点2满足水平方向力的平衡条件。 位移法典型方程的物理意义：基本体系在荷载与结点位移共同作用下，每一个附加约束上的反力为0，此时基本体系与原结构完全等价。位移法典型方程实质上是结点沿结点位移方向的平衡方程。 25 对于具有n个独立结点位移的结构，需要相应地施加n个附加约束。根据每个附加约束上的附加反力或反力矩应为0的平衡条件，可建立位移法典型方程如下： 位移法典型方程的一般形式上述方程中，rii称为主系数，rij称为副系数，RiP称为自由项。刚度系数与自由项的符号规定是，与结点位移方向一致为正。故rii0，恒为正。根据反力互等定理有，rij=rji，可正，可负，可为0。上式也称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。 关于位移法方程中刚度系数与自由项的计算，由于它们均是附加约束上的反力或反力矩，可由相应的平衡条件求出。 2627位移法的解题步骤(1)确定位移法的基本未知量，即刚结点的角位移与独立的结点线位移，并添加相应的附加刚臂约束和附加链杆支座约束，得到位移法基本体系。(2) 基本体系在结点位移与荷载共同作用下，附加约束上的反力(或反力矩)应为0，据此列出位移法典型方程。(3) 令Z1=1单独作用在基本体系上，作出 图。 令Z2=1单独作用在基本体系上，作出 图。 其余类推。令荷载单独作用在基本体系上，作出MP图。 (4) 根据相应的平衡条件求出各刚度系数与自由项。注意，主系数rii0，恒为正。副系数满足反力互等定理，即rij=rji。副系数rij与自由项RiP可正、可负、可为0。(5) 联立求解位移法典型方程，求出各结点位移。(6) 根据叠加原理，计算各杆端最后的杆端弯矩值，并绘出M图。28例题5-8 试用位移法求解图5.27(a)所示变截面阶梯形梁，并绘出M图，E=常数。 原结构 基本体系29例题5-9 图示刚架，支座A发生角位移j，支座B产生竖向位移，E=常数。试作位移法求解并绘M图。 设i=EI/l，则iAC=i，iBC=8i/3。 r11=8i+4i=12i