专题六功 和 能典 例 赏 析要 点 回 顾复 习 指 南 功和能是物理学的重要概念.能的转化和守恒定律是自然界中最重要、最普通、最基本的客观规律.功和能量转化的关系不仅为解决力学问题开辟了一条新的、重要的途径，同时它也是分析解决电磁学、热学等领域中问题的重要依据.运用能量的观点分析解决有关问题时，可以不涉及过程中力的作用以及运动细节，关心的只是过程中的能量转化的关系和过程的始末状态，这往往更能把握住问题的实质，使解决问题的思路变得简捷，并且能解决一些用牛顿定律无法解决的问题，如变力作用过程，曲线运动等. 和牛顿运动定律求解动力学问题一样，应用功能关系和能量转化与守恒定律解题也要进行过程分析，能够正确分析问题所涉及的物理过程仍然是求解动力学问题的关键环节.对过程较为复杂的问题要通过画过程示意图将全过程划分为若干阶段，正确分析各阶段的物理实质，弄清各阶段所遵循的物理规律和各阶段的联系.当然，还应理解求解动力学问题的常用方法，掌握它们的使用条件.复复 习习 指指 南南 返回目录要要 点点 回回 顾顾 1.功的物理含义 关于功我们不仅要从定义式 进行理解和计算, 还应理解它的物理含义. 功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化.对物体做正功，物体的能量 .做了多少正功，物体的能量就 了多少；对物体做负功，也称物体 ，物体的能量减少，做了多少负功，物体的能量就减少多少.因此功的正、负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量. 2.机车的两种加速问题.当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是 .和 .返回目录要要 点点 回回 顾顾 恒定功率的加速.由公式PFv和Ffma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做 运动，直到Ff，a0，这时v达到最大值 .可见恒定功率的加速一定不是匀加速.这种加速过程发动机做的功只能用 计算，不能用WFs计算（因为F为变力）. 恒定牵引力的加速.由公式PFv和Ffma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了.这时匀加速运动结束，其最大速度为vm vm，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了.可见恒定牵引力加速时功率一定不恒定.这种加速过程发动机做的功只能用 计算，不能用WPt计算（因为P为变功率）.返回目录要要 点点 回回 顾顾 3.力学领域中功能关系的主要形式 合外力的功等于物体动能的增量，即：W合 ，这就是动能定理. 重力的功等于重力势能增量的负值，即：WG . 弹力的功等于弹性势能的增量的负值，即：W弹 . 此外，分子力的功和分子势能、电场力和电势能的关系在形式上也和上述相同 除系统内的重力和弹力以外，其他力做的总功等于系统机械能的增量，即：WFE末E初 滑动摩擦而产生的热量等于 . 静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零，而没有内能产生. 对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失.返回目录要要 点点 回回 顾顾 4.计算变力的功 方向不变，大小与 关系的力（如弹簧的弹力），可用平均力（ ）代入功的公式计算. 大小不变，方向总跟运动方向相反的力（如滑动摩擦力），功等于 的乘积. 用动能定理计算. 5.机械能守恒定律 在只有重力做功（或系统内弹簧的弹力做功）的情形下，物体的动能和重力势能（或弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律. 机械能守恒定律表达形式 ， 即EpEkEpEk；返回目录要要 点点 回回 顾顾 物体初状态的动能、势能之和与末状态的动能、势能之和相等.用这种表达式时需要规定重力势能的参考平面. EpEk0；EpEk； 物体或系统的动能的增加等于 . E1E20；E1E2； 系 统 内 只 有 两 个 物 体 时 ， 一 个 物 体 机 械 能 的 增 加 等 于 . 用式时不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系. 6.机械能是否守恒的判断方法 对某一物体，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功，其它力_ 或其它力做功的 ，则该物体的机械能守恒. 对有多个物体的系统,物体间只有动能和重力势能（弹性势能）的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其它形式的能（或者说没有摩擦和介质阻力等力的作用）,则系统的机械能守恒.返回目录典典 例例 赏赏 析析 例1 如图所示，一物块以6 m/s的初速度从曲面A点下滑，运动到B点速度仍为6 m/s；若物体以5 m/s的初速度仍由A点下滑，则它运动到B点时的速度 （ ） A.大于5 m/s B.等于5 m/s C.小于5 m/s D.条件不足，无法计算 分析 重力做功与路径无关，只与物体所处的初末位置有关.摩擦力做功与物体表面粗糙程度、正压力大小、路径有关，当物体运动路程一定时.对同一路面，在相同路程的条件下，曲面对物块的支持力越大，摩擦力越大，摩擦力的功越大.返回目录 解析 物块由A点运动到B点，重力做正功，摩擦力做负功，由动能定理有 当物块初速度为6 m/s时，物块由A点运动到B点的过程，速度大小不变，动能变化为零，WGWf 由于物块做圆周运动，速度越大，所需向心力越大，曲面对物块的支持力越大，摩擦力越大，在相同路程的条件下，摩擦力的功越大，所以，当物块初速度为5 m/s时，摩擦力的功比初速度为6 m/s时要小，WGWf ，到达B点的速度将大于5 m/s.典典 例例 赏赏 析析 返回目录 答案 A典典 例例 赏赏 析析 返回目录 点评不同的力做功的特点不同，重力、弹簧弹力、分子力、电场力等做功与物体运动路径无关，只与物体所处的初末位置有关，做功的大小等于相应势能的变化.摩擦力、安培力做功与路径有关，洛仑兹力总是与运动方向垂直，不做功. 变式练习1 如图所示，斜面足够长，其倾角为，质量为m的滑块，距挡板P距离为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？典典 例例 赏赏 析析 返回目录 例2 2 电动机通过一绳子吊起质量为8 kg的物体，绳的拉力不能超过120 N，电动机的功率不能超过1200 W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m（已知此物体在被吊高接近90 m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？（g10 m/s2） 分析 此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升. 解析 在匀加速运动过程中加速度为 m/s25 m/s2，典典 例例 赏赏 析析 返回目录 末速度vt m/s10 m/s 上升的时间 s2 s， 上升高度为 m10 m 在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为 15 m/s 外力对物体做的总功WPmt2mgh2， 动能变化量为Ek mv mv 由动能定理得Pmt2mgh2 mv mv 代入数据后解得t25.75 s,所以tt1t27.75 s所需时间至少为7.75 s.典典 例例 赏赏 析析 返回目录 答案 7.75 s. 点评 机车牵引物体运动有两种物理模型：以恒定功率运动，其特点是机车牵引功率恒定，物体做加速度减小的加速运动.以恒定加速度运动，此种情况下机车的牵引功率不断增大，当牵引功率达到额定功率时，这种匀加速运动结束. 机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力决定的，最大速度与所受阻力有关. 变式练习2 环保汽车将为2008年奥运会场馆服务.某辆以蓄电池为驱动能源的环保汽车，总质量m3103 kg.当它在水平路面上以v36 km/h的速度匀速行驶时，驱动电机的输入电流I50 A，电压U300 V.在此行驶状态下：典典 例例 赏赏 析析 返回目录 （1）求驱动电机的输入功率P电； （2）若驱动电机能够将输入功率的90%转化为用于牵引汽车前进的机械功率P机，求汽车所受阻力与车重的比值（g取10 m/s2）； （3）设想改用太阳能电池给该车供电，其他条件不变，求所需的太阳能电池板的最小面积.结合计算结果，简述你对该设想的思考. 已知太阳辐射的总功率P041026 W，太阳到地球的距离r1.51011 m，太阳光传播到达地面的过程中大约有30%的能量损耗，该车所用太阳能电池的能量转化效率约为15%.典典 例例 赏赏 析析 返回目录 例3 3 一质量为m的质点,系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点,假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的.今把质点从O点的正上方离O点的距离为 R的O1点以水平的速度v0 抛出,如图所示.试求； （1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？ （2）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？ 分析 质点的运动可分为三个过程：质点做平抛运动；绳绷直过程；小球在竖直平面内做圆周运动.解答时容易忽视在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失. 解析 第一过程：质点做平抛运动.设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如题图所示， 则：v0tRsin典典 例例 赏赏 析析 返回目录 gt2 RRcos 其中v0 联立解得 ，t . 第二过程：绳绷直过程.绳绷直时，绳刚好水平，如图所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，v0损失，质点仅有速度v，且vgt . 第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动.设质点到达O点正下方时，速度为v，根据机械能守恒定律有： mv2 mv mgR 设此时绳对质点的拉力为T,则Tmgm ,联立解得：T mg. 答案 （1）90 （2）T mg.典典 例例 赏赏 析析 返回目录 拓展 其它条件不变，抛出点改为O点，本题结果又怎样？ 点评 运动分析应特别注意分析瞬时变化过程，如绳拉直、绷直、碰撞瞬间等.这些瞬时变化过程一般伴随机械能的损失，绳绷直时一般沿绳方向上的速度立即变化零. 变式练习3 一带正电的小球, 系于长为L的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O点，它们处在匀强电场中，电场的方向水平向右，场强的大小为E.已知电场对小球的作用力的大小等于小球的重力.现先把小球拉到图中的P1处，使轻线拉直，并与场强方向平行，然后由静止释放小球.已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，其速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小球到达与P1点等高的P2点时速度大小为 （ ） A. B. C. 2 D. 0典典 例例 赏赏 析析 返回目录 例4 4 如图所示，匀强磁场B T，方向竖直向下，正方形线框每边长为0.4 m，总电阻为0.16 , ad、dc、cb三边为细金属线，其质量忽略，其中dc边固定不动，ab边质量为100 g，将线框拉至水平后释放，ab边经0.4 s到达最低位置，速度为1.6 m/s，求此时线框中感应电流的瞬时值以及转动过程中的平均感应电流和感应电流的有效值, 取g10 m/s2. 分析 线框以dc边为轴从水平位置转到竖直位置过程中，能量发生了转化，ab边的重力势能一部分转化为动能，另一部分由于线圈中磁通量的变化转化为电能. 解析 在转动的过程中通过线框的平均感应电流典典 例例 赏赏 析析 返回目录 根据能量守恒定律，有mgl mv2I2Rt 解得感应电流的有效值为 线框在最低位置时，ab边的速度恰与磁场方向垂直，则ab边切割磁感线产生的感应电动势EBlv 线框中感应电流的瞬时值为 （A）2.83 A 答案 2.83 A 1.77 A 2.0 A. 点评 线框边运动到最低位置的过程中, 产生随时间变化的感应电流(不要误认为按正弦规律变化). 计算平均感应电流, 用 ;计算电流的有效值,用电流通过电阻R时产生的焦耳热,即I2RtQ. 运用能量守恒定律时应注意分析有哪些形式的能量发生了变化，增加了还是减少了. 例5 5 如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时OB与地面垂直,放手开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是 （ ）典典 例例 赏赏 析析 返回目录 变式练习4 一个半径为r、质量为m、电阻为R的金属圆环，用一根长为L的绝缘细绳悬挂于O点，离O点下方L/2处有一宽度为L/4的垂直纸面向里的匀强磁场区域，如图所示.现使圆环由与悬点O等高位置A处由静止释放，下摆中金属环所在平面始终垂直磁场，则金属环在整个过程中产生的焦耳热是 （ ） A.mgL B.mg(L/2r) C.mg(3L/4r) D.mg(L2r)典典 例例 赏赏 析析 返回目录 A. A球到达最低点时速度为零 B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量 C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度 D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到其初始高度 解析 A、B两球系统机械能守恒.若以初始状态B球所在水平面为零势面，则总的机械能为2mgh. 当A球在最低点时，B球重力势能为mgh，减少的势能（mgh）转化为A、B两球的动能，所以B球还要继续上升，A、B两球的速度不为零.且此时B球位置与A球的初始位置等高，即B球继续向上摆动，最高位置将高于A球的初始位置.所以，选项A错、C对. 在整个过程中，系统的机械能守恒，所以A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量.选项B正确. 同理，由于机械能守恒，当支架从左向右回摆时，A球一定能回到其初始高度.选项D正确.典典 例例 赏赏 析析 返回目录 答案 BCD 拓展 可否将两球看作一个整体，利用机械能守恒定律求解？试试看. 点评 对机械能守恒条件的认识.如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律.没有摩擦和介质阻力，这是机械能守恒的条件. 具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变.如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，所以弹性势能和动能的总和保持不变.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒， 关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功， 这一力典典 例例 赏赏 析析 返回目录做功是什么形式的能转化成什么形式的能.如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变.如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化. 变式练习5 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角30，另一边与地面垂直, 顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接, A的质量为4m, B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块与斜面间无摩擦，若A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了.求物块B上升的最大高度H.