ARCH-GARCH模型研究综述模型研究综述管理决策与系统理论第一小组林芃 方伟正 胡琪玲 李雅馨引言引言n自回归条件异方差（自回归条件异方差（ARCH）模型是由）模型是由Robert Engle于于1982年最早提出的，自年最早提出的，自ARCH模型始创以来，经历了两次模型始创以来，经历了两次突破。突破。n一次是广义一次是广义ARCH（Generalized ARCH），也即），也即GARCH模型的提出。从此以后，几乎所有的模型的提出。从此以后，几乎所有的ARCH模型模型新成果都是在新成果都是在GARCH模型基础上得到的。模型基础上得到的。n第二次则是长记忆在经济学上的研究取得突破，与第二次则是长记忆在经济学上的研究取得突破，与ARCH模型相结合所产生的一系列长记忆模型相结合所产生的一系列长记忆ARCH的研究从的研究从1996年年至今方兴未艾至今方兴未艾ARCH类模型因其良好的统计特性和对波动类模型因其良好的统计特性和对波动现象的准确描述，被广泛地应用于对经济类时间序列数据，现象的准确描述，被广泛地应用于对经济类时间序列数据，如利率、外汇汇率、通货膨胀率等的回归分析及预测中。如利率、外汇汇率、通货膨胀率等的回归分析及预测中。n我们将把介绍的重点放在我们将把介绍的重点放在ARCH模型早期阶段及第一次突模型早期阶段及第一次突破进展阶段。破进展阶段。研究框架研究框架 早期早期ARCHARCH模型族优缺点模型族优缺点 线性线性ARCH模型（模型（LARCH) ARCH-M模型模型 TARCH和和NARCH模型模型GARCHGARCH模型的提出与发展模型的提出与发展 线性线性GARCH模型（模型（LGARCH) EGARCH模型模型 求和求和GARCH（IGARCH) )模型模型 GARCH-MARCH-M模型模型模型模型一、早期一、早期ARCH模型族模型族ARCH模型模型 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方预测误差的方差中有某种相关性。差中有某种相关性。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 自回归条件异方差模型自回归条件异方差模型(ARCH)(ARCH)就是基于这个问题提出的。就是基于这个问题提出的。n自回归条件异方差自回归条件异方差(Autoregressive Conditional (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ModelHeteroscedasticity Model，ARCH)ARCH)模型是特别用来建立模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。条件方差模型并对其进行预测的。nARCHARCH模型是模型是19821982年由恩格尔年由恩格尔(Engle,R.)(Engle,R.)提出，并由博勒斯提出，并由博勒斯莱文莱文(Bollerslev,T.,1986)(Bollerslev,T.,1986)发展成为发展成为GARCH (Generalized GARCH (Generalized ARCH)ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。n为了刻画预测误差的方差中的相关性，恩格尔提出自为了刻画预测误差的方差中的相关性，恩格尔提出自回归条件异方差回归条件异方差 （ARCHARCH）模型。）模型。ARCHARCH的主要思想是的主要思想是时刻时刻t t的的utut的方差（的方差（= = ）依赖于时刻）依赖于时刻( (t t 1)1)的残差平方的大小，的残差平方的大小，即依赖于即依赖于ARCH模型模型线性线性ARCH模型模型 n均值修正的资产收益率 是前后不相关的，但不是独立的n 的不独立性可以用一个它的延迟值的简单二次函数来描述基本思想n模型假定n （3.1.33.1.3）n 独立同分布随机变量序列，均值为0，方差为1，n其中根据具体的模型要求，数 还必须满足其他具体的条件，这里通常假定n n服从正态分布或标准化的学生-t 分布ARCH(m)模型 从模型的结构上看，大的过去抖动的平方 导出均值修正的收益率 的大的条件方差 。从而， 有较大值的倾向。我们把这种在ARCH的框架下，大的抖动会接着另一个大的抖动的现象叫做ARCH效应(这种效应的本质其实就是序列不是独立的)，这种现象与对资产收益率所观察到的波动率聚集相似。模型结构模型结构模型的建立模型的建立nARCHARCH模型建立的简单方法包括三个步骤：模型建立的简单方法包括三个步骤：（1）对收益率序列建立一个经济计量模型）对收益率序列建立一个经济计量模型(如如ARMA模型模型)，以分离出数据中的任何线性相关成，以分离出数据中的任何线性相关成分，并用该模型的残差序列检验分，并用该模型的残差序列检验ARCH效应；效应；（2）具体确定）具体确定ARCH模型的阶，并估计参数；模型的阶，并估计参数；（3）仔细检验所拟合的）仔细检验所拟合的ARCH模型，对它进行必要模型，对它进行必要的改进。常用的检验方法有的改进。常用的检验方法有Ljung-Box统计量和统计量和Engle在在1982年提出的拉格朗日乘子法。年提出的拉格朗日乘子法。模型的缺点模型的缺点nARCHARCH模型有不少优点，但也有一些缺点：模型有不少优点，但也有一些缺点：1）ARCH模型假定正的抖动和负的抖动对波动率有相同的模型假定正的抖动和负的抖动对波动率有相同的影响，因为波动率依赖于以前抖动的平方。实际中，众影响，因为波动率依赖于以前抖动的平方。实际中，众所周知，金融资产价格对正的和负的抖动的反应是不同所周知，金融资产价格对正的和负的抖动的反应是不同的。的。2）ARCH模型对参数的限制是相当严格的。例如不同阶距模型对参数的限制是相当严格的。例如不同阶距对对a1的限制。的限制。3）对于弄清一个金融时间序列的变化的来源，）对于弄清一个金融时间序列的变化的来源， ARCH模型模型不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方式来描不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方式来描述条件方差的状态，而对由什么引起这种变化没有给出述条件方差的状态，而对由什么引起这种变化没有给出任何启示。任何启示。4）ARCH模型会过高估计波动率，因为它对收益率序列大模型会过高估计波动率，因为它对收益率序列大的孤立的抖动反应缓慢。的孤立的抖动反应缓慢。ARCH-M模型模型nARCH-MARCH-M模型由模型由EngleEngle、LilienLilien和和RobinsRobins于于19851985年首先提出，年首先提出，19871987年正式发表。年正式发表。nARCHARCH模型考虑了条件方差的时变性因素，模型考虑了条件方差的时变性因素，用以分析波动性，而波动性的分析与风险用以分析波动性，而波动性的分析与风险是分不开的。于是，是分不开的。于是，EngleEngle等人进一步把条等人进一步把条件方差可以作为随时间改变的件方差可以作为随时间改变的风险度量风险度量这这一重要用途纳入考虑范围，将风险与收益一重要用途纳入考虑范围，将风险与收益联系在一起，就提出了这一联系在一起，就提出了这一ARCHARCH模型族的模型族的重要分支。重要分支。虽然虽然ARCH-MARCH-M模型可以使条件异方差能够直接影响收益模型可以使条件异方差能够直接影响收益均值，但其估计问题却比较难解决均值，但其估计问题却比较难解决nEngle等把资产分为有风险资产和无风险资产两类，等把资产分为有风险资产和无风险资产两类， 风险风险由有风险资产的条件方差的函数来度量，风险规避者的出由有风险资产的条件方差的函数来度量，风险规避者的出价会随风险的变化而变化，从而，均衡价格将决定于价会随风险的变化而变化，从而，均衡价格将决定于“均均值值-方差方差”之间的关系。模型的最简单形式可表示为：之间的关系。模型的最简单形式可表示为： （4） 这里这里 表示某资产在时间表示某资产在时间t t 的超额收益率，的超额收益率， 是条件方是条件方差差 的函数，的函数， 如（如（2）定义。他们将）定义。他们将 取为取为 ， 模型（模型（4）与（）与（2）一起构成）一起构成 ARCH-in-Mean模型。把模型。把模型应用于美国国债分析，若将三个月期国债视为无风险模型应用于美国国债分析，若将三个月期国债视为无风险资产，那么可以发现，六个月期国债的超额收益率显著地资产，那么可以发现，六个月期国债的超额收益率显著地受风险项受风险项 的影响。的影响。TARCH与与NARCH模型模型n除了除了ARCH-MARCH-M之外，之外，ARCHARCH还有两个较重要的形式，还有两个较重要的形式，分别是分别是TARCHTARCH和和NARCHNARCH。nTARCH(Thresold ARCH)TARCH(Thresold ARCH)模型考虑到了方差与扰动模型考虑到了方差与扰动项的正负符号有关，项的正负符号有关，NARCHNARCH则是一种重要的非线性则是一种重要的非线性ARCHARCH模型，二者都针对性地解决了线性模型，二者都针对性地解决了线性ARCHARCH模型模型的某部分缺陷，比线性的某部分缺陷，比线性ARCHARCH模型更先进。模型更先进。 但由于也没有考虑方差的自相关和长记忆问题，但由于也没有考虑方差的自相关和长记忆问题，而被归于第一阶段。而被归于第一阶段。n在在ARCHARCH拓展为拓展为GARCHGARCH的阶段，它们也都对应有的阶段，它们也都对应有TGARCHTGARCH和和NGARCHNGARCH形式。形式。二、二、GARCH模型的提出与发展模型的提出与发展线性线性GARCH模型模型n当人们发现ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢”这一信息，而且在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏时,GARCH模型应运而生。nGARCH模型认为，在一定时期内，误差项的方差不仅取决于误差项过去的方差，而且还取决于过去的误差项本身。 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中模型中,设设 (3.2.1) (3.2.2)其其中中： 是是一一个个独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列，均均值值为为0，方方差差为为1， ，(3.2.1)中中给给出出的的均均值值方方程程是是一一个个带带有有误误差差项项的的外外生生变变量量函函数数。由由于于 t2是是以以前前面面信信息息为为基基础础的一期向前预测方差的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差。，所以它被称作条件方差。GARCH( (1，1) )模型模型 (3.2.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：常数项（均值）： 2用用均均值值方方程程(3.2.1)的的残残差差平平方方的的滞滞后后来来度度量量从从前前期得到的波动性的信息：期得到的波动性的信息： at2-1（ARCH项）。项）。 3上一期的预测方差：上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。项）。 GARCH(1,1)模模型型中中的的(1,1)是是指指阶阶数数为为1的的GARCH项项（括括号号中中的的第第一一项项）和和阶阶数数为为1的的ARCH项项（括括号号中中的的第第二二项项）。一一个个普普通通的的ARCH模模型型是是GARCH模模型型的的一一个个特特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差 t2的说明。的说明。 GARCH( (1，1) )模型模型 GARCH(GARCH(p p, , q q) )模型模型模型模型 高高阶阶GARCH模模型型可可以以通通过过选选择择大大于于1的的p或或q得得到到估估计计，记作记作GARCH(p, q)。其方差表示为：其方差表示为：（3.2.5） 这里这里，p是是GARCH项的阶数，项的阶数，q是是ARCH项的阶数。项的阶数。 GARCH( (p，q) )模型模型 GARCH模型的优缺点模型的优缺点GARCHGARCH模型的优点模型的优点1 1、GARCHGARCH更加简便，具有更强的应用性，开辟了更加简便，具有更强的应用性，开辟了ARCHARCH模型族的新篇章模型族的新篇章. .从这从这时起，大多数新涌现的时起，大多数新涌现的ARCHARCH模型多为模型多为GARCHGARCH型，即考虑了异方差本身的自回型，即考虑了异方差本身的自回归；归；2 2、ARCHARCH模型中参数多，估计时比较困难，而模型中参数多，估计时比较困难，而GARCHGARCH模型在实际应用中可以很模型在实际应用中可以很好地节约好地节约ARCHARCH模型的参数；模型的参数；3 3、GARCHGARCH模型提供了一个更加灵活的滞后结构，这补充了模型提供了一个更加灵活的滞后结构，这补充了ARCHARCH模型无法描述模型无法描述自相关系数消退速度慢的缺陷。自相关系数消退速度慢的缺陷。GARCHGARCH模型的缺点模型的缺点1 1、GARCHGARCH模型没有解决早期模型没有解决早期ARCHARCH模型中条件异方差值取决于扰动项的大小而模型中条件异方差值取决于扰动项的大小而与其负号无关；与其负号无关；2 2、LGRCHLGRCH模型为了确保条件异方差几乎处处非负，对参数模型为了确保条件异方差几乎处处非负，对参数 和和 所要求的所要求的非负限制也是一种局限；非负限制也是一种局限；3 3、LGRCHLGRCH模型很难判断引起条件方差波动源的持续性，而这种持续性在许多模型很难判断引起条件方差波动源的持续性，而这种持续性在许多研究有资产波动的时间序列时都是核心问题。研究有资产波动的时间序列时都是核心问题。E-GARCH模型模型n实证研究表明，收益率分布存在尖峰、厚尾性，且收益率残差对收益率存在非对称的影响。具体来看，当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；反之，股价上升时，波动性减小。股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司价值不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。n所以，非对称GARCH模型的出现十分必要。 EGARCHEGARCH或或指指数数（ExponentialExponential）GARCHGARCH模模型型由由纳纳尔尔什什（NelsonNelson，19911991）提出。条件方差被指定为：提出。条件方差被指定为： (3.4.3) (3.4.3) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。 杠杆效应的存在能够通杠杆效应的存在能够通过过 0)i0)对对 的影响是持久的。的影响是持久的。 IGARCH(1,1)IGARCH(1,1)模型能写成：模型能写成： （3.2.6 3.2.6 ） 其中其中 与前面的定义一样，与前面的定义一样，1 0.1 0. 在研究在研究IGARCH(1,1)IGARCH(1,1)模型时，模型时， 的情形是令人感兴趣的。的情形是令人感兴趣的。这时对所有的预测步长都是这时对所有的预测步长都是 。这个特殊的。这个特殊的IGARCH(1,1)IGARCH(1,1)模模型正是风险度量系统型正是风险度量系统RiskMetricsRiskMetrics所用的波动率模型，这个系统所用的波动率模型，这个系统是一种计算风险值（是一种计算风险值（Value at Risk)Value at Risk)的方法。的方法。 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为GARCH均值模型均值模型(GARCH-in-mean)或或ARCH-M回归模型。在回归模型。在GARCH-M中我们把条件方差引进中我们把条件方差引进到均值方程中到均值方程中: （3.3.1） GARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数或取对数 GARCH-MGARCH-M模型模型 GARCH-M模模型型通通常常用用于于关关于于资资产产的的预预期期收收益益与与预预期期风风险险紧紧密密相相关关的的金金融融领领域域。预预期期风风险险的的估估计计系系数数是是风风险险收收益益交交易易的的度度量量。例例如如，我我们们可可以以认认为为某某股股票票指指数数，如如上上证证的的股股票票指指数数的的票票面面收收益益（returet）依依赖赖于于一一个个常常数数项项，通通货货膨膨胀胀率率 t 以及条件方差：以及条件方差： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。 GARCH-MGARCH-M模型模型其他其他 为了衡量收益率波动的非对称性，Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型。 Engle等（1993）利用信息反应曲线分析比较了各种模型的杠杆效应，认为GJR模型最好地刻画了收益率的杠杆效应。 Glosten、Jagannathan与Runkel（1993）分析比较了各种GARCH-M模型，指出不同的模型设定会导致条件方差对收益率产生正或负的不同影响。 为了研究不同市场或资产间存在的波动溢出效应，单变量GARCH模型迅速向多元模型推广，用于研究多个收益率序列之间的波动相关性。Engle和Kroner(1995)提出了BEKK模型，Bollerslev, Engle与Wooldridge (1998)提出了VECH模型。nEngle(2002)在Bollerslev(1990)提出的常数条件相关模型(Constant conditional correlation, CCC)的基础上，提出动态条件相关模型(Dynamic conditional correlation,DCC)，通过一个可变的条件相关系数来描述不同序列之间波动相关的时变性。该模型具有明显的计算优势，能够对大型相关系数矩阵进行估计。3030 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！