0八、广义估计方程八、广义估计方程(GMM)1GMM方法介绍线性模型的假设检验非线性的GMM2GMM方法的介绍方法的介绍3背景背景GMM方法由 Hansen (1982) 提出，已经成为计量经济和金融等领域一个重要的研究方法和极大似然估计(MLE)相比，GMM方法不需要对模型的分布做任何假定。在一些情况下，GMM方法也比MLE计算方便4单个方程的线性单个方程的线性 GMM考虑线性回归模型 其中 是 的解释变量， 为未知系数向量。 可能和 相关。如果 我们称 为内生变量 。如果 含有内生变量， 的最小二乘是有偏的，并且不一致的 5假定存在 的工具变量 ，可能包含部分或全部的 ，满足其中 是一个平稳的遍历随机过程由(1.2) 给出以下关系其中 为了保证模型可识别，一个必要条件为 6模型(1.1)允许 条件异方差和序列相关。 假定 是一平稳的遍历的鞅差序(MDS)满足其中 是 的非奇异矩阵 令 有其中 。符号 表示 的极限协方差矩阵 7假定 是一平稳的遍历的随机过程 条件异方差和序列相关，那么有其中 ，8GMM估计的定义估计的定义定义把(1.2)用起样本矩来表示如果如果 ，(1.5) 的解可能不唯一。 为正定的权矩阵，满足 ，那么计算可得9渐近性质渐近性质在一些正则条件下有其中其一致估计可以由下式给出10估计的效率估计的效率GMM估计效率的定义 的一致估计可以由下式给出11两步有效估计给一个初始 ,通常选取 和然后计算出 ,二步有效估计为迭代有效估计，利用两步有效估计的计算过程,不断地更新，直到估计的前后两次估计没有显著变化连续更新有效估计( 看做 的函数)12J-统计量(Hansen 1982)其中 表示 的有效估计， 为 的相合估计如果 ，那么 如果 ，在一些正则条件下J-统计量可以用来检验模型是否被错误识别13标准化的矩在原假设模型正确识别和正交条件成立的条件下，标准化的矩满足考虑单个t-统计量其中如果模型被J-统计量拒绝，大的 的表示第 i 个矩条件被错误指定14两步最小二乘如果模型(1.1)的误差项是条件同方差，那么 的相合估计可以表示为 典型的取有效GMM估计为 ，和 无关 15S 的估计的估计要得到有效GMM估计，需要 的相合估计序列不相关的矩序列不相关的矩: (通常 为遍历平稳的MDS)，那么根据White(1982), 的一个异方差(HC)估计16序列相关时的矩：如果总体的矩条件 是遍历平稳，但是序列相关的过程，那么其中 ，那么 的一个异方差但自相关的估计为其中 为核函数的权， 是一非负和样本量有关的窗宽参数 为 的一个相合估计17线性模型的假设检验线性模型的假设检验18关于系数推断关于系数推断检验问题定义 t-统计量在原假设成立的情况下 渐近的标准正态分布19线性假设问题Wald-统计量 在原假设成立的条件下，Wald-统计量渐j近地服从 ，其中20非线性假设问题其中 隐含着 个非线性约束且Wald-统计量在原假设成立的条件下， Wald-统计量渐近地服从 21线性和非线性检验问题还可以使用似然比统计量(LR)，带有约束条件的GMM估计GMM的 LR-检验统计量在上述线性和非线性约束条件下， 渐近地服从 22非线性的非线性的GMM23假定有 个GMM矩估计条件 是模型参数 的非线性函数，满足或者，响应变量 个解释变量 个工具变量 ，满足 假定 和 正交，定义 有24可识别条件可识别条件并且 阶矩阵列满秩25估计估计。令如果 相应的GMM估计定义为如果 ， 过度识别，则定义其中 正定的权矩阵，有效GMM估计取 。和线性的情况类似，非线性的GMM估计也可以采用类似的算法26渐近性质渐近性质：在一些正则条件下其中其相合估计为对有效的GMM估计取如果 序列是平稳遍历的MDS， 可以取如果 是自相关序列，取法和线性的类似27检验问题检验问题 和线性情况类似，我们也可以得到相应的非线性模型的检验方法28Example29Stochastic Volatility ModelsThe simple log-normal stochastic volatility (SV) model, due to Taylor (1986), is given byThe series is strictly stationary and ergodic, and unconditional moments of all orders exist. 30In the SV model, the series is serially uncorrelated but dependency in the higher order moments is induced by the serially correlated stochastic volatility termShephard (1996) surveys the use of ARCH and SV models in fiance and notes some important advantages of SV models over ARCH models 31SimulationSimulated data for SV model with and 32Estimation To describe the moment conditions, defineThe moment conditions are expressed as33where Letand define the vector 34ResultsSince the elements of are serially correlated, the efficient weight matrix must be estimated using an HAC estimator.35The high P-value for the J-statistic indicates that the 24 moment conditions are not rejected by the data Consistent with the findings of Andersen, is not estimated very precisely whereas is estimated fairly precisely. 36SV model for S&P 500 indexConsider estimation of SV model using the daily returns on the S&P 500 index over period March 14,1996 through June,30,200337ResultsThe low P-value on the J-statistic indicates that the SV model does not fit S&P daily return.THANK YOU