第第2 2节圆与方程节圆与方程知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破经典考题研析经典考题研析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如何确定一个圆呢如何确定一个圆呢? ?提示提示: :当圆心位置与半径大小确定后当圆心位置与半径大小确定后, ,圆就唯一确定了圆就唯一确定了, ,因此因此, ,确定一个确定一个圆的最基本要素是圆心和半径圆的最基本要素是圆心和半径. .2.2.圆的一般方程中为何限制圆的一般方程中为何限制D D2 2+E+E2 2-4F0?-4F0?3.3.直线与圆的位置关系有哪些直线与圆的位置关系有哪些? ?提示提示: :相离、相切、相交相离、相切、相交. .4.4.两圆相交时两圆相交时, ,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系? ?提示提示: :两圆的方程作差消去二次项得到的关于两圆的方程作差消去二次项得到的关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程, ,就就是公共弦所在直线的方程是公共弦所在直线的方程. .知识梳理知识梳理 (1)(1)圆的定义圆的定义在平面内在平面内, ,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. .(2)(2)圆的方程圆的方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 1.1.圆的定义与方程圆的定义与方程2.2.点点A(xA(x0 0,y,y0 0) )与与C C的位置关系的位置关系(1)|AC|r(1)|AC|r点点A A在圆内在圆内(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr(3)|AC|r点点A A在圆外在圆外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2. .3.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程, ,其判别式其判别式为为,设圆心到直线的距离为设圆心到直线的距离为d,d,圆的半径为圆的半径为r.r.位置关系列表如下位置关系列表如下: :5.5.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系O O1 1、O O2 2半径分别为半径分别为r r1 1,r,r2 2,d=|O,d=|O1 1O O2 2|.|.【重要结论【重要结论】 1.1.两圆相交时两圆相交时, ,公共弦所在直线的方程公共弦所在直线的方程设圆设圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0,=0,圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0,=0,若两圆相交若两圆相交, ,则有一条公共弦则有一条公共弦, ,由由-,-,得得(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0.=0.方程方程表示圆表示圆C C1 1与与C C2 2的公共弦所在直线的方程的公共弦所在直线的方程. .2.2.若点若点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上上, ,则过则过M M点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2. .夯基自测夯基自测B B 解析解析: :设圆心为设圆心为(0,m),(0,m),由已知得圆的方程为由已知得圆的方程为x x2 2+(y-m)+(y-m)2 2=m=m2 2, ,又因为圆过点又因为圆过点(3,1),(3,1),则则9+(1-m)9+(1-m)2 2=m=m2 2, ,解得解得m=5.m=5.故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+(y-5)+(y-5)2 2=5=52 2, ,即即x x2 2+y+y2 2-10y=0.-10y=0.C C 3.(20153.(2015温州十校联考温州十校联考) )对任意的实数对任意的实数k,k,直线直线y=kx-1y=kx-1与圆与圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2x-2=0-2x-2=0的位置关系是的位置关系是( ( ) )(A)(A)相离相离(B)(B)相切相切(C)(C)相交相交(D)(D)以上三个选项均有可能以上三个选项均有可能C C 5.5.圆圆x x2 2+y+y2 2+x-2y-20=0+x-2y-20=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=25=25相交所得的公共弦长为相交所得的公共弦长为. .考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 圆的方程圆的方程答案答案: : (1)D (1)D 答案答案: : (2)B (2)B (3)(3)圆圆C C通过不同的三点通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆已知圆C C在点在点P P处的切线处的切线斜率为斜率为1,1,则圆则圆C C的方程为的方程为. .答案答案: :(3)x(3)x2 2+y+y2 2+x+5y-6=0+x+5y-6=0反思归纳反思归纳 (1) (1)求圆的方程求圆的方程, ,一般采用待定系数法一般采用待定系数法. .若已知条件与圆的圆心和半径有关若已知条件与圆的圆心和半径有关, ,可设圆的标准方程可设圆的标准方程. .若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径, ,可选择圆的一般方程可选择圆的一般方程. .(2)(2)在求圆的方程时在求圆的方程时, ,常用到圆的以下几个性质常用到圆的以下几个性质: :圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ;圆心在任一弦的垂直平分线上圆心在任一弦的垂直平分线上. .考点二考点二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 反思归纳反思归纳 (1) (1)圆的切线方程的求法圆的切线方程的求法代数法代数法: :设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),与圆的方程组成方程组与圆的方程组成方程组, ,消元消元后得到一个一元二次方程后得到一个一元二次方程, ,然后令判别式然后令判别式=0=0进而求得进而求得k.k.几何法几何法: :设切线方程为设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),利用点到直线的距离公式表示利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离出圆心到切线的距离d,d,然后令然后令d=r,d=r,进而求出进而求出k.k.(2)(2)弦长的求法弦长的求法代数方法代数方法: :将直线和圆的方程联立方程组将直线和圆的方程联立方程组, ,消元后得到一个一元二消元后得到一个一元二次方程次方程, ,在判别式在判别式00的前提下的前提下, ,利用根与系数的关系利用根与系数的关系, ,根据弦长公式根据弦长公式求弦长求弦长. .圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系考点三考点三 答案答案: : (1)B (1)B(2)1(2)1反思归纳反思归纳 判断圆与圆的位置关系时判断圆与圆的位置关系时, ,一般不用代数法一般不用代数法: :利用几何法利用几何法的关键是判断圆心距的关键是判断圆心距|O|O1 1O O2 2| |与半径的关系与半径的关系. .【即时训练【即时训练】 (1)(1)已知圆已知圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2mx+m-2mx+m2 2=4,=4,圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-2my=8-m+2x-2my=8-m2 2(m3),(m3),则两圆的位置关系是则两圆的位置关系是( () )(A)(A)相交相交(B)(B)内切内切(C)(C)外切外切(D)(D)相离相离(2)(2)若若O:xO:x2 2+y+y2 2=5=5与与O O1 1:(x-m):(x-m)2 2+y+y2 2=20(m=20(mR R) )相交于相交于A,BA,B两点两点, ,且两圆在点且两圆在点A A处的切线互相垂直处的切线互相垂直, ,则线段则线段ABAB的长度是的长度是. .答案答案: : (1)D (1)D(2)4(2)4与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题考点四考点四 解解: :(1)(1)设设APAP的中点为的中点为M(x,yM(x,y),),由中点坐标公式可知由中点坐标公式可知,P,P点坐标为点坐标为(2x-2,2y).(2x-2,2y).因为因为P P点在圆点在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以(2x-2)(2x-2)2 2+(2y)+(2y)2 2=4.=4.故线段故线段APAP中点的轨迹方程为中点的轨迹方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.(2)(2)设设PQPQ的中点为的中点为N(x,yN(x,y).).在在RtPBQRtPBQ中中,|PN|=|BN|.,|PN|=|BN|.设设O O为坐标原点为坐标原点, ,连接连接ON,ON,则则ONPQ,ONPQ,所以所以|OP|OP|2 2=|ON|=|ON|2 2+|PN|+|PN|2 2=|ON|=|ON|2 2+|BN|+|BN|2 2, ,所以所以x x2 2+y+y2 2+(x-1)+(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.故线段故线段PQPQ中点的轨迹方程为中点的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2-x-y-1=0.-x-y-1=0.反思归纳反思归纳 求与圆有关的轨迹方程时求与圆有关的轨迹方程时, ,常用以下方法常用以下方法(1)(1)直接法直接法: :根据题设条件直接列出方程根据题设条件直接列出方程; ;(2)(2)定义法定义法: :根据圆的定义写出方程根据圆的定义写出方程; ;(3)(3)几何法几何法: :利用圆的性质列方程利用圆的性质列方程; ;(4)(4)代入法代入法: :找出要求点与已知点的关系找出要求点与已知点的关系, ,代入已知点满足的关系式代入已知点满足的关系式. .备选例题备选例题 【例【例3 3】 (1)(1)若圆若圆(x+1)(x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9上的相异两点上的相异两点P,QP,Q关于直线关于直线kx+2y-4=0kx+2y-4=0对称对称, ,则则k k的值为的值为. .(2)(2)圆圆(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=5=5关于原点关于原点(0,0)(0,0)对称的圆的方程为对称的圆的方程为. .解析解析: :(1)(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,过圆心的直线都是它的对称轴过圆心的直线都是它的对称轴. .已知圆的圆心已知圆的圆心为为(-1,3),(-1,3),由题设知由题设知, ,直线直线kx+2y-4=0kx+2y-4=0过圆心过圆心, ,则则k k(-1)+2(-1)+23-4=0,3-4=0,解得解得k=2.k=2.(2)(2)因为所求圆的圆心与圆因为所求圆的圆心与圆(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=5=5的圆心的圆心(-2,0)(-2,0)关于原点关于原点(0,0)(0,0)对称对称, ,所以所求圆的圆心为所以所求圆的圆心为(2,0),(2,0),半径为半径为, ,故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=5.=5.答案答案: :(1)2(1)2(2)(x-2)(2)(x-2)2 2+y+y2 2=5=5(2)(2)求求y-xy-x的最大值和最小值的最大值和最小值; ;(3)(3)求求x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值. .经典考题研析经典考题研析 在经典中学习方法在经典中学习方法利用对称性求范围利用对称性求范围审题指导审题指导关键点关键点所获信息所获信息M(xM(x0 0,1),1)点点M M在直线在直线y=1y=1上上点点N N在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上上为确定关于为确定关于x x0 0的不等式提供依据的不等式提供依据OMN=45OMN=45可利用可利用4545这个特殊角的三角函这个特殊角的三角函数值数值解题突破解题突破: :作出圆作出圆O O的两条切线的两条切线, ,由题意分析出两条切线所成角的范围后进由题意分析出两条切线所成角的范围后进而求解而求解答案答案: : -1,1 -1,1命题意图命题意图: :本题主要考查直线与圆的位置关系本题主要考查直线与圆的位置关系, ,由已知角条件确定动由已知角条件确定动点位置点位置, ,意在考查学生的分析转化能力意在考查学生的分析转化能力, ,数形结合能力数形结合能力, ,综合应用能力综合应用能力和创新能力和创新能力. .