第第2 2课时不等式的证明与柯西不等式课时不等式的证明与柯西不等式1了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数 学归纳法学归纳法 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值柯西不等式求一些特定函数的极值.20112011考纲下考纲下载载不等式的证明是中学数学的难点柯西不等式只要求会简单应用不等式的证明是中学数学的难点柯西不等式只要求会简单应用. 请注意！请注意！p 课前自助餐课前自助餐p 课本导读课本导读p p4 4排序不等式排序不等式p若若a a1 1a a2 2a an n，b b1 1b b2 2b bn n为两两组实数数，c c1 1，c c2 2，c cn n是是b b1 1，b b2 2，b bn n的的任任一一排排列列，则a a1 1b bn na a2 2b bn n1 1a an nb b1 1a a1 1c c1 1a a2 2c c2 2a an nc cn na a1 1b b1 1a a2 2b b2 2a an nb bn n. .当当且且仅当当a a1 1a a2 2a an n或或b b1 1b b2 2b bn n时，反反序序和和等等于于顺序和序和答案答案B B 教材回归教材回归答案答案D D 授人以渔授人以渔注：综合法、分析法、数学归纳法见本书第十二章注：综合法、分析法、数学归纳法见本书第十二章. .题型一题型一 放缩法证明不等式放缩法证明不等式探究探究1 1放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在(1)(1)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：不等式的传递不等式的传递性；性；等量加不等量为不等量；等量加不等量为不等量；同分子同分子( (母母) )异分母异分母( (子子) )的两个分式大小的的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减比较缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和小；全量不少于部分；每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和和(2)(2)放缩法的注意事项放缩法的注意事项p所以原不等式成立所以原不等式成立p当当且且仅当当a ab bc c时，式式和和式式等等号号成成立立，当当且且仅当当a ab bc c，( (abab) )2 2( (bcbc) )2 2( (acac) )2 23 3时，式等号成立式等号成立题型二题型二 三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式问题几何平均不等式问题题型三题型三 柯西不等式的应用柯西不等式的应用p探究探究2 2利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题p探究探究3 3利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件条件题型四题型四 排序不等式的应用排序不等式的应用p探究探究4 4应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组，通常可以从应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找函数单调性去寻找本课总结本课总结p1 1对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式成向量形式p2 2对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调( (同时同时增或同时减增或同时减) )时所得两两乘积之和最大，反方向单调时所得两两乘积之和最大，反方向单调( (一增一减一增一减) )时所得时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列p课时作业（课时作业（课时作业（课时作业（6464）