任课教师：杨坤一任课教师：杨坤一联系方式：联系方式：E-mail：yangkunyincut.edu.cn办公室：四教西办公室：四教西3051、基因间、基因间“距离距离”的表示的表示 线性代数的应用举例线性代数的应用举例2、Euler的四面体问题的四面体问题3、动物数量的按年龄预测问题、动物数量的按年龄预测问题4、企业投入产出分析模型、企业投入产出分析模型2011年考研数学大纲数学一、二、三数学一、二、三 数学数学 : 线性代数线性代数 (22% )； 高等数学、概率论与数理统计高等数学、概率论与数理统计 ；4学习方法：学习方法：（1）预习）预习（2）听课、听课、记笔记记笔记（3）复习、完成作业）复习、完成作业（4）答疑）答疑考研：建议自学典型例题考研：建议自学典型例题u第一章第一章 行列式行列式u第二章第二章 矩阵矩阵u第三章第三章 向量组的线性相关性与线性方程组向量组的线性相关性与线性方程组u第四章第四章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型u第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换目录第一章 行列式 1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义 1.2 1.2 行列式的性质行列式的性质 1.3 1.3 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 1.4 1.4 克莱姆法则克莱姆法则第第 一一 节节 行行 列列 式式 的的 定定 义义一、二阶行列式给定 a、b、c、d 四个复数，称为一个二阶行列式。其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。为方便记主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如二、三阶行列式同理，称为一个三阶行列式。使用对角线法则计算：例例例例1 1 1 1 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有三、排列及其逆序数定义1.1 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级排列。记为 j1 j2 jn. 例如 32514 是一个5级排列 83251467是一个8级排列定义1.2 在在一个排列 中，若数 即较大的数码排在较小的数码之前即较大的数码排在较小的数码之前则称这两个数组成此排列的一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ） 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。排列的逆序数排列的逆序数例如 排列 32514 中3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为 ( 32514)=3+1+0+1+0=5.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法例例1 1 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数解解解解四、n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明(1) 每每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（2 2）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式123，231，312 此三项均为正号，逆序数：0，2，2132，213，321 此三项均为负号，逆序数：1，1，3注意：符号与列标排序的逆序数之间的关系注意：符号与列标排序的逆序数之间的关系3级排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，321，132，213定义定义1.5例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕小 结行列式的定义行列式的定义排列、逆序数排列、逆序数行列式的计算：行列式的计算： （1）2、3阶行列式的对角线法则；阶行列式的对角线法则； （2）上（下）三角行列式；）上（下）三角行列式； （3）对角行列式）对角行列式