一、整数指数幂的运算性质一、整数指数幂的运算性质二、根式的概念二、根式的概念 如果一个数的如果一个数的 n 次方等于次方等于 a( (n1 且且 nN*) ), 那么这个数叫那么这个数叫做做 a 的的 n 次方根次方根. 即即: 若若 xn=a, 则则 x 叫做叫做 a 的的 n 次方根次方根, 其中其中 n1且且 nN*. 式子式子 a 叫做根式叫做根式, 这里这里 n 叫做叫做根指数根指数, a 叫做叫做被开方被开方数数. n(1)aman=am+n (m, nZ); (2)aman=am- -n (a 0, m, nZ); (3)(am)n=amn (m, nZ); (4)(ab)n=anbn (nZ). 三、根式的三、根式的性质性质5.负数没有偶次方根负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零. 1.当当 n 为为奇奇数数时时, 正正数数的的 n 次次方方根根是是一一个个正正数数, 负负数数的的 n 次次方根是一个负数方根是一个负数, a 的的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示.n 2.当当 n 为偶数时为偶数时, 正数的正数的 n 次方根有两个次方根有两个, 它们互为相反数它们互为相反数, 这时这时, 正数的正的正数的正的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示, 负的负的 n 次方根用符次方根用符号号 - - a 表示表示. 正负两个正负两个 n 次方根可以合写为次方根可以合写为 a (a0).nnn3.( a )n=a. n4.当当 n 为奇数时为奇数时, an =a; n当当 n 为偶数时为偶数时, an =|a|= na (a0), - -a (a0, 且且a 1)叫做叫做指数函数指数函数, 其中其中 x 是自变量是自变量, 函函数的定义域是数的定义域是 R.六、指数函数六、指数函数a = am , a- - = (a0, m, nN*, 且且 n1).nmnnmnma1(1)aras=ar+s (a0, r, sQ); (2)aras=ar- -s (a0, r, sQ); (3)(ar)s=ars (a0, r, sQ); (4)(ab)r=arbr (a0, b0, rQ). 图图象象性性质质yox(0, 1)y=1 y=ax (a1)a1yox(0, 1)y=1 y=ax (0a1) 0a0, a 1) 图象经过第二、三、四象限图象经过第二、三、四象限, 则一定则一定有有( ) A. 0a0 B. a1, b0 C. 0a1, b1, b0 2.若若 0a1, bab B. bac C. abc D. acb 12 4.若若 0ab(1- -a)b B. (1+a)a(1+b)b C. (1- -a)b(1- -a) D. (1- -a)a(1- -b)bb12bCADDC 5.设设 a=60.7, b=0.76, c=log0.76, 则则( ) A. cab B. bac C. abc D. acb 典型例题典型例题1.化简下列各式化简下列各式:(1) (1- -a) ;(a- -1)3 14 (2) xy2 xy- -1 xy ;34=- - a- -1 . =xy. 解解: (1)原式原式=(1- -a)(a- -1)- - 43=- -(a- -1)(a- -1)- - 43=- -(a- -1) 41(2)原式原式=xy2(xy- -1) (xy) 213121=(xy2x y- - ) x y 3121212121=(x y ) x y 2323312121=x y x y 21212121(3) (1- -a)(a- -1)- -2(- -a) . 2121a- -11), 求求 的值的值.a1x- - x2- -1 x2- -1 解解: 以以 x+ x2- -1、 x- - x2- -1 为根构造方程为根构造方程: t2- -2xt+1=0, 即即: t2- -( a + )t+ a =0, a1a1a1t= a 或或 . x+ x2- -1 x- - x2- -1 , a1,x- - x2- -1 = . x+ x2- -1 = a , a1 x2- -1 = ( a - - ), 12a1原式原式=( a - - ) 12a1a1= (a- -1). 12解法二解法二: 将已知式整理得将已知式整理得: ( a )2- -2x a +1=0 或或 ( )2- -2x( )+1=0. a1a1 a , a1 a =x+ x2- -1 , =x- - x2- -1 , a1以下同上以下同上. 6.已知函数已知函数 f(x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, g(x)=3ax- -4x 的定义域为的定义域为 0, 1. (1)求求 g(x) 的的解析式解析式; (2)求求 g(x) 的单调区间的单调区间, 确定其增减性并用定义证明确定其增减性并用定义证明; (3)求求 g(x) 的值域的值域.f(a+2)=3a+2=18. 解解: (1)f(x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, 3a=2. g(x)=(3a)x- -4x=2x- -4x. 即即 g(x)=2x- -4x. (2)令令 t=2x, 则则函数函数 g(x) 由由 y=t- -t2 及及 t=2x 复合而得复合而得. 由已知由已知 x 0, 1, 则则 t 1, 2, t=2x 在在 0, 1 上单调递增上单调递增, y=t- -t2 在在 1, 2 上单调递减上单调递减, g(x) 在在 0, 1 上单调递减上单调递减, 证明如下证明如下: g(x) 的定义域区间的定义域区间 0, 1 为函数的单调递减区间为函数的单调递减区间. 对于任意的对于任意的 x1, x2 0, 1, 且且 x1x2, g(x1)- -g(x2) 0x1x21, 2x1- -2x20 且且 1- -2x1- -2x2g(x2). 故函数故函数 g(x) 在在 0, 1 上单调递减上单调递减. =(2x1- -4x1)- -(2x2- -4x2) =(2x1- -2x2)- -(2x1- -2x2)(2x1+2x2) =(2x1- -2x2)(1- -2x1- -2x2) =(2x1- -2x2)(1- -2x1- -2x2)0. x 0, 1 时有时有: 解解: (3)g(x) 在在 0, 1 上单调递减上单调递减, g(1)g(x)g(0). g(1)=21- -41=- -2, g(0)=20- -40=0, - -2g(x)0 . 故故函数函数 g(x) 的值域为的值域为 - -2, 0. 6.已知函数已知函数 f(x)=3x 且且 f- -1(18)=a+2, g(x)=3ax- -4x 的定义域为的定义域为 0, 1. (1)求求 g(x) 的解析式的解析式; (2)求求 g(x) 的单调区间的单调区间, 确定其增减确定其增减性并用定义证明性并用定义证明; (3)求求 g(x) 的值域的值域. 7.设设 a0, f(x)= - - 是是 R 上的奇函数上的奇函数. (1)求求 a 的值的值; (2)试判试判断断 f(x) 的反函数的反函数 f- -1(x) 的奇偶性与单调性的奇偶性与单调性.aexaex解解: (1) f(x) 是是 R 上的奇函数上的奇函数, f(0)=0, 即即- -a=0. 1aa2=1. a0, a=1. (2)由由 (1) 知知 f(x)=ex- -e- -x, x R, f(x) R. f(x) 是奇函数是奇函数, f(x) 的反函数的反函数 f- -1(x) 也是奇函数也是奇函数. y=e- -x 是是 R 上的减函数上的减函数, y=- -e- -x 是是 R 上的增函数上的增函数. 又又 y=ex 是是 R 上的增函数上的增函数, y=ex - -e- -x 是是 R 上的增函数上的增函数. f(x) 的反函数的反函数 f- -1(x) 也是也是 R 上的增函数上的增函数. 综上所述综上所述, f- -1(x) 是奇函数是奇函数, 且是且是 R 上的增函数上的增函数.此时此时, f(x)=ex-e- -x是是 R 上的奇函数上的奇函数. a=1 即为所求即为所求.