12.2.1 三角形全等的判定三角形全等的判定(SSS)ABC 1. 什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够能够完全重合完全重合的两个三角形叫的两个三角形叫 全等三角形。全等三角形。2.全等三角形有什么全等三角形有什么性质？性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的对应边相等，对应角相等 .已知已知 ，试找出其中相等的边与角，试找出其中相等的边与角 ABC即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。六个条件，可得到什么结论？六个条件，可得到什么结论？ 与与 满足上述六个条件中的满足上述六个条件中的一部一部分分是否能保证是否能保证 与与 全等呢？全等呢？ABC一个条件可以吗？一个条件可以吗？两个条件可以吗？两个条件可以吗？一个条件可以吗？一个条件可以吗？1. 有有一条边一条边相等的两个三角形相等的两个三角形不一定全等不一定全等探究活动探究活动2. 有有一个角一个角相等的两个三角形相等的两个三角形不一定全等不一定全等结论：结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等有一个条件相等不能保证两个三角形全等.6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等不一定全等1. 有有两个角两个角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形两个条件可以吗？两个条件可以吗？3. 有有一个角和一条边一个角和一条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形2. 有有两条边两条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形4cm6cm不一定全等不一定全等30060o4cm6cm不一定全等30o 6cm结论：结论：探究活动探究活动三个条件呢？三个条件呢？探究活动探究活动 1. 三个角；三个角；2. 三条边；三条边；3. 两边一角；两边一角；4. 两角一边。两角一边。如如果果给给出出三三个个条条件件画画三三角角形形，你你能能说说出出有有哪哪几几种种可可能能的的情情况况？结论结论: 三个内角对应相等的三角形三个内角对应相等的三角形 不一定全等不一定全等。探究活动探究活动 1. 有有三个角三个角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o三个条件呢？三个条件呢？若已知一个三角形的三条边，你能画出若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？这个三角形吗？ 画一个三角形，使它的三边长分画一个三角形，使它的三边长分别为别为4cm,5cm,7cm.三边对应相等的两个三角形会全等吗？三边对应相等的两个三角形会全等吗？画法：画法：1. 画线段画线段AB=4cm；2. 分别以分别以A、B为圆心，为圆心，5cm、 7cm 长为半径作圆弧，交于点长为半径作圆弧，交于点C；3. 连结连结AB、AC；ABC就是所求的三角形就是所求的三角形.探究活动探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗？三边相等的两个三角形会全等吗？画法：画法：探究活动探究活动 你能得出什你能得出什么结论？么结论？ 三边对应相等的两个三角形全等，简写三边对应相等的两个三角形全等，简写为为“边边边边边边”或或“SSS”。用上面的结论可以判定两个三角形全等用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明证明三角形全等三角形全等ABCABC三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等.(简写成简写成“边边边边边边”或或“SSS”)如何用符号语言来表达呢如何用符号语言来表达呢? 结结论论 ABC ADC（SSS）例例1 已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证求证：ABC ADCABCDACAC ( ) AB=AD ( )BC=CD ( )证明：在证明：在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共边公共边判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。分析：分析：要证明要证明 ABC ADC，首先看这两个三角首先看这两个三角形的形的三条边三条边是否对应相等。是否对应相等。结论结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。确的过程。准备条件：准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：巩固巩固1. ABC与与DEF的各边如图所示，那的各边如图所示，那么么ABC与与DEF全等吗？为什么？全等吗？为什么？ABCFE4cm5cm6cm4cm5cm6cmD注意：字母的对应位置。注意：字母的对应位置。巩固巩固2.将三根木条钉成一个三角形木架，这将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形的形状、大小会改变吗？为什个三角形的形状、大小会改变吗？为什么？么？例例2 如图，如图，ABCABC是一个钢架，是一个钢架，AB=ACAB=AC， ADAD是连接点是连接点A A与与BCBC中点中点D D的支架的支架. .求证：求证： ABDACD.ABDACD.ABCDABCD.CDBD BCD 的中点，是证明：QACDABD 中，和在DDADADCDBDACAB （公共边）（已证）(已知) .SSSACD ABD ）（DD(1)(1)(2)(2)(2)(2)BAD = CAD.BAD = CAD.BAD = CAD.BAD = CAD.（2）由（）由（1）得）得ABDACD ， BAD= BAD= CAD.CAD. （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 工人师傅常用角尺平分一个任意角工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA，OB上分别取上分别取OM=ON，移动，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合重合. 过角尺顶点过角尺顶点C的射线的射线OC便是便是AOB的平分线的平分线.为什么？为什么？课课 本本 P8OMABNC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）巩固巩固1.工人师傅为了使电线杆工人师傅为了使电线杆AO垂直于地垂直于地面面BC，拉了两根钢丝，拉了两根钢丝AB、AC，并量，并量得得AB=AC，OB=OC，就断定电线杆，就断定电线杆AO一定与地面一定与地面BC垂直，垂直，为什么？为什么？ABCO通过全等得通过全等得角相等角相等方法：方法：巩固巩固2.如图，已知如图，已知BD=CD，要根据，要根据“SSS”判判定定ABDACD，则还需添加的条件，则还需添加的条件是是 。DABC公共边公共边隐含条件：隐含条件：巩固巩固3.如图，如图，AD=BC，要根据，要根据“SSS”判定判定ABDBAC，则还需添加的条件，则还需添加的条件是是( )A OD=OCB OA=OBC AB=BAD DB=CAOABCD公共边公共边隐含条件：隐含条件：例例3、已知、已知BACBAC（如图），（如图），用直尺和圆规用直尺和圆规作作BACBAC的平分线的平分线AD，并说出该作法正，并说出该作法正确的理由。确的理由。ACB 作法：作法： （1）以点）以点O 为圆心，任意心，任意长为半径画弧，分半径画弧，分别交交OA， OB 于点于点C、D；已知：已知： AOB求作：求作： AOB= = AOB用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角应用所学，例用所学，例题解析解析ODBCA 作法：作法： （2）画一条射）画一条射线OA，以点，以点O为圆心，心，OC 长为半半 径画弧，交径画弧，交OA于点于点C；已知：已知： AOB求作：求作： AOB= = AOB用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角应用所学，例用所学，例题解析解析OCAODBCA 作法：作法： （3）以点）以点C为圆心，心，CD 长为半径画弧，与第半径画弧，与第2 步中步中 所画的弧交于点所画的弧交于点D；已知：已知： AOB求作：求作： AOB= = AOB用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角应用所学，例用所学，例题解析解析ODCAODBCA 作法：作法： （4）过点点D画射画射线OB，则AOB=AOB已知：已知： AOB求作：求作： AOB= = AOB用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角应用所学，例用所学，例题解析解析ODBCAODBCA 作法：作法： （1）以点）以点O 为圆心，任意心，任意长为半径画弧，分半径画弧，分别交交OA， OB 于点于点C、D；（2）画一条射）画一条射线OA，以点，以点O为圆心，心，OC 长为半半 径画弧，交径画弧，交OA于点于点C；（3）以点）以点C为圆心，心，CD 长为半径画弧，与第半径画弧，与第2 步中步中 所画的弧交于点所画的弧交于点D；（4）过点点D画射画射线OB，则AOB=AOB已知：已知： AOB求作：求作： AOB= = AOB用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角应用所学，例用所学，例题解析解析例4.如图，如图，AB=AD，BC=CD，求证：，求证：（1）ABCADC； （2）B=DCBDAFEDB思思考考 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A、D、 B、F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB. 要用要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：解：要证明要证明ABC FDE，还应该有还应该有AB=DF这个条件这个条件AD=FB AD+DB=FB+DB 即即 AB=FD思思考考FDBABC 中，中，和和在在D DD DFBACDBBCFDAB （已知），（已知），（已知），（已知），（已证），（已证）， .SSSFDB ABC ）（D DD DCBDAFEDB 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A、D、 B、F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB. 要用要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 如图，如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：求证：AEB ADC。证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即即BE=CD CABDE在在AEB和和ADC中，中， AB=AC（已知）（已知） AE=AD（已知）（已知） BE=CD（已证）（已证） AEB ADC (sss)2.已知：如图，已知：如图，AB=CD，BE=DF，AF=CE。求证：求证：ABCD。ABCDCEF通过全等得通过全等得角相等角相等方法：方法：部分共边部分共边隐含条件：隐含条件：巩固巩固巩固巩固3.已知：如图，已知：如图，AB=CD，BE=DF，AF=CE。求证：求证：BEDF。ABCDCEF部分共边部分共边隐含条件：隐含条件：练习练习1：如图，如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。解：有三组。在在ABH和和ACH中中, AB=AC，BH=CH，AH=AH,ABHACH（SSS）；）；在在ABD和和ACD中中, AB=AC，BD=CD，AD=AD,ABDACD（SSS）；）；在在DBH和和DCH中中BD=CD，BH=CH，DH=DH,DBHDCH（SSS）.（2 2）如图，）如图，D D、F F是线段是线段BCBC上的两点，上的两点，AB=CEAB=CE，AF=DEAF=DE，要使，要使ABFECD ABFECD ，还需要条件还需要条件 . .BCBCBCBC DCBBF=DC 或或 BD=FCA ABCD练习练习2解：解： ABC DCB理由如下：理由如下：AB = DCAC = DB= ABC ( ) SSSSSS（1 1）如图，）如图，AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，ABCABC和和DCBDCB是否全等是否全等？试说明理由。？试说明理由。 AE B D F CB D F C 练习练习3、如图，在四边形如图，在四边形ABCD中中, AB=CD, AD=CB, 求证：求证： A= C. DABC证明：证明：在在ABD和和CDB中中AB=CDAD=CBBD=DBABDCDB（SSS）（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边） A= C （全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）你能说明你能说明AB CD，AD BC吗？吗？4.如图，如图，AB=CD，AD=BC, 则下列结则下列结论：论：ABCCDB;ABC CDA;ABD=CDB;BAD=DCB.正确的个数是正确的个数是( )A 1个个B 2个个C 3个个D 4个个OABCD解：解：E、F分别是分别是AB，CD的中点（的中点（ ）又又AB=CD AE=CF在在ADE与与CBF中中 DE=ADECBF ( ) AE= AB CF= CD（ ）1212补充练习：补充练习：如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由，说出下列判断成立的理由.ADECBFA= C线段中点的定义线段中点的定义BFAD AECFSSS ADECBF全等三角形全等三角形对应角相等对应角相等已知已知ADBCFECB A= C ( )=如如图，已知，已知 AB=DC，AC=DB ，求，求证： A= D 能力提升能力提升已知：如图，已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，EAC=30。求证：求证： 求求DAB的大小的大小 。ABCDE能力提升能力提升小小 结结2. 三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（简写成（简写成“边边边边边边” 或或“SSS”）；）；1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形；知道三角形三条边的长度怎样画三角形；3. 初步学会理解证明的思路，初步学会理解证明的思路， 应用应用“边边边边边边”证明两个三角形全等证明两个三角形全等.请同学们谈谈本节课的收获与体会请同学们谈谈本节课的收获与体会本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？ 发现了什么？发现了什么？ 有什么收获？有什么收获？ 还存在什么没有解决的问题？还存在什么没有解决的问题？ Thank you!43