第一章：立体几何的初步本章概述v概述：由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间概述：由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间技术研的研究过程中等，都要涉及到对立体图形的研技术研的研究过程中等，都要涉及到对立体图形的研究，这就使得对立体图形的特征及性质的研究成为必究，这就使得对立体图形的特征及性质的研究成为必要。要。v对于立体几何这一章的学习方式，我们将以具体的立对于立体几何这一章的学习方式，我们将以具体的立体图形为背景，特别是以长方体、正方体、圆柱体、体图形为背景，特别是以长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、球体等几何体为背景，通过直观感圆锥体、圆台体、球体等几何体为背景，通过直观感知、画图确认、思维论证、度量计算等方法，了解简知、画图确认、思维论证、度量计算等方法，了解简单几何体的基本特征及其直观图、三视图。单几何体的基本特征及其直观图、三视图。v学习要求：重点理解并掌握空间中的点、线、面的位学习要求：重点理解并掌握空间中的点、线、面的位置关系，并能够用数学符号语言对某些位置关系进行置关系，并能够用数学符号语言对某些位置关系进行表示和论证，培养和发展大家的空间想象力、推理论表示和论证，培养和发展大家的空间想象力、推理论证的能力和运用图形语言进行交流的能力。证的能力和运用图形语言进行交流的能力。v下面我们将一起学习空间中最基本的图形下面我们将一起学习空间中最基本的图形平面平面v请大家想一想，在平内，最基本的图形是什么呢？请大家想一想，在平内，最基本的图形是什么呢？v在平面内，最基本的图形是：点、直线、射线、线段。但在平面内，最基本的图形是：点、直线、射线、线段。但是在空间中，最基本的图形除了以上的是在空间中，最基本的图形除了以上的4种之外还有一种种之外还有一种基本图形基本图形平面。平面。v大家知道：平静的桌面、黑板面、湖面都给我们一种平面大家知道：平静的桌面、黑板面、湖面都给我们一种平面的局部感觉。的局部感觉。v请大家想一想，在空间中，平面给大家的感觉会是怎样的请大家想一想，在空间中，平面给大家的感觉会是怎样的呢？呢？v在空间中，平面和直线一样，都是无限延展的，因此，我在空间中，平面和直线一样，都是无限延展的，因此，我们不能把一个无限延展的平面在一张纸上或书本上表示出们不能把一个无限延展的平面在一张纸上或书本上表示出来，我们通常用平面的一部分表示整个平面。来，我们通常用平面的一部分表示整个平面。v例如：例如：v通常把平面用一个希腊字母通常把平面用一个希腊字母、等字母表示，等字母表示，还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表示（或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字示（或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字母来表示）母来表示）v例如：例如： ABCD 记为：平面 记为：平面ABCD或平面AC、平面BD记为：平面 ABC记为：平面ABCO记为：圆面O练习练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打题号后打 ，否则打，否则打 :1、一个平面长可以为、一个平面长可以为4 米，宽米，宽 可以为可以为2 米；米； ( )2、平面没有边界，但有厚度；、平面没有边界，但有厚度；( )3、一个平面的面积是、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4、一个平面可以把空间分成两部分、一个平面可以把空间分成两部分. ( )1.简单几何体简单几何体v导入：三维空间是人类生存的现实空导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活中蕴涵着丰富的几何体，请大间，生活中蕴涵着丰富的几何体，请大家欣赏下列各式各样的几何体。家欣赏下列各式各样的几何体。1.1:简单的旋转体简单的旋转体v问题问题1:如图所示：已知线段如图所示：已知线段AB垂直于直线垂直于直线L于于A点，如果把线段点，如果把线段AB绕着点绕着点A旋转一周，旋转一周，且在线段且在线段AB在旋转的过程中始终与直线在旋转的过程中始终与直线L垂垂直，那么线段直，那么线段AB在旋转的过程中所形成的图在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？形会是什么呢？AABL问题2:如图所示：已知直线AB垂直于直线L于O点，如果把直线AB绕着点O点旋转一周，且直线AB在旋转的过程中始终与直线L垂直，那么直线AB在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？ABLO问题3:如图所示：把半圆O绕着其直径AB所在的直线在空间旋转一周，则半圆O在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？（球面）问题3如果把一个半圆面绕着其直径所在的直线在空间旋转一周，则半圆面在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？（球体）七、球的结构特征七、球的结构特征O O球心球心半半径径AB1、球的定义：球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。把球面所围成的几何体叫作把球面所围成的几何体叫作球体，球体，简称球简称球。连结球心与球面上的任意一点的线段叫作连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球球的半径。的半径。其中其中:把半圆的圆心叫做把半圆的圆心叫做球心。球心。连结球面上的任意两点且过球心的线段连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的叫做球的直直径。径。2、球的表示：球的表示：用表示球心的字用表示球心的字母表示母表示，如如球球O请大家想一想怎样用集合的观点去定义球请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？v把到定点把到定点O的距离等于或小定长的点的集合的距离等于或小定长的点的集合叫作球体，简称球。叫作球体，简称球。v其中：把定点其中：把定点O叫作球心，定长叫作球的半叫作球心，定长叫作球的半径径v到定点到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球的距离等于定长的点的集合叫作球面。面。问题问题4: 如图所示如图所示:把矩形把矩形ABCD绕着其一边绕着其一边AB所在的直线在空间中旋转一周，则矩形的所在的直线在空间中旋转一周，则矩形的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？成的几何体会是什么呢？ABCD四、圆柱的结构特征四、圆柱的结构特征矩形矩形O1O 1、定义：以矩形的一边所在直线为、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，把它在空间中旋转一周后，其余旋转轴，把它在空间中旋转一周后，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱圆柱。 （1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆柱的轴。圆柱的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做的圆面叫做圆柱的底面。圆柱的底面。 （3）由平行于轴的边旋转而成）由平行于轴的边旋转而成的曲面叫做的曲面叫做圆柱的侧面。圆柱的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。圆柱的母线。轴轴母线母线底面底面侧面侧面2 2、表示：用表示它的轴的端点的两个字、表示：用表示它的轴的端点的两个字母表示，如圆柱母表示，如圆柱OOOO1 1。O OO O1 1问题问题5: 如图所示如图所示:把直角三角形把直角三角形ABC绕着其一绕着其一边边AB所在的直线在空间中旋转一周，则直角所在的直线在空间中旋转一周，则直角三角形三角形ABC的其它两条边在旋转的过程中所的其它两条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？形成的曲面围成的几何体会是什么呢？ABC五、圆锥的结构特征五、圆锥的结构特征直角三角形直角三角形SAO 1、定义：以直角三角形的一条直角定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆锥。 （1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆锥的轴。圆锥的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做的圆面叫做圆锥的底面。圆锥的底面。 （3）不垂直于轴的边旋转而成）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做的曲面叫做圆锥的侧面。圆锥的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。圆锥的母线。OSBA轴轴底面底面侧面侧面母线母线2 2、圆锥的表示：、圆锥的表示：用表示它的轴的用表示它的轴的端点的两个字母端点的两个字母表示，如所示，表示，如所示，记为：圆锥记为：圆锥SOSO问题问题6: 如图所示如图所示: 直角梯形直角梯形ABCD绕着它的垂直绕着它的垂直于底边的腰于底边的腰AB所在的直线在空间中旋转一周，所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形则直角梯形ABCD的其它三条边在旋转的过程中的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？ABCD圆台的定义圆台的定义1：把：把直角梯形绕着它的垂直于底边直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形的的腰所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会叫作圆台何体会叫作圆台六、圆台的结构特征：六、圆台的结构特征： 圆台的定义圆台的定义2：用一个平行于圆锥底面：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。这样的几何体叫做圆台。OO底面底面底面底面轴轴侧面侧面母线母线2 2、圆台的表示：、圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台用表示它的轴的字母表示，如圆台OOOO总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫过绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋转体。旋转体。1.2:简单的多面体1.多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图 形叫做多面体。形叫做多面体。v自然界有很多的物体都呈多面体的形状自然界有很多的物体都呈多面体的形状,如图所示：如图所示：其中：把围成多面体的其中：把围成多面体的各个多边形各个多边形叫作多面体的面叫作多面体的面;两个两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点；体的顶点； v连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对角线。例如：角线。例如：v多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面体、六面体、体、六面体、面面面面棱棱顶点顶点棱棱面面一、一、 观察下列几何体并思考：观察下列几何体并思考： 它们具有哪些性质它们具有哪些性质? ? 1 1、定义：、定义：有两个面互相平行，其余各面都有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。余各面叫做棱柱的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点底面底面一、一、 观察下列几何体并思考：棱柱（观察下列几何体并思考：棱柱（1)1)，（3 3）与棱柱（）与棱柱（2)2)的不同之处？的不同之处？ (1)(2)(3)v两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；把底面是把底面是正多边形正多边形的的直棱柱直棱柱叫作正棱柱；叫作正棱柱；v直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形；直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形；v正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩形；形； 2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、边形、五边形、 我们把棱柱按照底面多边我们把棱柱按照底面多边形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱柱、形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱柱、 三棱柱三棱柱四棱柱四棱柱五棱柱五棱柱3、棱柱的表示法、棱柱的表示法(下图下图) 棱柱棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表用表示两底面多边形的顶点的字母表示棱柱示棱柱,如：棱柱如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。二、二、观察下列几何体观察下列几何体,有什么相同点有什么相同点？1、棱锥的概念、棱锥的概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何由这些面所围成的几何体叫做体叫做棱锥棱锥。这个多边形面叫做棱锥的这个多边形面叫做棱锥的底面底面。有公共顶点的各个三角形叫做棱锥有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的的侧面侧面。各侧面的公共顶点叫做棱锥的各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点顶点。相邻侧面的公共边叫做棱锥的相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱侧棱。棱锥的底面棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的侧棱SABCDEv一个特殊的棱锥：正棱锥把底面为正多形，侧面是全等的三角形的棱锥叫作正棱锥v正棱锥的性质：正棱锥的侧棱长相等；侧面是全等的等腰三角形；2、棱锥的分类棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以按底面多边形的边数，可以分为分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、三棱锥、四棱锥、五棱锥、ABCDS3、棱锥的表示方法：棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字用表示顶点和底面的字母表示。如四棱锥母表示。如四棱锥S-ABCD。B B1 1A A1 1C C1 1D D1 1C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1思考题：思考题：用一个平行于用一个平行于棱锥底面的平面棱锥底面的平面去截棱锥，那么所得截面与棱锥底面去截棱锥，那么所得截面与棱锥底面之间的几何体会是怎样的一个几何体之间的几何体会是怎样的一个几何体呢？呢？1 1、棱台的概念：棱台的概念：用一个平行于棱锥底面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做叫做棱台。棱台。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1上底面上底面下底面下底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点三、棱台的结构特征三、棱台的结构特征棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点2 2、棱台的分类：、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，三棱台，四棱台，五棱台五棱台3、棱台的表示法：棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如图顶点的字母来表示，如图棱台棱台ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1v思考题：思考题：1用平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的平用平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的平面去截它们，那么所得的截面是什么图形？面去截它们，那么所得的截面是什么图形？性质性质1：平行于圆柱，圆锥，圆台底面的截面都是：平行于圆柱，圆锥，圆台底面的截面都是 圆。圆。过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？性质性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形，等：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形，等 腰三角形，等腰梯形。腰三角形，等腰梯形。3用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？性质性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。判断题：判断题：（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连 线是圆柱的母线线是圆柱的母线 （）（）（2）圆台所有的轴截面是全等的）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形等腰梯形（）（）（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形（）（）