Chapter2AxialTensionandCompression2(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2-1 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例(Conceptsandexamplesofaxialtension&compression)第二章第二章第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 Chapter2Chapter2 AxialTensionandCompressionAxialTensionandCompression2-2 内力计算内力计算(Calculationofinternalforce)2-3 应力及强度条件应力及强度条件(Stressandstrengthcondition)3(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2-4材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 (Materialpropertiesinaxialtensionandcompression) 2-5 拉压杆的变形计算拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)2-6 拉压超静定问题拉压超静定问题 (Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)4(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 2-1 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例(Conceptsandexampleproblemsofaxialtension&compression)一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例 (Engineeringexamples)(Engineeringexamples) 5(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)6(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)三、变形特点三、变形特点三、变形特点三、变形特点(Characterofdeformation)(Characterofdeformation)沿轴向伸长或缩短沿轴向伸长或缩短沿轴向伸长或缩短沿轴向伸长或缩短二、受力特点二、受力特点二、受力特点二、受力特点(Characterofexternalforce)(Characterofexternalforce)外力的合力作用线与杆的轴线重合外力的合力作用线与杆的轴线重合外力的合力作用线与杆的轴线重合外力的合力作用线与杆的轴线重合四、计算简图四、计算简图四、计算简图四、计算简图 (Simplediagramforcalculating)(Simplediagramforcalculating)FFFF轴向压缩轴向压缩轴向压缩轴向压缩(axialcompression)(axialcompression)轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸(axialtension)(axialtension)7(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)mmFF一、求内力一、求内力一、求内力一、求内力 (Calculatinginternalforce)(Calculatinginternalforce)设一等直杆在两端轴向拉力设一等直杆在两端轴向拉力设一等直杆在两端轴向拉力设一等直杆在两端轴向拉力 F F 的作用下处于平衡的作用下处于平衡的作用下处于平衡的作用下处于平衡, ,欲欲欲欲求杆件求杆件求杆件求杆件 横截面横截面横截面横截面 mm- -mm 上的内力上的内力上的内力上的内力. . 22 内力计算内力计算(Calculationofinternalforce)8(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 在求内力的截面在求内力的截面在求内力的截面在求内力的截面mm- -mm 处，处，处，处， 假想地将杆截为两部分假想地将杆截为两部分假想地将杆截为两部分假想地将杆截为两部分. . . . 取左部分部分作为研究取左部分部分作为研究取左部分部分作为研究取左部分部分作为研究对象对象对象对象. .弃去部分对研究对象弃去部分对研究对象弃去部分对研究对象弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力的作用以截开面上的内力的作用以截开面上的内力的作用以截开面上的内力代替，合力为代替，合力为代替，合力为代替，合力为F FNN. .mmFFN1.1.1.1.截面法截面法截面法截面法(Methodofsections)(Methodofsections)（1 1）截开）截开）截开）截开mmFF（2 2）代替）代替）代替）代替9(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程F FN N = F= F 式中：式中：式中：式中：F FN N 为杆件任一为杆件任一为杆件任一为杆件任一横截面横截面横截面横截面 mm- -mm上的内力上的内力上的内力上的内力. . . .与与与与杆的轴线重合，即垂直于杆的轴线重合，即垂直于杆的轴线重合，即垂直于杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心横截面并通过其形心横截面并通过其形心横截面并通过其形心, , , ,称为称为称为称为轴力轴力轴力轴力(axialforce).(axialforce).（3 3）平衡）平衡）平衡）平衡mmFFmmFFN10(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)FN若取若取若取若取 右侧为研究右侧为研究右侧为研究右侧为研究对象，则在截开面上对象，则在截开面上对象，则在截开面上对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力与部分左侧上的轴力与部分左侧上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指的轴力数值相等而指的轴力数值相等而指的轴力数值相等而指向相反向相反向相反向相反. .mmFFmmFFNmFm11(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2.2.2.2.轴力符号的规定轴力符号的规定轴力符号的规定轴力符号的规定 (Signconventionforaxialforce)(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1 1）若轴力的指向背离截面，）若轴力的指向背离截面，）若轴力的指向背离截面，）若轴力的指向背离截面， 则规定为正的，称为则规定为正的，称为则规定为正的，称为则规定为正的，称为拉力拉力拉力拉力(tensileforce).(tensileforce).（2 2）若轴力的指向指向截面，）若轴力的指向指向截面，）若轴力的指向指向截面，）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为则规定为负的，称为则规定为负的，称为则规定为负的，称为压力压力压力压力(compressiveforce).(compressiveforce).12(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)二、轴力图二、轴力图二、轴力图二、轴力图(Axialforcediagram)(Axialforcediagram)用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, ,用垂直于用垂直于用垂直于用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值, ,从而绘出表示轴从而绘出表示轴从而绘出表示轴从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线力与横截面位置关系的图线力与横截面位置关系的图线力与横截面位置关系的图线, ,称为轴力图称为轴力图称为轴力图称为轴力图 . .将正的轴力画将正的轴力画将正的轴力画将正的轴力画在在在在x x轴上侧轴上侧轴上侧轴上侧, ,负的画在负的画在负的画在负的画在x x轴下侧轴下侧轴下侧轴下侧. .xFNO13(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题 11一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图. .CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN14(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kNCABDE40kN55kN 25kN20kNFRA解解解解: : 求支座反力求支座反力求支座反力求支座反力15(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)求求求求ABAB段内的轴力段内的轴力段内的轴力段内的轴力F FR RA AF FN1N1CABDE40kN55kN 25kN20kNF FR RA A116(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)求求求求BCBC段内的轴力段内的轴力段内的轴力段内的轴力FR RA A40kNFN220kNCABDE40kN55kN 25kNFR RA A217(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)FN3求求求求CDCD段内的轴力段内的轴力段内的轴力段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN 25kN20kNFR RA A318(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)求求求求DEDE段内的轴力段内的轴力段内的轴力段内的轴力20kNFN440kN55kN 25kN20kNFR RA A419(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)F FN1N1=10kN=10kN（拉力）（拉力）（拉力）（拉力）F FN2N2=50kN=50kN（拉力）（拉力）（拉力）（拉力） F FN3N3=-5kN=-5kN（压力）（压力）（压力）（压力）F FN4N4=20kN=20kN（拉力（拉力（拉力（拉力）发生在发生在发生在发生在BCBC段内任一横截面上段内任一横截面上段内任一横截面上段内任一横截面上5010520+CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN20(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 2-3 应力及强度条件应力及强度条件(Stressandstrengthcondition)一、横截面上的正应力一、横截面上的正应力一、横截面上的正应力一、横截面上的正应力(Normalstressoncrosssection)(Normalstressoncrosssection)FFabcd21(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)1.1.1.1.变形现象变形现象变形现象变形现象(Deformationphenomenon)(Deformationphenomenon)（1 1） 横向线横向线横向线横向线abab和和和和cdcd仍为直线仍为直线仍为直线仍为直线, ,且仍然垂直于轴线且仍然垂直于轴线且仍然垂直于轴线且仍然垂直于轴线; ;（2 2） abab和和和和cdcd分别平行移至分别平行移至分别平行移至分别平行移至a abb 和和和和cdcd , ,且伸长量相等且伸长量相等且伸长量相等且伸长量相等. . 结论：各纤维的伸长相同结论：各纤维的伸长相同结论：各纤维的伸长相同结论：各纤维的伸长相同, ,所以它们所受的力也相同所以它们所受的力也相同所以它们所受的力也相同所以它们所受的力也相同. .FFabcd22(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2.2.2.2.平面假设平面假设平面假设平面假设 (Planeassumption)(Planeassumption) 变形前原为平面的横截面变形前原为平面的横截面变形前原为平面的横截面变形前原为平面的横截面, ,在变形后仍保持为平面在变形后仍保持为平面在变形后仍保持为平面在变形后仍保持为平面, ,且仍垂直于轴线且仍垂直于轴线且仍垂直于轴线且仍垂直于轴线. .3.3.3.3.内力的分布内力的分布内力的分布内力的分布(Thedistributionofinternalforce)(Thedistributionofinternalforce)F FN均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布(uniformdistribution)(uniformdistribution)23(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)式中式中式中式中, , F FN N 为轴力为轴力为轴力为轴力, ,A A 为杆的横截面面积为杆的横截面面积为杆的横截面面积为杆的横截面面积, , 的符号与的符号与的符号与的符号与轴力轴力轴力轴力F FN N 的符号相同的符号相同的符号相同的符号相同. .当轴力为正号时（拉伸）当轴力为正号时（拉伸）当轴力为正号时（拉伸）当轴力为正号时（拉伸）, ,正应力也正应力也正应力也正应力也为正号为正号为正号为正号, ,称为拉称为拉称为拉称为拉应力应力应力应力; ;当轴力为负号时（压缩）当轴力为负号时（压缩）当轴力为负号时（压缩）当轴力为负号时（压缩）, ,正应力也正应力也正应力也正应力也为负号为负号为负号为负号, ,称为压称为压称为压称为压应力应力应力应力 . .4.4.4.4.正应力公式正应力公式正应力公式正应力公式(Formulafornormalstress)(Formulafornormalstress)24(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)Fkk F二、二、二、二、 斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane)Stressonaninclinedplane) 1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力（StressonaninclinedplaneStressonaninclinedplane）FkkFp以以以以 p p 表示斜截面表示斜截面表示斜截面表示斜截面 k k- -k k上的上的上的上的 应力，于是有应力，于是有应力，于是有应力，于是有25(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)沿截面法线方向的正应力沿截面法线方向的正应力沿截面法线方向的正应力沿截面法线方向的正应力 沿截面切线方向的切应力沿截面切线方向的切应力沿截面切线方向的切应力沿截面切线方向的切应力 将应力将应力将应力将应力 p p 分解为两个分量：分解为两个分量：分解为两个分量：分解为两个分量： p p Fkk FFkkxn p 26(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（1 1） 角角角角2.2.2.2.符号的规定符号的规定符号的规定符号的规定(Signconvention)(Signconvention)（2 2）正应力）正应力）正应力）正应力拉伸为正拉伸为正拉伸为正拉伸为正压缩为负压缩为负压缩为负压缩为负（3 3）切应力）切应力）切应力）切应力 对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩 p p Fkk FFkkxn p顺时针为正顺时针为正顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负逆时针为负逆时针为负逆时针时逆时针时逆时针时逆时针时 为正号为正号为正号为正号顺时针时顺时针时顺时针时顺时针时 为负号为负号为负号为负号自自自自 x x 转向转向转向转向 n n 27(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（1 1）当）当）当）当 =0=0 时时时时，（2 2）当）当）当）当 =45=45时，时，时，时， （3 3）当）当）当）当 =-45=-45 时，时，时，时，（4 4）当）当）当）当 =90=90时，时，时，时，讨讨讨讨 论论论论xnFkk 28(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件(Strengthcondition)(Strengthcondition)杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式(Mathematicalformula)(Mathematicalformula)2.2.2.2.强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)(Applicationofstrengthcondition)（2 2）设计截面）设计截面）设计截面）设计截面（1 1） 强度校核强度校核强度校核强度校核（3 3）确定许可荷载）确定许可荷载）确定许可荷载）确定许可荷载29(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题2 2 2 2 一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为正方形的砖柱分上、下两段两段两段两段, ,其受力情况其受力情况其受力情况其受力情况, ,各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积如图所示如图所示如图所示如图所示. . . .已知已知已知已知F F F F = 50 = 50 = 50 = 50kNkN，试求荷载引起，试求荷载引起，试求荷载引起，试求荷载引起的最大工作应力的最大工作应力的最大工作应力的最大工作应力. . . .FABCFF3000400037024021解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）作轴力图）作轴力图）作轴力图）作轴力图30(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)FABCFF300040003702402150kN150kN（2 2） 求应力求应力求应力求应力结论：结论：结论：结论： 在柱的下段，其在柱的下段，其在柱的下段，其在柱的下段，其 值值值值为为为为1.1MPa1.1MPa，是压应力，是压应力，是压应力，是压应力. .31(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题33简易起重设备中，简易起重设备中，简易起重设备中，简易起重设备中，ACAC杆由两根杆由两根杆由两根杆由两根 8080 8080 7 7等边角等边角等边角等边角钢组成，钢组成，钢组成，钢组成，ABAB杆由两根杆由两根杆由两根杆由两根 1010号工字钢组成号工字钢组成号工字钢组成号工字钢组成. .材料为材料为材料为材料为Q235Q235钢，钢，钢，钢，许用应力许用应力许用应力许用应力 =170MPa.=170MPa.求许可荷载求许可荷载求许可荷载求许可荷载 F F. .ABCF1m3030。32(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)解：（解：（解：（解：（1 1） 取结点取结点取结点取结点A A为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图所示所示所示所示. .ABCF1m3030 FAxyF FN1N1F FN2N23030。33(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)结点结点结点结点A A的平衡方程为的平衡方程为的平衡方程为的平衡方程为由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得FAxyF FN1N1F FN2N23030。得到得到得到得到34(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（2 2） 许可轴力为许可轴力为许可轴力为许可轴力为（3 3）各杆的许可荷载）各杆的许可荷载）各杆的许可荷载）各杆的许可荷载（4 4） 结论：许可荷载结论：许可荷载结论：许可荷载结论：许可荷载 F F=184.62kN=184.62kN35(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题44刚性杆刚性杆刚性杆刚性杆ACBACB有圆杆有圆杆有圆杆有圆杆CDCD悬挂在悬挂在悬挂在悬挂在C C点点点点, ,B B端作用集中力端作用集中力端作用集中力端作用集中力F F=25kN,=25kN,已知已知已知已知CDCD杆的直径杆的直径杆的直径杆的直径d d=20mm,=20mm,许用应力许用应力许用应力许用应力 =160MPa=160MPa，试校核，试校核，试校核，试校核CDCD杆的强度杆的强度杆的强度杆的强度, ,并求：并求：并求：并求：（1 1）结构的许可荷载）结构的许可荷载）结构的许可荷载）结构的许可荷载 F F; ;（2 2）若）若）若）若F F=50kN,=50kN,设计设计设计设计CDCD杆的杆的杆的杆的直径直径直径直径. .2aaFABDC36(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)解：解：解：解：（1 1） 求求求求CDCD杆杆杆杆的内力的内力的内力的内力2aaFABDCF FN NCDFACBF FR RAyAyF FR RAxAx（2 2）结构的许可荷载）结构的许可荷载）结构的许可荷载）结构的许可荷载 F F 由由由由37(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)F=33.5kN2aaFABDCF FN NCDFACBF FR RAyAy得得得得（3 3） 若若若若F F=50kN=50kN，设计，设计，设计，设计CDCD杆的杆的杆的杆的直径直径直径直径由由由由得得得得d d=24.4mm=24.4mm取取取取d d=25mm=25mmF FR RAxAx38(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)1.1.1.1.试验条件试验条件试验条件试验条件 (Test (Test conditionsconditions） 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 ( (Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtensionandcompression)一、实验方法一、实验方法一、实验方法一、实验方法(Testmethod)(Testmethod)（1 1） 常温常温常温常温: :室内温度室内温度室内温度室内温度（2 2） 静载静载静载静载: :以缓慢平稳的方式加载以缓慢平稳的方式加载以缓慢平稳的方式加载以缓慢平稳的方式加载（3 3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件）标准试件：采用国家标准统一规定的试件）标准试件：采用国家标准统一规定的试件）标准试件：采用国家标准统一规定的试件39(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2. 2.试验设备试验设备试验设备试验设备(Testinstruments)(Testinstruments)（1 1）微机控制电子万能试验机）微机控制电子万能试验机）微机控制电子万能试验机）微机控制电子万能试验机（2 2）游标卡尺）游标卡尺）游标卡尺）游标卡尺40(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)二、拉伸试验二、拉伸试验二、拉伸试验二、拉伸试验(Tensile tests)(Tensile tests)先在试样中间等直部分上先在试样中间等直部分上先在试样中间等直部分上先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为划两条横线这一段杆称为划两条横线这一段杆称为划两条横线这一段杆称为标标距距 l l (originalgagelength).(originalgagelength).l l =10=10d d 或或或或l l =5=5d d 1 1 1 1. . . . 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的力学性质(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1 1）拉伸试样）拉伸试样）拉伸试样）拉伸试样dl标距标距41(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（2 2） 拉伸图拉伸图拉伸图拉伸图 ( (F F- - l l 曲线曲线曲线曲线) )拉伸图与试样的尺寸有拉伸图与试样的尺寸有拉伸图与试样的尺寸有拉伸图与试样的尺寸有关关关关. .为了消除试样尺寸的影响，为了消除试样尺寸的影响，为了消除试样尺寸的影响，为了消除试样尺寸的影响，把拉力把拉力把拉力把拉力F F除以试样的原始面除以试样的原始面除以试样的原始面除以试样的原始面积积积积A A，得正应力；同时把，得正应力；同时把，得正应力；同时把，得正应力；同时把 l l 除以标距的原始长度除以标距的原始长度除以标距的原始长度除以标距的原始长度l l ，得到，得到，得到，得到应变应变应变应变. .表示表示表示表示F F和和和和 l l关系的曲线，关系的曲线，关系的曲线，关系的曲线，称为称为称为称为拉伸图拉伸图拉伸图拉伸图 (tension(tensiondiagramdiagram) )FOlefhabcddgfl042(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) p（3 3）应力应变图）应力应变图）应力应变图）应力应变图表示应力和表示应力和表示应力和表示应力和应变关系的应变关系的应变关系的应变关系的曲线，称为曲线，称为曲线，称为曲线，称为应力应力应力应力- - - -应变图应变图应变图应变图(stress-straindiagram)(stress-straindiagram) （a a） 弹性阶段弹性阶段弹性阶段弹性阶段 试样的变形完全弹性的试样的变形完全弹性的试样的变形完全弹性的试样的变形完全弹性的.此阶段内的直线段材料满足此阶段内的直线段材料满足此阶段内的直线段材料满足此阶段内的直线段材料满足胡克定律胡克定律胡克定律胡克定律 (Hookeslaw)(Hookeslaw)比例极限比例极限比例极限比例极限(proportionallimit)(proportionallimit) fOfh a43(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)b b点是弹性阶段的最高点点是弹性阶段的最高点点是弹性阶段的最高点点是弹性阶段的最高点. .弹性弹性弹性弹性极限极限极限极限(elasticlimit)(elasticlimit)（b b） 屈服阶段屈服阶段屈服阶段屈服阶段当应力超过当应力超过当应力超过当应力超过b b点后，点后，点后，点后，试样的荷载基本不变而试样的荷载基本不变而试样的荷载基本不变而试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种变形却急剧增加，这种变形却急剧增加，这种变形却急剧增加，这种现象称为现象称为现象称为现象称为屈服屈服屈服屈服( (yielding).yielding). p fOfh ab ec c点为屈服低限点为屈服低限点为屈服低限点为屈服低限屈服屈服屈服屈服极限极限极限极限(yieldingstrength)(yieldingstrength)44(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) s b（c c）强化阶段）强化阶段）强化阶段）强化阶段过屈服阶段后，材料又过屈服阶段后，材料又过屈服阶段后，材料又过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，恢复了抵抗变形的能力，恢复了抵抗变形的能力，恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加要使它继续变形必须增加要使它继续变形必须增加要使它继续变形必须增加拉力拉力拉力拉力. .这种现象称为材料的这种现象称为材料的这种现象称为材料的这种现象称为材料的强化强化强化强化 ( (hardening)hardening) e e点是强化阶段的最高点点是强化阶段的最高点点是强化阶段的最高点点是强化阶段的最高点强度强度强度强度极限极限极限极限(ultimateStrength)(ultimateStrength) e p fOfh abce45(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（d d） 局部变形阶段局部变形阶段局部变形阶段局部变形阶段过过过过e e点后，试样在某一点后，试样在某一点后，试样在某一点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地段内的横截面面积显箸地段内的横截面面积显箸地段内的横截面面积显箸地收缩，出现收缩，出现收缩，出现收缩，出现 颈缩颈缩颈缩颈缩 (necking)(necking)现象，一直到试样被拉断现象，一直到试样被拉断现象，一直到试样被拉断现象，一直到试样被拉断. . s b e p fOfh abce46(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由的长度由的长度由的长度由 l l 变为变为变为变为 l l1 1，横截面积原为，横截面积原为，横截面积原为，横截面积原为 A A ，断口处的最小横，断口处的最小横，断口处的最小横，断口处的最小横截面积为截面积为截面积为截面积为 A A11. . 断面收缩率断面收缩率断面收缩率断面收缩率 (percentreductioninarea)(percentreductioninarea) 伸长率伸长率伸长率伸长率(percentelongation)(percentelongation) 5%5%的材料，称作的材料，称作的材料，称作的材料，称作塑性材料塑性材料塑性材料塑性材料 (ductilematerials)(ductilematerials) 5%5%的材料，称作的材料，称作的材料，称作的材料，称作脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 (brittle(brittlematerials)materials)（4 4）伸长率和端面收缩率）伸长率和端面收缩率）伸长率和端面收缩率）伸长率和端面收缩率47(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（5 5）卸载定律及冷作硬化）卸载定律及冷作硬化）卸载定律及冷作硬化）卸载定律及冷作硬化卸载定律卸载定律卸载定律卸载定律 (unloading(unloading law)law)若加载到强化阶段的若加载到强化阶段的若加载到强化阶段的若加载到强化阶段的某一点某一点某一点某一点d d 停止加载停止加载停止加载停止加载, ,并逐渐并逐渐并逐渐并逐渐卸载卸载卸载卸载, ,在卸载过程中在卸载过程中在卸载过程中在卸载过程中, ,荷载荷载荷载荷载与试样伸长量之间遵循直与试样伸长量之间遵循直与试样伸长量之间遵循直与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的线关系的规律称为材料的线关系的规律称为材料的线关系的规律称为材料的卸载定律卸载定律卸载定律卸载定律 (unloading(unloading law)law). . abcefOgfh dd48(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 在常温下把材料预拉到在常温下把材料预拉到在常温下把材料预拉到在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载强化阶段然后卸载强化阶段然后卸载强化阶段然后卸载, ,当再次当再次当再次当再次加载时加载时加载时加载时, ,试样在线弹性范围试样在线弹性范围试样在线弹性范围试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增内所能承受的最大荷载将增内所能承受的最大荷载将增内所能承受的最大荷载将增大大大大. . . .这种现象称为冷作硬化这种现象称为冷作硬化这种现象称为冷作硬化这种现象称为冷作硬化. .冷作硬化冷作硬化冷作硬化冷作硬化 e e e e - - - - 弹性应变弹性应变弹性应变弹性应变(elasticstrain)(elasticstrain) p p p p - - - - 塑性应变塑性应变塑性应变塑性应变(plasticstrain)(plasticstrain) abcdefOdgfh e e p pd49(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)YieldStrengthandUltimateStrengthYieldStrengthandUltimateStrength50(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2.2.2.2.无明显屈服极限的塑性材料无明显屈服极限的塑性材料无明显屈服极限的塑性材料无明显屈服极限的塑性材料( (Ductile materials without Ductile materials without clearing defined yield point)clearing defined yield point) 0.23.3.3.3.铸铁拉伸时的机械性能铸铁拉伸时的机械性能铸铁拉伸时的机械性能铸铁拉伸时的机械性能 - - - - 铸铁拉伸强度铸铁拉伸强度铸铁拉伸强度铸铁拉伸强度极限极限极限极限(Mechanicalpropertiesfor(Mechanicalpropertiesforacastironintension)acastironintension) 0.20.2%s割线斜率割线斜率割线斜率割线斜率名义屈服应力用名义屈服应力用名义屈服应力用名义屈服应力用 表示表示表示表示. .O /MPa/% 51(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)Brittlevs.DuctileBehaviorBrittlevs.DuctileBehavior52(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)三、材料压缩时的力学性能三、材料压缩时的力学性能三、材料压缩时的力学性能三、材料压缩时的力学性能(Mechanicalpropertiesof(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)materialsinaxialcompression)1.1.1.1.实验试样实验试样实验试样实验试样 (Testspecimen)(Testspecimen)2.2.2.2.低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的 - - - - 曲线曲线曲线曲线(Stress-(Stress-straincurveforalow-carbonsteelstraincurveforalow-carbonsteelincompression)incompression)dhF FF FF FF F53(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) sO 压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明低碳钢压缩时低碳钢压缩时低碳钢压缩时低碳钢压缩时的弹性模量的弹性模量的弹性模量的弹性模量E E屈服屈服屈服屈服极限极限极限极限 s s都与拉伸时都与拉伸时都与拉伸时都与拉伸时大致相同大致相同大致相同大致相同. .屈服阶段后屈服阶段后屈服阶段后屈服阶段后, ,试试试试样越压越扁样越压越扁样越压越扁样越压越扁, ,横截面横截面横截面横截面面积不断增大面积不断增大面积不断增大面积不断增大, ,试样试样试样试样不可能被压断不可能被压断不可能被压断不可能被压断, ,因此因此因此因此得不到压缩时的强得不到压缩时的强得不到压缩时的强得不到压缩时的强度极限度极限度极限度极限. .54(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)3.3.3.3.铸铁压缩时的铸铁压缩时的铸铁压缩时的铸铁压缩时的 - - - - 曲线曲线曲线曲线(Stress - strain curve for cast iron in compression)(Stress - strain curve for cast iron in compression)O /% 铸铁压缩时破坏端面与铸铁压缩时破坏端面与铸铁压缩时破坏端面与铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成横截面大致成横截面大致成横截面大致成4545 5555倾倾倾倾角角角角, ,表明这类试样主要因剪表明这类试样主要因剪表明这类试样主要因剪表明这类试样主要因剪切而破坏切而破坏切而破坏切而破坏, ,铸铁的抗压强度铸铁的抗压强度铸铁的抗压强度铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的极限是抗拉强度极限的极限是抗拉强度极限的极限是抗拉强度极限的4 45 5倍倍倍倍. .55(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)以大于以大于以大于以大于1 1的因数除极限应力的因数除极限应力的因数除极限应力的因数除极限应力, ,并将所得结果称为许用并将所得结果称为许用并将所得结果称为许用并将所得结果称为许用应力应力应力应力, ,用用用用 表示表示表示表示. .2.2.许用应力许用应力许用应力许用应力(Allowablestress)(Allowablestress)1.1.极限应力极限应力极限应力极限应力(Ultimatestress)(Ultimatestress)四、安全因数和许用应力四、安全因数和许用应力四、安全因数和许用应力四、安全因数和许用应力(Factorofsafety&allowablestress)(Factorofsafety&allowablestress) n n安全因数安全因数安全因数安全因数 (factorofsafety)(factorofsafety)塑性材料塑性材料塑性材料塑性材料 (ductilematerials)(ductilematerials)脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 (brittlematerials)(brittlematerials)材料的两个强度指标材料的两个强度指标材料的两个强度指标材料的两个强度指标 s s和和和和 b b 称作极限应力或危险称作极限应力或危险称作极限应力或危险称作极限应力或危险应力应力应力应力, ,并用并用并用并用 u u 表示表示表示表示. .56(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)五、五、 应力集中应力集中(Stress concentrations)开有圆孔的板条开有圆孔的板条开有圆孔的板条开有圆孔的板条F FF FF F带有切口的板条带有切口的板条带有切口的板条带有切口的板条F FF FF F57(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为的现象，称为的现象，称为的现象，称为应力集中应力集中应力集中应力集中 (stressconcentrations).(stressconcentrations).应力集中因数应力集中因数应力集中因数应力集中因数(stress- concentration (stress- concentration factor)factor) 同一截面上按净面积算出的平均应力同一截面上按净面积算出的平均应力同一截面上按净面积算出的平均应力同一截面上按净面积算出的平均应力F F发生应力集中的截面上的最大应力发生应力集中的截面上的最大应力发生应力集中的截面上的最大应力发生应力集中的截面上的最大应力58(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)六、蠕变及松弛六、蠕变及松弛(creeping&relaxation)固体材料在保持应力不变的情况下，固体材料在保持应力不变的情况下，固体材料在保持应力不变的情况下，固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为应变随时间缓慢增长的现象称为应变随时间缓慢增长的现象称为应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变蠕变蠕变蠕变(creeping)(creeping)粘弹性材料在总应变不变的条件下粘弹性材料在总应变不变的条件下粘弹性材料在总应变不变的条件下粘弹性材料在总应变不变的条件下, ,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为低的现象称为低的现象称为低的现象称为松弛松弛松弛松弛 (r(relaelax xation)ation)59(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 2-5 拉压杆的变形计算拉压杆的变形计算 (Calculationofaxialdeformation)FFbh一、纵向变形一、纵向变形一、纵向变形一、纵向变形 (Axialdeformation)(Axialdeformation)b b1 1l ll l1 12.2.纵向应变纵向应变纵向应变纵向应变 (Axialstrain)(Axialstrain)1.1.纵向变形纵向变形纵向变形纵向变形 (Axialdeformation)(Axialdeformation)60(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)二、二、二、二、横向变形横向变形横向变形横向变形(Lateraldeformation)(Lateraldeformation)三、泊松比三、泊松比三、泊松比三、泊松比 (Poissonsratio)(Poissonsratio) 称为称为称为称为泊松比泊松比泊松比泊松比 (Poissonsratio)(Poissonsratio)2.2.横向应变横向应变横向应变横向应变(Lateral(Lateralstrain)strain)FFbhb b1 1l ll l1 11.1.横向变形横向变形横向变形横向变形(Lateraldeformation)(Lateraldeformation)61(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)四、胡克定律四、胡克定律四、胡克定律四、胡克定律 (Hookeslaw)(Hookeslaw)式中式中式中式中 E E 称为称为称为称为弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 (modulusofelasticity)(modulusofelasticity)，EAEA称称称称为抗拉（压）为抗拉（压）为抗拉（压）为抗拉（压）刚度刚度刚度刚度( ( ( (rigidity).rigidity).实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比在此弹性范围内，正应力与线应变成正比在此弹性范围内，正应力与线应变成正比在此弹性范围内，正应力与线应变成正比. . . .上式改写为上式改写为上式改写为上式改写为由由由由62(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题55图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆ABCDABCD. .已知已知已知已知F F1 1=20kN=20kN，F F2 2=35kN=35kN，F F3 3=35kN.=35kN.弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 E=210GPaE=210GPa， l l1 1= =l l3 3=300mm=300mm，l l2 2=400mm.=400mm.d d1 1=12mm=12mm，d d2 2=16mm=16mm，d d3 3=24mm.=24mm.试求：试求：试求：试求：（1 1） -、-、III-IIIIII-III截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图（2 2） 杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力 maxmax（3 3） B B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3 l1l2l3ABCD63(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)解：求支座反力解：求支座反力解：求支座反力解：求支座反力 F FR RD D=-50kN=-50kNF1F2F3 l1l2l3ABCDF FR RD D（1 1）-、-、III-IIIIII-III截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图F1FN164(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)F2F1FN2F1F2F3 l1l2l3ABCDF FR RD DFR RD DFN365(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3 l1l2l3ABCDF FR RD D66(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（2 2） 杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力 maxmaxABAB段段段段DCDC段段段段BCBC段段段段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3 l1l2l3ABCDF FR RD D maxmax=176.8MPa=176.8MPa 发生在发生在发生在发生在ABAB段段段段. .67(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（3 3） B B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3 l1l2l3ABCDF FR RD D68(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题6 6 6 6 图所示杆系由两根钢杆图所示杆系由两根钢杆图所示杆系由两根钢杆图所示杆系由两根钢杆 1 1和和和和 2 2组成组成组成组成. .已知杆端铰接，已知杆端铰接，已知杆端铰接，已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成两杆与铅垂线均成两杆与铅垂线均成两杆与铅垂线均成 =30=30 的角度的角度的角度的角度, ,长度均为长度均为长度均为长度均为 l l =2m,=2m,直径直径直径直径均为均为均为均为 d d=25mm,=25mm,钢的弹性模量为钢的弹性模量为钢的弹性模量为钢的弹性模量为 E E=210GPa.=210GPa.设在点设在点设在点设在点A A处悬处悬处悬处悬挂一重物挂一重物挂一重物挂一重物 F F=100=100kNkN, ,试求试求试求试求 A A点点点点的位移的位移的位移的位移 A A. .ABC12 69(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)ABC12 解：解：解：解：（1 1） 列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程, ,求杆的轴力求杆的轴力求杆的轴力求杆的轴力FyF FN N1 1F FN2N2A12 x70(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)A（2 2 2 2）两杆的变形为）两杆的变形为）两杆的变形为）两杆的变形为变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起. . . .ABC12 ABC12 （伸长）（伸长）（伸长）（伸长）71(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 以两杆伸长后的长度以两杆伸长后的长度以两杆伸长后的长度以两杆伸长后的长度BABA11和和和和 CACA2 2 为半径作圆弧相交为半径作圆弧相交为半径作圆弧相交为半径作圆弧相交于于于于 A A , , , ,即为即为即为即为A A点的新位置点的新位置点的新位置点的新位置. . . .AAAA 就是就是就是就是A A A A点的位移点的位移点的位移点的位移. . . .AA ABC12 A A2 2A1A 12因变形很小因变形很小因变形很小因变形很小, , , ,故可过故可过故可过故可过 A A1 1 1 1，A A2 2 分别做两杆的垂线，相交分别做两杆的垂线，相交分别做两杆的垂线，相交分别做两杆的垂线，相交于于于于 A A A A 可认为可认为可认为可认为A72(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)F FAF FN N1F FN N2x30yA1 1例题例题例题例题7 7 7 7 图示三角形架图示三角形架图示三角形架图示三角形架ABAB和和和和AC AC 杆的弹性模量杆的弹性模量杆的弹性模量杆的弹性模量 E E=200=200=200=200GPaGPaA A1 1=2172mm=2172mm2 2，A A2 2=2548mm=2548mm2 2. .求求求求 当当当当F F=130=130=130=130kNkN时节点的位移时节点的位移时节点的位移时节点的位移. . . .2mABCF301 12 2解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)由平衡方程得两杆的由平衡方程得两杆的由平衡方程得两杆的由平衡方程得两杆的轴力轴力轴力轴力1 1杆受拉杆受拉杆受拉杆受拉, , , ,2 2杆受压杆受压杆受压杆受压A2 2（2 2）两杆的变形）两杆的变形）两杆的变形）两杆的变形73(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)3030AA1A2A30AAAA3 3 为所求为所求为所求为所求A A点的位移点的位移点的位移点的位移A1 12mABCF301 12 2A2 2A374(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)五、应变能五、应变能(strainenergy)应变能应变能弹性体受力而变形时所积蓄的能弹性体受力而变形时所积蓄的能量。量。弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能Ve e在数值上等于外力所作功在数值上等于外力所作功在数值上等于外力所作功在数值上等于外力所作功W，Ve e=W。应变能的单位为应变能的单位为应变能的单位为应变能的单位为J（1J=1Nm）。）。75(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)拉杆拉杆拉杆拉杆( ( ( (压杆压杆压杆压杆) ) ) )在线弹性范围内的应变能在线弹性范围内的应变能在线弹性范围内的应变能在线弹性范围内的应变能或或外力外力F所作功所作功：杆内杆内应变能应变能：76(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)亦可写作亦可写作或或或或应变能密度应变能密度ve e单位体积内的应变能单位体积内的应变能。应变能密度的单位为应变能密度的单位为J/m3。77(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)沿杆长沿杆长均匀分均匀分布的荷载集度布的荷载集度为为f轴轴力图力图微段的分离体微段的分离体78(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题8 8求如图所示杆系的应求如图所示杆系的应求如图所示杆系的应求如图所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原变能，并按弹性体的功能原变能，并按弹性体的功能原变能，并按弹性体的功能原理理理理(V=W )求结点求结点求结点求结点A A的位移的位移的位移的位移 A。已知：已知：P =100kN，杆长杆长杆长杆长l =2m，杆的直径杆的直径杆的直径杆的直径d =25mm， =30，材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。79(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)利用利用利用利用V=W 只能求只能求只能求只能求P力的作用点沿力的作用点沿力的作用点沿力的作用点沿P力方向的力方向的力方向的力方向的位移。本题中由对称性可知位移。本题中由对称性可知位移。本题中由对称性可知位移。本题中由对称性可知，A点的水平位移点的水平位移点的水平位移点的水平位移 Ax=0，只有竖直位移只有竖直位移只有竖直位移只有竖直位移 Ay，即即即即 A= Ay所以可用所以可用所以可用所以可用1/2P A = V求求 A 。80(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)1. 1. 求结构的应变能求结构的应变能求结构的应变能求结构的应变能由节点由节点由节点由节点A A的平衡方程求得的平衡方程求得的平衡方程求得的平衡方程求得FN1=FN2=P/2cos 结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为81(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)2. 2. 求结点求结点求结点求结点A A的位移的位移的位移的位移82(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题(Staticallydeterminate&indeterminateproblem)(Staticallydeterminate&indeterminateproblem) 2-6 拉压超静定问题拉压超静定问题 (Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)1.1.1.1.静定问题静定问题静定问题静定问题 (Staticallydeterminateproblem)(Staticallydeterminateproblem) 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, ,这种情况称作这种情况称作这种情况称作这种情况称作静定问题静定问题静定问题静定问题. .2.2.2.2.超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题(Staticallyindeterminateproblem)(Staticallyindeterminateproblem) 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题况称做超静定问题况称做超静定问题况称做超静定问题. .83(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 1. 1. 1. 1.超静定的次数超静定的次数超静定的次数超静定的次数(Degreesofstaticallyindeterminateproblem)(Degreesofstaticallyindeterminateproblem) 未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目, ,称作称作称作称作超静定的次数超静定的次数超静定的次数超静定的次数. .二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法 (Solutionmethodsforstaticallyindeterminate(Solutionmethodsforstaticallyindeterminateproblemproblem） n n=未知力的个数未知力的个数未知力的个数未知力的个数 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目84(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（1 1）确定静不定次数；列静力平衡方程）确定静不定次数；列静力平衡方程）确定静不定次数；列静力平衡方程）确定静不定次数；列静力平衡方程（2 2）根据变形协调条件列变形几何方程）根据变形协调条件列变形几何方程）根据变形协调条件列变形几何方程）根据变形协调条件列变形几何方程（3 3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变 形几何方程得补充方程形几何方程得补充方程形几何方程得补充方程形几何方程得补充方程（4 4）联立补充方程与静力平衡方程求解）联立补充方程与静力平衡方程求解）联立补充方程与静力平衡方程求解）联立补充方程与静力平衡方程求解2.2.2.2.求解超静定问题的步骤求解超静定问题的步骤(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)85(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 例题例题例题例题9 9 9 9 设设设设 1 1，2 2，3 3三杆用绞链连结如图所三杆用绞链连结如图所三杆用绞链连结如图所三杆用绞链连结如图所示，示，示，示，l l1 1=l l2 2=l l，A A1 1 =A A22=A A， E E1 1=E E2 2=E E，3 3杆杆杆杆的长度的长度的长度的长度 l l3 3 , , , ,横截面积横截面积横截面积横截面积 A A3 3 , , , ,弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E3 3 。试求试求试求试求在沿铅垂方向的外力在沿铅垂方向的外力在沿铅垂方向的外力在沿铅垂方向的外力F F作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力. . . .三、一般超静定问题举例三、一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem) 86(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)解：解：解：解：（1 1 1 1）列平衡）列平衡）列平衡）列平衡方程方程方程方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题CABDF 1 12 23 3xyFAF FN2N2F FN3N3F FN1N187(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（2 2 2 2）变形几何方程变形几何方程变形几何方程变形几何方程 由于问题在几何由于问题在几何由于问题在几何由于问题在几何, ,物理及物理及物理及物理及 受力方面都是对称受力方面都是对称受力方面都是对称受力方面都是对称, ,所以变形所以变形所以变形所以变形后后后后A A点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移. .变形协调条件是变形后三杆仍变形协调条件是变形后三杆仍变形协调条件是变形后三杆仍变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起绞结在一起绞结在一起绞结在一起CABDF 1 12 23 3xyFAF FN2N2F FN3N3F FN1N1CABD 1 12 23 3AA88(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为 A1 12 23 3 CABDF 1 12 23 3CABD 1 12 23 3AAAA（3 3）补充方程）补充方程）补充方程）补充方程物理方程为物理方程为物理方程为物理方程为89(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（4 4）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解CABDF 1 12 23 3 A1 12 23 3 AA90(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)例题例题例题例题10 10 10 10 图示平行杆系图示平行杆系图示平行杆系图示平行杆系1 1、2 2、3 3 悬吊着刚性横梁悬吊着刚性横梁悬吊着刚性横梁悬吊着刚性横梁ABAB，在，在，在，在横梁上作用着荷载横梁上作用着荷载横梁上作用着荷载横梁上作用着荷载F F。各杆的截面积、长度、弹性模量。各杆的截面积、长度、弹性模量。各杆的截面积、长度、弹性模量。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为均相同，分别为均相同，分别为均相同，分别为A A，l l，E E. . . .试求三杆的轴力试求三杆的轴力试求三杆的轴力试求三杆的轴力 F FN1N1, ,F FN2N2, ,F FN3N3. . . .ABCF3aal2191(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx x解：（解：（解：（解：（1 1） 平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题, ,且假设且假设且假设且假设均为拉杆均为拉杆均为拉杆均为拉杆. .92(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（2 2） 变形几何方程变形几何方程变形几何方程变形几何方程物理方程物理方程物理方程物理方程ABCF3aal21ABC321（3 3） 补充方程补充方程补充方程补充方程93(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)ABCF3aal21ABC321（4 4）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解94(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 图示杆系图示杆系图示杆系图示杆系, ,若若若若3 3杆尺寸有微小误差杆尺寸有微小误差杆尺寸有微小误差杆尺寸有微小误差, ,则在杆系装配好后则在杆系装配好后则在杆系装配好后则在杆系装配好后, ,各杆将处于图中位各杆将处于图中位各杆将处于图中位各杆将处于图中位置置置置, ,因而产生轴力因而产生轴力因而产生轴力因而产生轴力.3.3杆的轴力为拉力杆的轴力为拉力杆的轴力为拉力杆的轴力为拉力,1.,1.2 2杆的轴力为压力杆的轴力为压力杆的轴力为压力杆的轴力为压力. .这种附加的内力就这种附加的内力就这种附加的内力就这种附加的内力就称为装配内力称为装配内力称为装配内力称为装配内力. .与之相对应的应力称与之相对应的应力称与之相对应的应力称与之相对应的应力称为为为为装配应力装配应力装配应力装配应力 (initialstresses)(initialstresses) . .四、装配应力四、装配应力四、装配应力四、装配应力 (Initialstresses)(Initialstresses)(Staticallyindeterminate(Staticallyindeterminatestructurewithamisfit)structurewithamisfit)ABCD 2 21 13 3l95(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) ABCD 2 21 13 3l代表杆代表杆代表杆代表杆3 3的伸长的伸长的伸长的伸长代表杆代表杆代表杆代表杆1 1或杆或杆或杆或杆2 2的缩短的缩短的缩短的缩短 代表装配后代表装配后代表装配后代表装配后A A点的位移点的位移点的位移点的位移（1 1） 变形几何方程变形几何方程变形几何方程变形几何方程（2 2） 物理方程物理方程物理方程物理方程 96(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（3 3）补充方程）补充方程）补充方程）补充方程 ABCD 2 21 13 3l （4 4） 平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程F FN3N3F FN2N2F FN1N1F FN1N1， F FN2N2， F FN3N3（5 5）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解97(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear) 例题例题例题例题1111两铸件用两根钢杆两铸件用两根钢杆两铸件用两根钢杆两铸件用两根钢杆 1.21.2连接连接连接连接, ,其间距为其间距为其间距为其间距为 l l =200mm.=200mm.现要将制造得过长了现要将制造得过长了现要将制造得过长了现要将制造得过长了 e e=0.11mm=0.11mm的铜杆的铜杆的铜杆的铜杆 3 3装入铸件之间装入铸件之间装入铸件之间装入铸件之间, ,并保持三根杆的轴线平行且等间并保持三根杆的轴线平行且等间并保持三根杆的轴线平行且等间并保持三根杆的轴线平行且等间距距距距 a a, ,试计算各杆内的装配应力试计算各杆内的装配应力试计算各杆内的装配应力试计算各杆内的装配应力. .已知：钢杆直径已知：钢杆直径已知：钢杆直径已知：钢杆直径 d d=10mm,=10mm,铜杆横截面积为铜杆横截面积为铜杆横截面积为铜杆横截面积为2020 30mm30mm的矩形的矩形的矩形的矩形, ,钢的钢的钢的钢的弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E1 1=210GPa,=210GPa,铜的弹性模量铜的弹性模量铜的弹性模量铜的弹性模量E E3 3=100GPa.=100GPa.铸件很厚铸件很厚铸件很厚铸件很厚, ,其变形可略去不计其变形可略去不计其变形可略去不计其变形可略去不计, ,故可看作刚体故可看作刚体故可看作刚体故可看作刚体. .98(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)ABC12aaB1A1C1l3C1C e e99(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（1 1）变形几何方程为）变形几何方程为）变形几何方程为）变形几何方程为l3C1 e eC l l3 3ABC12B1C1A1 l l1 1 l l2 2= =100(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)aax（3 3）补充方程）补充方程）补充方程）补充方程（4 4）平衡方程）平衡方程）平衡方程）平衡方程（2 2）物理方程）物理方程）物理方程）物理方程CABF FN3N3F FN1N1F FN2N2联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解, ,即可得装配内力，即可得装配内力，即可得装配内力，即可得装配内力，进而求出装配应力进而求出装配应力进而求出装配应力进而求出装配应力. .101(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)五、温度应力五、温度应力(Thermalstressesortemperaturestresses)温度变化将引起物体的膨胀或收缩温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静静定结构可以自由变形定结构可以自由变形,不会引起构件的内力不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束约束,温度变化时往往就要引起内力温度变化时往往就要引起内力,与之相与之相对应的应力称为对应的应力称为热应力热应力 (thermalstresses)或或温度应力温度应力 (temperaturestresses).102(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)ABl l 例题例题12 图图 示等直杆示等直杆 AB 的两端分别与刚性的两端分别与刚性支承连结支承连结.设两支承的距离（即杆长）为设两支承的距离（即杆长）为 l,杆杆的横截面面积为的横截面面积为 A,材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E,线线膨胀系数为膨胀系数为 .试求温度升高试求温度升高 T 时杆内的时杆内的温度应力温度应力.103(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)解解解解: :这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题变形相容条件是变形相容条件是变形相容条件是变形相容条件是杆的总长度不变杆的总长度不变杆的总长度不变杆的总长度不变. .杆的变形为两部分杆的变形为两部分杆的变形为两部分杆的变形为两部分, ,即由温度升高引起的变即由温度升高引起的变即由温度升高引起的变即由温度升高引起的变形形形形 l lT T 以及与轴向压力以及与轴向压力以及与轴向压力以及与轴向压力F FR R相应的弹性变形相应的弹性变形相应的弹性变形相应的弹性变形 l lF FAB l lT TABl lBAB l lF FF FR RA AF FR RB B104(Axialtension&Compression,Shear)(Axialtension&Compression,Shear)（1 1）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程（3 3）补充方程）补充方程）补充方程）补充方程（4 4）温度内力）温度内力）温度内力）温度内力ABl lAB l lT T（2 2）物理方程）物理方程）物理方程）物理方程由此得温度应力由此得温度应力由此得温度应力由此得温度应力BAB l lF FF FR RA AF FR RB B