抛物线抛物线y=ax2+c的图象和性质的图象和性质1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.例例2. 2. 在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,画出二次函数画出二次函数y=xy=x2 2+1+1和和y=xy=x2 2 的图像的图像解解: :先列表先列表x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 210105 52 21 12 25 510109 94 41 10 01 14 49 9然后描点画图然后描点画图, ,得到得到y= xy= x2 21,y=x1,y=x2 2的图像的图像. .x.-2-1012y=x241014y=x2+1 y=x2y=x2+15 2 1 2 5函数函数y=x2+1的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象可由象可由y=x2的图象的图象沿沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?相同相同1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5(1) (1) 抛物线抛物线y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么? ?(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2+1 +1 与抛物线与抛物线y=xy=x2 2有什么有什么关系关系? ?抛物线抛物线y=xy=x2 2+1:+1:开口向上开口向上, ,顶点为顶点为(0,1).(0,1).对称轴是对称轴是y y轴轴, ,抛物线抛物线y=xy=x2 2: :开口向上开口向上, ,顶点为顶点为(0, (0, 0 0).).对称轴是对称轴是y y轴轴, ,y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 2例例2.2.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,画出二次函数画出二次函数y=xy=x2 2 -2 -2和和y=xy=x2 2 的图像的图像解解: :先列表先列表x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2 -2 -2y=xy=x2 27 72 2-1-1-2-2-1-12 27 79 94 41 10 01 14 49 9然后描点画图然后描点画图, ,得到得到y= xy= x2 2 -2,y=x -2,y=x2 2的图像的图像. .x.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数函数y=x2-2的图象的图象可由可由y=x2的图象沿的图象沿y轴向轴向下下平移平移2个个单位长度得到单位长度得到.函数函数y=x2-2的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?相同相同1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5(1) (1) 抛物线抛物线y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么? ?(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2+1 +1 与抛物线与抛物线y=xy=x2 2有什么有什么关系关系? ?抛物线抛物线y=xy=x2 2+1:+1:开口向上开口向上, ,顶点为顶点为(0,1).(0,1).对称轴是对称轴是y y轴轴, ,抛物线抛物线y=xy=x2 2: :开口向上开口向上, ,顶点为顶点为(0, (0, 0 0).).对称轴是对称轴是y y轴轴, ,y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 2(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 21 1与抛物线与抛物线y=xy=x2 2的异同点的异同点: :1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=xy=x2 2+1+1抛物线抛物线y=xy=x2 2抛物线抛物线 y=xy=x2 21 1向向上上平移平移1 1个单位个单位抛物线抛物线y=xy=x2 2向向下下平移平移1 1个单位个单位y=xy=x2 21 1y=xy=x2 2抛物线抛物线 y=xy=x2 2+ +1 1相同点：相同点：形状大小相同形状大小相同开口方向相同开口方向相同对称轴相同对称轴相同不同点：不同点：顶点的位置不同，顶点的位置不同，抛物线的位置也不抛物线的位置也不同同例例3.3.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,画出二次函画出二次函数数y=-xy=-x2 2 和和y=-xy=-x2 2 +3+3， y=-xy=-x2 2 -2-2的图像的图像 函数函数y=ax2 (a0)和函数和函数y=ax2+c (a0)的图象形状的图象形状 ，只是位置不同；当，只是位置不同；当c0时，函数时，函数y=ax2+c的图象可的图象可由由y=ax2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到，当个单位得到，当c0时，时，函数函数y=ax2+c的图象可由的图象可由y=ax2的图象的图象向向 平移平移 个单位得到。个单位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数函数y=-x2-2的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=-x2+3的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移3个单位长度得到个单位长度得到.图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个移多少个单位长度单位长度,有什么规律吗有什么规律吗?上加下减上加下减相同相同上上c下下|c|抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=axy=ax2 2c c之间的关系是：之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同而顶点位置和抛物线的位置不同抛物线之间的平移规律：抛物线之间的平移规律：(c0)抛物线抛物线y=axy=ax2 2抛物线抛物线 y=axy=ax2 2c c向向上上平移平移c c个单位个单位抛物线抛物线y=axy=ax2 2向向下下平移平移c c个单位个单位抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+ +c c (1)函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象 向向 平移平移 个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象 可由可由 y=4x2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到。个单位得到。（3）将抛物线）将抛物线y=4x2向上平移向上平移3个单位，所得的个单位，所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。 将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单位个单位,所得的所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。(2)将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得 y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到可由单位得到可由 y=2x2的图象。将的图象。将y=x2-7的图象的图象 向向 平移平移 个单位可得到个单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+c的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 ； 当当a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 +c (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.（4）抛物线）抛物线y=-3x2+5的开口的开口 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 。6.二次函数二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点的图象经过点A（1，-1），），B（2，5），则函数），则函数y=ax2+c的表达式为的表达式为 。若。若点点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点）也在函数的图象上，则点C的坐标的坐标为为 点点D的坐标为的坐标为 .（5）抛物线）抛物线y=7x2-3的开口的开口 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大的增大而而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 。下下y轴轴(0,5)减小减小增大增大0大大5上上y轴轴(0,-3)减小减小 增大增大 0小小-3y=2x2-3(-2,5)或或 说出下列二次说出下列二次 函数的开口方向、函数的开口方向、对称轴及顶点坐标对称轴及顶点坐标 (1) y=5x2 (2) y=-3x2 +2 (3) y=8x2+6 (4) y= -x2-4向上，向上，y轴轴 （0, 0)向下，向下，y轴轴 （0, 2)向上，向上，y轴轴 （0, 6)向下，向下，y轴轴 （0, - 4)3 3、按下列要求求出抛物线的解析式：、按下列要求求出抛物线的解析式：（1 1）抛物线）抛物线y=axy=ax2 2c c形状与形状与y=-2xy=-2x2 2+3+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（坐标是（0 0，1 1）, ,求抛物线的解析式。求抛物线的解析式。（2 2）抛物线）抛物线y=axy=ax2 2c c对称轴是对称轴是y y轴，顶轴，顶点（点（0 0，-3-3），且经过（），且经过（1 1，2 2），求抛），求抛物线的解析式物线的解析式. .(1)已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上在其图象上,且且x2 x40, 0x3|x1|, |x3|x4|, 则则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B（2）已知二次）已知二次函数函数y=ax2+c ，当，当x取取x1,x2(x1 1x2, x1,x2分别是分别是A,B两点的横坐标两点的横坐标)时，函数值相等，时，函数值相等，则当则当x取取x1 1+ +x2时，函数值为时，函数值为 （ ） A. a+c B. a-c C. c D. cD(3) 函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）A(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？是多少？