第七章解析几何第1讲直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角00，)(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角，叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_.(2)倾斜角的取值范围是_.2.直线的斜率(1)定义：当90时，一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan .当90时，直线没有斜率.(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为_.名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于 x 轴的直线斜截式_不含垂直于 x 轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 AxByC0(A，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用3.直线方程的五种形式ykxbxx1yy15.线段的中点坐标公式A.30C.150B.60D.120)直线 l 的方程为(A.3x4y140C.4x3y140B.3x4y140D.4x3y140CA3.已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为()BA.4x2y5C.x2y5B.4x2y5D.x2y5是()ABCD等于_.B考点 1 直线的方程考向 1 倾斜角和斜率 点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_.图 D45图 D46(3)经过点 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1) 的线段总有公共点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围为_.图 D47考向 2 截距例 2：(1)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程.(2)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程.(3)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l的方程.(4)求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 3 倍，求直线 l 的方程.(5)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程.所以|a|b|.4b2aab.即 4(12a)2aa(12a).a214a480.解得 a6 或 a8.直线 l 的方程为 xy60 或 x2y80.【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.考向 3 直线的方程例 3：直线 l1：3xy10，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为()A.y6x1B.y6(x1)解析：方法一，设直线 l1 的倾斜角为，由 tan 3，可求方法二，由l2过点(1,0)，排除A选项，由l1的斜率k131知，其倾斜角大于 45，从而直线 l2 的倾斜角大于 90，斜率为负值，排除 B，C 选项.故选 D.答案：D【规律方法】题中直线l2 的倾斜角是l1 的倾斜角的2 倍，不要理解为l2 的斜率为l1 的斜率的2 倍，应该设直线l1 的倾斜角为，由tan 3，可求出直线l2 的斜率ktan 2.考点 2 直线方程的综合应用例 4：过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，求：(1)AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程；(2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l的方程；(3)求|PA |PB|的最小值及此时直线 l 的方程.解：(1)方法一，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，故|PA |PB|的最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 xy30.【互动探究】1.已知直线 x2y2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_.思想与方法直线中的函数与方程思想例题：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 S.(1)当 S3 时，这样的直线 l 有多少条？(2)当 S4 时，这样的直线 l 有多少条？(3)当 S5 时，这样的直线 l 有多少条？(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围.前一个方程0 有两个不相等的解，后一个方程0 有两个不相等的解，所以这样的直线 l 共有 4 条.(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，则即a22Sa4S0或a22Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 2 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S4.(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，则即a22Sa4S0或a22Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S 的取值范围为(4，).【规律方法】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性.【互动探究】2.过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直)线共有(A.1 条C.3 条B.2 条D.4 条解析：设过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12 的直线的斜率为 k，则有直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.它与坐标轴的交点分别为M(0,2k3)，故满足条件的直线有 3 条.答案：C