4 43 3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性性质质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。1一、幅角定理一、幅角定理( (KauthyKauthy 幅角定理幅角定理) ) 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数.通常可写成如下形式 式中 是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得 比较式（4107）和式（4106）可知， 辅助函数 的零零点点 即即闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点，即系统特征方程 的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。2 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则（一）（一）S S平面与平面与 平面的映射关系平面的映射关系 3 如图437所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。 图4-37 S平面上的点在F（S）平面上的映射4 如图438所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。 图4-38 S平面到F(s)平面的映射5（二）幅角定理（映射定理）（二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线s，并使s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F。当解析点解析点s按顺时针按顺时针方向沿s 变化一周时，则在 平面上， F 曲线按逆时针方向绕原点的周数逆时针方向绕原点的周数N N等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z N=P-Z （4108） 式中，若N0N0，则则 F按逆时针按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N0Nm时， （4-121）s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐标原点（图443（b）。奈氏轨迹s 在GH平面上的映射 称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。(4-120)(4-119) 2、当 在S平面的虚虚轴轴上上（包包括括原原点点）有有极极点点时时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，s必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第4部分曲线，如图4-44所示。其中（1）（2） 和（3）部分的定义与图442相同. 第（第（4 4）部分的定义）部分的定义是：表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）。这样， s 既绕过了 原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将s 绕过这些虚轴上的极点。设系统的开环传递函数为 （4-122）其中v v称为无差度称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环极点数。当 时， (4-123)16 式(4-123)表明， s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺顺时时针针旋旋转转的的无无穷穷大大圆圆弧弧，旋转的弧度为 弧度。图445（a）、（b）分别表示当 v=1v=1和v=2v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。图4-44 虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹图4-45 时的奈氏曲线s17 应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况三种情况： (i) 当系统开环传递函数 的全全部部极极点点都都位位于于S S平平面面左左半半部部时时（P=0P=0），如果系统的奈氏曲线 不不包包围围GH平面的 点（N=0），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的； （ii)当系统开环传递函数 有p p个个位位于于S S平平面面右右半半部部的的极极点点时，如果系统的奈氏曲线 逆逆时时针针包包围围 点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的； (iii) 如果系统的奈氏曲线 顺时针包围 点（N0），则闭环系统不稳定（Z=P-N0）。 （iv）当 曲线恰好通过GH平面的 点（注意不不是是包包围围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定临界稳定状态。 综上，奈氏曲 线 是否包围GH平面的 点是判别系统是否稳定的重要依据。18五、奈氏判据的应用五、奈氏判据的应用 例46 试用奈氏判据分析例41系统的稳定性。解该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当 时系统的奈氏曲线如图 4-46所示。该系统的两个开环极点 和 均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0，由图4-46可知，系统的奈氏曲线 不包围 点（N=0），根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数 Z=PN=0， 该闭环系统是稳稳定的定的确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重要统的稳定性很重要!。19图4-46 例4-6奈氏曲线20 例例47 47 试试用用奈奈氏氏判判据据分分析析例例4343系系统统的的稳定性。稳定性。 解 该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是当 时，系统的奈氏曲线如图 448所示。由于系统含有一个积分环节（v=1），当 对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图448中虚线所示）。21图4-48 例4-7奈氏曲线开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大小，当 时， 不包围 点，即N=0图4-48（a），系统是稳定的；当 时,奈氏曲线 顺时针包围 点两周，即 ,图4-48（b），系统不稳定。22 例48已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。解解 系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是23图4-50 例4-8系统的奈氏曲线24