第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单调的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们，让我们来研究来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值. .1.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解函数的最大（小）值及其几何意义；( (重点）重点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）（难点）下图为某天的气温下图为某天的气温f(t)随时间随时间t变化图变化图,请指出单调区间请指出单调区间.最高气温：最高气温：_最低气温：最低气温：_递增区间递增区间递减区间递减区间1.1.观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： yxox0图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值【提示提示】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A, ,第二个函数图象有第二个函数图象有最高点最高点B B, ,也就是说也就是说, ,这两个函数的图象都有最高点这两个函数的图象都有最高点. .思考思考2 2 设函数设函数y=y=f(xf(x) )图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则对函则对函数定义域内任意自变量数定义域内任意自变量x,f(xx,f(x) )与与M M的大小关系如何的大小关系如何? ?【提示提示】 f(x)Mf(x)M思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是函数的最大值！是函数的最大值！当一个函数当一个函数f(xf(x) )的图象有最高点时，就说函数的图象有最高点时，就说函数f(xf(x) )有最大值有最大值. .函数函数 在在_上为增函数，上为增函数，_上上为减函数为减函数;图象有图象有_(最高（低）最高（低） )点，坐标为点，坐标为_.2.2.观察下面函数的图象，并回答问题观察下面函数的图象，并回答问题对任意对任意所以所以 y=4 y=4 是所有函数值中最大的，是所有函数值中最大的，故函数故函数 f(xf(x) )有最大值有最大值4.4.最高最高函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=y=f(xf(x) )的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)Mf(x)M；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0)=M.)=M.那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=y=f(xf(x) )的最大值的最大值. .可以这样理解：可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的函数的最大值是所有函数值中最大的一个，并且是能够取到的一个，并且是能够取到的.函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值. .对于函对于函数数f(xf(x)=-x)=-x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有都有f(x)f(0)f(x)f(0)函数最大值的函数最大值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最高当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值点时，我们就说这个函数有最大值. .当当一个一个函数函数的的图象无图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值最高点时，我们就说这个函数没有最大值. .【即时训练即时训练】【互动探究互动探究】【解题关键解题关键】根据函数在区间上的单调性求解。根据函数在区间上的单调性求解。图图1yox0xmxyox0图图2m1.1.观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：探究点探究点2 2 函数的最小值函数的最小值思考思考: :这两个函数图象各有一个最低点，函数图象这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值的最小值, ,即函数的最小值即函数的最小值. .2.2.函数函数 在在_上为增函数，上为增函数，_上上为减函数；图象有为减函数；图象有_(最高（低）最高（低） )点坐标为点坐标为_.观察下面函数的图象，并回答问题观察下面函数的图象，并回答问题对任意对任意所以所以y=-4y=-4是所有函数值中最小的是所有函数值中最小的, ,故函数有最小值故函数有最小值-4.-4.最低最低当一个函数当一个函数f(xf(x) )的图象有最低的图象有最低点时，就说函数点时，就说函数f(xf(x) )有最小值有最小值. .仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？提示：提示：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A，如果存在，如果存在x0A,使得对于任意的使得对于任意的xA，都有，都有f(x)f(x0) ,那么称那么称f(x0)为函数为函数y=f(x)的最小值，记为的最小值，记为ymin=f(x0). 思考交流思考交流函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=y=f(xf(x) )的定的定义域为义域为I I，如果存在实数，如果存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的 ，都有，都有f(x)f(x)N N ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得f(xf(x0 0)=N.)=N.那么，我们称那么，我们称N N是函数是函数y=y=f(xf(x) )的最小值的最小值. .可以这样理解：可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的函数的最小值是所有函数值中最小的一个，并且是能够取到的一个，并且是能够取到的.函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值处的函数值是函数在整个定义域上最小的值. .对于函数对于函数f(xf(x)=x)=x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0).f(x)f(0).最小值的最小值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最低点时，当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值我们就说这个函数有最小值. .当当一个一个函数函数的的图象没有最低图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值点时，我们就说这个函数没有最小值. .下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得最大值和最小值最大值和最小值,并求出其值并求出其值.没有没有当当x=1x=1时取得最小值时取得最小值2 2；当当x=3x=3时取得最大值时取得最大值6.6.当当x=1x=1时取得最小值时取得最小值2 2；没有最大值；没有最大值【即时训练即时训练】1.1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得使得 . .并不是所有满足并不是所有满足 的函数都有的函数都有最大值最大值M.M.如函数如函数 , ,虽然对定义域上虽然对定义域上的任意自变量都有的任意自变量都有 ，但，但1 1不是函数的最大值不是函数的最大值. .2.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值的函数值. .【提升总结提升总结】例例1.“1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一. .制造时一般制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂是期望在它达到最高点时爆裂. .如果烟花距地面的高如果烟花距地面的高度度h mh m与时间与时间t st s之间的关系为之间的关系为h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到距地面的高度是多少（精确到1 m1 m）？）？分析：分析：烟花的高度烟花的高度h h是时间是时间t t的二次函数，根据题的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少以及这个最大值是多少. .显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度这时距地面的高度. .解：解：画出这个函数画出这个函数h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18的图象的图象. . 由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数 我们有：我们有： 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s1.5s是它爆裂的最佳时刻，是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为这时距地面的高度约为29m.29m.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为万元）分别为L L1 1=-x=-x2 2+21x+21x和和L L2 2=2x=2x，其中，其中x x为销售量（单为销售量（单位：辆）位：辆）. .若该公司在两地共销售若该公司在两地共销售1515辆，则能获得的最大辆，则能获得的最大利润为利润为( )( )A.90A.90万元万元 B.60B.60万元万元 C.120C.120万元万元 D.120.25D.120.25万元万元提示提示: :设公司在甲地销售品牌车设公司在甲地销售品牌车x x辆辆, ,则在乙地销售品牌车则在乙地销售品牌车(15-x)(15-x)辆辆, ,根据利润函数表示出利润根据利润函数表示出利润, ,利用配方法求出函数利用配方法求出函数的最值的最值. .C C【变式练习变式练习】【解析解析】设公司在甲地销售品牌车设公司在甲地销售品牌车x x辆，则在乙地销辆，则在乙地销售品牌车（售品牌车（15-x15-x）辆，根据题意得，利润）辆，根据题意得，利润y=-xy=-x2 2+21x+21x+2 2（15-x15-x）= = x x是正整数，是正整数，x=9x=9或或1010时，能获得最大利润，时，能获得最大利润，最大利润为最大利润为120120万元万元由于由于2x2x1 1xx2 26,0,(x0,(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0,-1)0,于是于是所以，函数所以，函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数. 解：解：任取任取x1, x2 2,6 ，且，且x1x2例例2.2.已知函数已知函数 ，求函数的最大，求函数的最大值和最小值值和最小值. .因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端点上分上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最时取最大值，最大值是大值是2，在，在x=6时取最小值，最小值为时取最小值，最小值为0.4 .利用函数的单调性来求函数的利用函数的单调性来求函数的 最大值与最小值是一种最大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握十分常用的方法，要注意掌握.【总结总结提升提升】函数在定义域上是减函数必需进行证明，函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点. .因此因此解题过程分为两个部分，先证明函数在解题过程分为两个部分，先证明函数在22，66上是减上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值函数，再求这个函数的最大值和最小值. . 函数函数 在区间在区间 上的最大值是上的最大值是_ ;_ ;最小值是最小值是_ _ 【解析解析】函数函数 在在-2,-1-2,-1上为减函数，上为减函数， 当当x=x=-2-2时，时，y= y= ；当；当x=-1x=-1时，时，y=-5y=-5，所以函数，所以函数 在在xx-2, -1-2, -1上的最大值为上的最大值为 , ,最小值为最小值为-5-5. .【变式练习变式练习】例例3 已知函数已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是a，b，acb当当xa，c时，时，f(x)是增函数；当是增函数；当xc，b时，时，f(x)是减函是减函数，试证明数，试证明f(x)在在x=c时取得最大值时取得最大值【证明证明】因为当因为当xa，c时，时，f(x)是增函数，所以是增函数，所以对于任意对于任意xa，c，都有，都有f(x)f(c).又因为当又因为当xc，b时，时，f(x)是减函数，所以对于任意是减函数，所以对于任意xc，b，都，都有有f(x)f(c).因此对于任意因此对于任意xa，b,都有都有f(x)f(c)，即即f(x)在在x=c时取得最大值时取得最大值1.1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大( (小小) )值值 2. 2. 利用图象求函数的最大利用图象求函数的最大( (小小) )值值 3.3.利用函数的单调性判断函数的最大利用函数的单调性判断函数的最大( (小小) )值值 如果函数如果函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间aa，bb上单调递增，则函数上单调递增，则函数y=y=f(xf(x) )在在x=ax=a处有最小值处有最小值f(af(a),),在在x=bx=b处有最大值处有最大值f(bf(b) )； 如果函数如果函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间aa，bb上单调递减，在区上单调递减，在区间间bb，cc上单调递增则函数上单调递增则函数y=y=f(xf(x) )在在x=bx=b处有最小值处有最小值f(bf(b) )； 【总结提升总结提升】 判断函数的最大判断函数的最大( (小小) )值的方法：值的方法： 已知函数已知函数f f（x x）=-x=-x2 2+6x+9+6x+9在区间在区间aa，bb，（，（a ab b3 3）上有最大值上有最大值9 9，最小值，最小值-7-7，求实数，求实数a a，b b的值的值 【解析解析】因为因为y=-y=-（x-3x-3）2 2+18+18因为因为a ab b3 3，所以当，所以当x=ax=a时，函数取得最小值时，函数取得最小值y yminmin= =-7-7；当当x=bx=b时，函数取得最大值时，函数取得最大值y ymaxmax=9=9； 即即解得：解得：a=8a=8或或-2-2；b=0b=0或或6 6又因为又因为ab3ab3，所以所以a=-2a=-2；b=0b=0【变式练习变式练习】C C2 2设二次函数设二次函数f(f(x)=)=x2 2+4+4x-3-3，函数值，函数值f(2),f(1),f(2),f(1),f(-1),f(5)f(-1),f(5)中，最小的一个是中，最小的一个是( )( )A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)【解析解析】由题意知抛物线的对称轴为由题意知抛物线的对称轴为x=-2=-2，函数函数f(xf(x)=)=x2 2+4+4x-3-3在在-2,+)-2,+)上是增函数，有上是增函数，有f(-1)f(-1)f(1)f(1)f(2)f(2)f(5).f(5).C C3. 3. 函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+4ax+2+4ax+2在区间在区间 (-(-，66内递减，内递减，则则a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.a3 B.a3A.a3 B.a3C.a-3 D.a-3C.a-3 D.a-3D D【解析解析】二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为x=-2ax=-2a 故只需故只需-2a6,-2a6,即即a-3a-3D DD D 利用函数的单调性利用函数的单调性求函数求函数的最值的最值图象法图象法函数的最大值在最高点取得函数的最大值在最高点取得先确定或证明单调函数的单调性及先确定或证明单调函数的单调性及相应的单调区间，再求函数在何处相应的单调区间，再求函数在何处取得最大值或最小值取得最大值或最小值注注意意：两两种种方方法法经经常常结结合合应应用用 在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.亚里士多德