0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结x=0 平面平面dydzdxdydxdzdydxdzP(x,y,z)0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1. 坐标系坐标系直角坐标系（笛卡尔坐标系）直角坐标系（笛卡尔坐标系）xyz0原点原点z=0 平面平面y=0 平平面面dV=dxdydz0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场2. 标量和标量场标量和标量场标量：标量：仅具有大小特征的量。仅具有大小特征的量。用一个实数表示，用一个实数表示，例如例如：距离：距离L，高度，高度H用两个实数表示，用两个实数表示，例如例如：正弦电压：正弦电压标量场：标量场：标量在空间的分布。标量在空间的分布。例如例如 电位场：电位场：高度场：高度场：等值面（线），等位面（线）等值面（线），等位面（线）单位矢量单位矢量模模矢量：矢量：不仅具有大小，而且具有方向特征的量。不仅具有大小，而且具有方向特征的量。0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场3. 矢量和矢量场矢量和矢量场矢量场：矢量场：矢量在空间的分布。矢量在空间的分布。例如例如 电场：电场：例如例如：电场强度：电场强度 ，速度速度矢量线矢量线0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场矢量：大小矢量：大小（模）（模），方向，方向（单位矢量）（单位矢量）4. 矢量运算矢量运算（1） 代数运算代数运算加减运算：加减运算：（平行四边形法则）（平行四边形法则）乘法运算：乘法运算：（点乘，叉乘）（点乘，叉乘） 0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场（2） 积分运算积分运算 线积分线积分: :定义：定义：若矢量场若矢量场 的线积分值与积分路径的线积分值与积分路径l 的形状的形状无关，则称无关，则称 为为守恒场守恒场（或（或保守场保守场）。）。0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场 环量积分环量积分: : 通量积分通量积分: :S闭合时，有：闭合时，有：物理意义：物理意义：环量表示环量表示漩涡源漩涡源的强弱。的强弱。物理意义：物理意义：通量表示通量表示通量源通量源的强弱。的强弱。：S 内有内有源源：S 内有内有汇汇0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场5. 矢量微分算子矢量微分算子标量场的梯度标量场的梯度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的旋度矢量场的旋度哈密顿算子哈密顿算子0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0.2 标量场的梯度标量场的梯度图图1 1 等高线等高线问：问：P 点处，三个颜色标注的点处，三个颜色标注的方向，哪个山势最陡？方向，哪个山势最陡？P红色的红色的那条路径山势最陡那条路径山势最陡0.2 标量场的梯度标量场的梯度设一个标量函数设一个标量函数 (x,y,z)，若函数若函数 可微，定义：可微，定义：梯度梯度(gradient)(gradient)哈密顿算子哈密顿算子式中式中物理意义：物理意义： 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）相垂直的方即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向向，它指向函数的增加方向. . 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数的最大变化率，即该点最大方向导数; ;0.2 标量场的梯度标量场的梯度梯度的计算公式梯度的计算公式0.2 标量场的梯度标量场的梯度例：例：设一标量函数设一标量函数 描述了空间描述了空间标量场，试求：标量场，试求：(1) (1) 该函数在点该函数在点P(1,1,1)(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；的单位矢量；(2) (2) 该函数沿单位矢量该函数沿单位矢量 方方向的方向导数，并求得该方向导数在点向的方向导数，并求得该方向导数在点P(1,1,1)(1,1,1)处的值。处的值。答案：答案：(1)(1)(2)(2)0.2 标量场的梯度标量场的梯度课后习题：课后习题：（1 1） 和和 ；xyz0（2 2） 。如图所示，如图所示， 为空间中源点为空间中源点 与场点与场点 之间的距离，即之间的距离，即矢量矢量 的模，的模， ，求：，求：其中，其中，0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0.3 矢量场的散度矢量场的散度 0 0 ( (有正源有正源) ) 0 0 ( (有负源有负源) ) = = 0 0 ( (无源无源) )图图3 3 矢量场的通量矢量场的通量 通量的物理意义：通量的物理意义： 如果包围点如果包围点P P的闭合面的闭合面 S S 所围区域所围区域 V V 以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P P 时时, , 通通量与体积之比的极限存在，即量与体积之比的极限存在，即: :散度散度(divergence)(divergence)计算公式计算公式物理意义物理意义: : 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度的概念和物理意义散度的概念和物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性：散度代表矢量场的通量源的分布特性：这点有正源这点有正源这点有负源这点有负源连续场，无源场连续场，无源场散度和通量源散度和通量源( (无源无源）( (正源正源）( (负源负源） 在矢量场中，若在矢量场中，若 ，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通通量量) )源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 ，称之为无源场。，称之为无源场。散度的计算公式散度的计算公式注意：注意： 散度是一种矢量运算，但结果是一个散度是一种矢量运算，但结果是一个标量标量； 通量源的性质只有两种，对应散度的正负号，通量源的性质只有两种，对应散度的正负号，散度无散度无需方向信息需方向信息。例题与习题例题与习题如果如果 ，求原点处，求原点处解：解：是常数是常数2 2，与位置无关。，与位置无关。课后习题：课后习题：1. 求点求点 P(2,3,-1) 处的处的 ，其，其中，中，通量通量高斯散度定理高斯散度定理 高斯散度定理高斯散度定理意义：意义： 在三重积分与二重积分之间，建立起了联系在三重积分与二重积分之间，建立起了联系0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。方向。旋度旋度(curl)(curl)在直角坐标系下在直角坐标系下旋度也可描述成旋度也可描述成单位面积上单位面积上的的环流量环流量max以以“流速场流速场”为例，利用一个小浆轮作为为例，利用一个小浆轮作为“旋度计旋度计”。如图所示：如图所示：流速场流速场1. 流速均匀流速均匀2. 流速不均流速不均旋度的物理意义旋度的物理意义物理意义：物理意义： 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 在矢量场中，若在矢量场中，若 ,称之为称之为旋度场旋度场( (或旋涡或旋涡场场) )， 称为称为旋度源旋度源( (或旋涡源或旋涡源) )； 若矢量场处处若矢量场处处 ，称之为无称之为无旋场（保守场）。旋场（保守场）。旋度的物理意义旋度的物理意义旋度的计算公式旋度的计算公式注意：注意： 旋度是一种矢量运算，但结果也是一个旋度是一种矢量运算，但结果也是一个矢量矢量； 旋度的旋度的方向方向垂直于矢量线围成的面，与矢量线的方向垂直于矢量线围成的面，与矢量线的方向满足右手螺旋法则。满足右手螺旋法则。例题与习题例题与习题设在设在 区域内区域内 ，其余区域，其余区域 ，如图所示。计算边长为，如图所示。计算边长为d，中心位置在，中心位置在 y0 平面上平面上 处的正方形路径的处的正方形路径的 值，其中值，其中 。xyzdd解解1： 当面积趋于当面积趋于0 时，有：时，有：其他分量值为其他分量值为0，所以：，所以：例题与习题例题与习题解解2： 而而课后习题：课后习题：2. 已知已知 ，求沿着，求沿着 到到 到到 到到 再到再到 的矩形路径的闭合回路积分的矩形路径的闭合回路积分 ；作为作为 的近似，求闭路线积分与该闭路围成的近似，求闭路线积分与该闭路围成的面积的商；计算该面积中心点的的面积的商；计算该面积中心点的 。斯托克斯旋度定理斯托克斯旋度定理 斯托克斯旋度定理斯托克斯旋度定理意义：意义： 在面积分与线积分之间，建立起了联系。在面积分与线积分之间，建立起了联系。由散度的定义：由散度的定义：有：有：0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理1. 矢量恒等式矢量恒等式证明：证明：由斯托克斯定理，有：由斯托克斯定理，有：在矢量场中，任取一有向曲面在矢量场中，任取一有向曲面 ，做面积分，做面积分，而，而，而而 是任取的，是任取的， 0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理2. 场的分类场的分类无旋场无旋场无源场无源场一般场一般场调和场调和场判断矢量场的类型=0=0=0 0 0=00.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边界条件边界条件唯一唯一地确定。地确定。在电磁场中在电磁场中3. 亥姆霍茨定理：亥姆霍茨定理：已知已知矢量矢量 的的通量源通量源密度密度矢量矢量 的的旋度源旋度源密度密度场域边界条件场域边界条件矢量矢量 唯一唯一地确定地确定电荷密度电荷密度 电流密度电流密度场域边界条件场域边界条件唯一唯一地确定了电磁场地确定了电磁场无源场无源场无旋场无旋场0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理线性空间，根据矢量的叠加原理：线性空间，根据矢量的叠加原理： 其中其中结论：结论： 任意矢量场可描述成任意矢量场可描述成无旋场无旋场和和无源场无源场之和，且无旋场之和，且无旋场由该矢量场的散度决定，无源场由该矢量场的旋度决定。由该矢量场的散度决定，无源场由该矢量场的旋度决定。物理意义：物理意义：0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结0.6 三种特殊的场三种特殊的场1.1.平行平面场：平行平面场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线( (设为设为 Z 轴轴) )的一族平行平面上，场的一族平行平面上，场 的分的分布都相同，即布都相同，即 ，则称这个场为平行平面场。，则称这个场为平行平面场。2.2.轴对称场：轴对称场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线( (设为设为 Z 轴轴) )的一族子午面上，场的一族子午面上，场 的分布都的分布都相同，即相同，即 ，则称这个场为轴对称场。，则称这个场为轴对称场。3,3,球面对称场：球面对称场：如果在一族同心球面上如果在一族同心球面上( (设球心在原点设球心在原点) )，场，场 的分布都相同，即的分布都相同，即 ，则称这个场为球面对称场。，则称这个场为球面对称场。0 场论0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场0.2 标量场的梯度标量场的梯度0.3 矢量场的散度矢量场的散度0.4 矢量场的旋度矢量场的旋度0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理0.6 三种特殊的场三种特殊的场主要内容总结主要内容总结主要内容主要内容1. 矢量场和标量场：矢量场和标量场：d100 V+-0 d /2 d50100间距间距zv/V电压电压v的分布：的分布：电场强度电场强度 的分的分布：布：xyz0+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - -100V0Vyz0主要内容主要内容2. 矢量乘法：矢量乘法：点乘点乘叉乘叉乘主要内容主要内容习题：习题：1. 1. 证明证明 和和 是正交矢量。是正交矢量。2. 2. 证明矢量证明矢量 、 和和 是直角三角行的边，并计算该三角形的面积。是直角三角行的边，并计算该三角形的面积。作业：作业：用矢量，求由用矢量，求由P(1,1,1)、Q(3,2,5)和和S(5,7,9)三点构成的三角三点构成的三角形的面积。形的面积。主要内容主要内容直角坐标直角坐标圆柱坐标圆柱坐标球坐标球坐标3. 矢量微分算子：矢量微分算子：主要内容主要内容习题：习题：作业：作业：1. 若若 ，求，求 。 2. 在静电场，我们定义电场强度在静电场，我们定义电场强度 和电位和电位 之间满足负梯之间满足负梯度关系：度关系： ，还定义体电荷密度满足：，还定义体电荷密度满足： ，在下列情况下，求在下列情况下，求 和和 ，(1) 圆柱坐标下，圆柱坐标下， ，这里，这里V0和和a是常数；是常数；(2) 球坐标下，球坐标下， 。 如果电场强度在空间给定，是如果电场强度在空间给定，是 ，求：求： 和和 。 无旋场无旋场无源场无源场一般场一般场调和场调和场主要内容主要内容4. 场的分类场的分类参考文献参考文献11 王泽忠，全玉生，卢斌先王泽忠，全玉生，卢斌先. . 工程电磁场工程电磁场 M. M. 清华清华大学出版社，大学出版社，2004.9: 1-282004.9: 1-28 22 周克定，张肃文等译周克定，张肃文等译. . 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 M. M. 机械机械工业出版社，工业出版社，2000.8: 10-472000.8: 10-47 33 倪光正倪光正. . 工程电磁场原理工程电磁场原理 M. M. 高等教育出版社，高等教育出版社，2002.6: 11-272002.6: 11-27 44 徐安士，周乐柱译徐安士，周乐柱译. . 工程电磁学工程电磁学 M. M. 电子工业出电子工业出版社，版社，2004.6: 1-142004.6: 1-14，49-5049-50，177-184177-184 图图1 1 等值线等值线图图2 2 矢量线矢量线