2-4 振型分解反应谱法 大多数结构物都应简化为多质点体系分析 。而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本方法。其基本概念：假定建筑结构是线弹性多自由度体系；利用振型分解，变为求解n个独立的等效单自由度弹性体系的最大地震反应，从而求得每一振型的作用效应；按SRSS或CQC法则进行作用效应组合。振型分解法只需考虑前几阶振型，减小计算量。一、不考虑扭转影响时结构的地震作用和作用效应 对大多数质量和刚度分布比较均匀和对称的结构 不需要考虑水平地震作用下的扭转影响，可在建筑物的两个主轴方向分别考虑水平地震作用进行验算。 1.多自由度弹性体系的运动方程图2-12多自由度弹性体系位移在n质点即n个自由度的弹性体系：M为质量矩阵，一般采用集中质量阵形式：K刚度矩阵，nn阶对角矩阵，如果只考虑层间剪切变形的层间剪切结构K为三对角矩阵 （2-24）（2-25）C阻尼矩阵 C=M+K瑞利阻尼形式 （2-26） 其中 、由1 、 2 、 、 确定；I单位列向量。2多自由度弹性体系的自由振动将式（2-24）略去阻尼项和右端项，振动方程： （2-27）设（2-27）式的解为：振动幅值向量即振型，不随时间而变； 其中：初相角 。 （2-28）（2-29）将式(2-28)、(2-29)代入式(2-27)，得：为了体系振动， 必须是非零解，则：该方程的n个根 、即是体系的n个自振频率，一般有：则n个自振周期：将所求的 依次代回（2-30），可得到与之相对应的 ，即为振型。(2-30)(2-31)一个两自由度体系：体系的自由振动方程为：(即式(2-30)频率方程(即式(2-31)(2-32)(2-33)可解出 ， ，将之带回(2-32)式式（2-32）是齐次方程组，两个方程线性相关 当 ， 代入只能得到各向量之间的比值：第一振型：第二振型：每一振型的幅值之比都是常数，不随时间而变。(2-34a)(2-34b)3振型的正交性(1)振型关于质量矩阵的正交性 ： 其矩阵表达式为：(2-35)式(2-35)是根据功的互等定理推导而来，式中 ， 分别为体系第 、 振型的振幅向量 。物理意义 ： 某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型上作功，说明某一个振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。 (2)振型关于刚度矩阵的正交性 其矩阵表达式为(由功的互等定理而来)：(2-36)再根据式(2-35)即可推得。物理意义：该体系按k振型振动引起得弹性恢复力在j振型位移所作的功之和等于零，也即体系按某一振型振动时，它的位移不会转移到其它振型上去。其中(3)振型关于阻尼矩阵的正交性 令： C=M+K （2-26）则有：当j=k时，j振型的广义阻尼为：（2-37）（2-38）例题2-3已知某两个质点的弹性体系（如图），其结构参数为： ， 。验算质量矩阵和刚度矩阵的正交性。 图两质点弹性体系的振型（a）两质点弹性体系；(b)第一振型；(c)第二振型质量矩阵和刚度矩阵分别为：第一振型和第二振型分别为：（1）验算振型关于质量矩阵的正交性 由式（2-61）得：解：（2）验算振型关于刚度矩阵的正交性 由式（2-68）得：