第一章第一章 概率论基础概率论基础习习 题题 课课概率论基础概率论基础一、内容小结二、作业讲解三、典例分析 1. 1. 基本概念基本概念 随机试验随机试验, ,样本空间样本空间, , 样本点样本点, ,随机事件随机事件, ,概概率率, ,条件概率条件概率，事件的互不相容事件的互不相容, ,事件的独立性事件的独立性. .A A与与B B互不相容互不相容 A AB= B= A A与与B B相互独立相互独立 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) 2. 2. 事件间的基本运算事件间的基本运算注注:当当P(A),P(B)0两者不两者不能同时成立能同时成立（一）内容总结（一）内容总结一、概率论基础一、概率论基础一、概率论基础一、概率论基础 3. 3. 概率的计算方法概率的计算方法 直接计算直接计算注注: :放回抽样放回抽样, ,不放回抽样不放回抽样 利用公式利用公式条件概率公式条件概率公式加法公式加法公式贝叶斯公式贝叶斯公式全概全概率公式率公式事件的独立性事件的独立性1. 1. 1. 1. 重点概念重点概念重点概念重点概念 随机变量，分布函数，分布律随机变量，分布函数，分布律( (离散型离散型) )，概率密度，概率密度 ( (连续型连续型) )，联合分布函数，联合分布函数, ,联合分布律联合分布律, ,联合概率密联合概率密度，边缘分布律，边缘概率密度，相互独立。度，边缘分布律，边缘概率密度，相互独立。2. 2. 2. 2. 一维随机变量的主要公式一维随机变量的主要公式一维随机变量的主要公式一维随机变量的主要公式B. 分布函数与概率分布之间的转化分布函数与概率分布之间的转化A. 分布律、概率密度函数的性质分布律、概率密度函数的性质离散型：分布律与分布函数的转化离散型：分布律与分布函数的转化连续型：连续型：二、随机变量二、随机变量二、随机变量二、随机变量3. 3. 3. 3. 一维常见的重要分布一维常见的重要分布一维常见的重要分布一维常见的重要分布 A . 二项分布二项分布, X服从服从B(n,p) B. Poisson分布分布, X服从服从 ( )C.C. 均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布D. D. 指数分布指数分布指数分布指数分布E. E. 正态分布正态分布正态分布正态分布 A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题利用分布函数及概率密度函数的性质解题.1.B. 利用分布律及概率密度函数求概率利用分布律及概率密度函数求概率, 2. 连续型随机变量连续型随机变量X落在某区间落在某区间I的概率为的概率为 4 4. . . . 一维主要计算方法一维主要计算方法一维主要计算方法一维主要计算方法 C. . 求连续型随机变量的函数的分布：求连续型随机变量的函数的分布： 先求分布函数，再求导先求分布函数，再求导 即得概率密度函数即得概率密度函数. （等价不等式（等价不等式事件相等事件相等概率相等概率相等.）B. 利用联合分布律或联合概率密度计算概率利用联合分布律或联合概率密度计算概率 连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)落在某区域落在某区域G的概率为：的概率为：5.5.5.5.二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布A. 利用概率密度函数利用概率密度函数f (x,y)的性质的性质: : 非负非负F(x,y)的性质的性质: :右连续右连续, ,递增递增, ,取值在取值在0,1等等. C C. . . .联合分布与边缘分布的转化联合分布与边缘分布的转化联合分布与边缘分布的转化联合分布与边缘分布的转化边缘分布边缘分布边缘分布边缘分布+ + + +独立性独立性独立性独立性-联合分布联合分布联合分布联合分布 1.1.1.1. 随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义分布函数分布函数 密度函数密度函数 数学期望数学期望 描述了随机变量描述了随机变量的的概率取值中心概率取值中心均值均值详细详细地地描述了随机变量的概率分布情况描述了随机变量的概率分布情况相关系数相关系数 描述了描述了X X与与Y Y的的线性相关线性相关程度程度方方 差差 描述了随机变量的取值与期望的描述了随机变量的取值与期望的偏离程度偏离程度三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征方差方差 D( (X) ) 协方差协方差 Cov(X,Y) Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y) D(X)=EX-E(X)2 D(X)=E(X2)-E2(X) 相关系数相关系数 XY 数学期望数学期望 E( (X) ) 函数函数Y=H(X)Y=H(X)连续型连续型离散型离散型在定义式中用在定义式中用H(x)代替代替x 2.2. 常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式 E(X2) = D(X) +E2(X) 计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：计算期望的六个公式： 3 3. 常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质数学期望数学期望数学期望数学期望 E(aX+b)=aE(X)+b E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=E(X)E(Y) X,Y相互独立相互独立 方方方方 差差差差 D(aX+c)=a2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) X,Y相互独立相互独立相关系数相关系数相关系数相关系数 对于随机变量对于随机变量对于随机变量对于随机变量X,X,X,X,Y Y Y Y，下面事实是等价的下面事实是等价的下面事实是等价的下面事实是等价的X X与与Y Y相互独立相互独立X X与与Y Y不相关不相关E(XY)=E(X)E(Y);E(XY)=E(X)E(Y); Cov(X,YCov(X,Y)=0;)=0; X X与与Y Y不相关；不相关； D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X+Y)=D(X)+D(Y). 4. 4. 几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征分布分布(0-1)分布分布二项二项分布分布泊松分布泊松分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布分布律或概率密度函数分布律或概率密度函数期望期望方差方差ppq npnpq大数定律：大数定律：大数定律：大数定律：阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理。阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理。四、大数定律与中心极限定理四、大数定律与中心极限定理四、大数定律与中心极限定理四、大数定律与中心极限定理 X Xn n 相互独立相互独立,X,Xi i的方差有公共上界（的方差有公共上界（D(XD(Xi i)M)M）, ,则对则对0,0,有有1.1.1.1.车贝雪夫大数定律车贝雪夫大数定律车贝雪夫大数定律车贝雪夫大数定律2.2.2.2.贝努利大数定律贝努利大数定律贝努利大数定律贝努利大数定律设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A 发生的概发生的概率，率，则对则对00，有，有设设X X1 1,X,X2 2,X Xn n为独立同分布为独立同分布, ,且有相同的数学期望且有相同的数学期望E(XE(Xi i)=)= ，则则对对00，有，有3.3.3.3.辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理：阐述大量独立随机变量的和的极限分布为正态阐述大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的定理分布的定理.1.1.1.1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理设设X1,X2,Xn,独立同分布，独立同分布，E（Xk）= ，D（Xk）= 20，则则 N(0,1)N(0,1)进而进而2.2.2.2.德莫佛德莫佛德莫佛德莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理拉普拉斯定理 设设Zn B(n,p)，n=1,2,.，则则T T2(3)2(3)如果如果相容，则相容，则也相容；也相容； 二、作业点评二、作业点评T6. 10把钥匙中有把钥匙中有3把能打开门，今任取把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率把，求能打开门的概率.解：解：设设“能打开门能打开门”为事件为事件A，则：，则：的分布律的分布律.T13(2)将一颗骰子抛掷两次，以将一颗骰子抛掷两次，以 表示两次中得到的小的点数，表示两次中得到的小的点数，试求试求T T23232323某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命( (以小时计以小时计) )具有以下概率密度具有以下概率密度从中任取从中任取5 5只只, ,求至少取得求至少取得2 2只其寿命大于只其寿命大于15001500小时的概率小时的概率. . 现有一大批此种电子元件现有一大批此种电子元件( (是否损坏相互独立是否损坏相互独立),),解解解解: : : :此相当于此相当于5 5重贝努利试验，用重贝努利试验，用Y Y表示寿命大于表示寿命大于15001500小时的只数小时的只数 T28.10件产品中有件产品中有2件一级品，件一级品，7件二级品，件二级品，1件次品，从中件次品，从中任取任取3件，用件，用 表示其中的一级品件数，用表示其中的一级品件数，用品件数，求二维随机变量品件数，求二维随机变量的概率分布和边缘分布的概率分布和边缘分布.表示其中的二级表示其中的二级解：解：X的取值：的取值：0,1,2；Y的取值：的取值：0,1,2,3. (X,Y)取值的概率略。取值的概率略。T36T36T36T36 已知已知r.vX的的概率密度为概率密度为:求求(1)常数常数A (2)分布函数分布函数F(x); (3) (4)解解解解 (1)(1)(1)(1) 解解解解 (2)(2)(2)(2) yx12 0解解解解 (3)(3)(3)(3) 解解解解 (4)(4)(4)(4) T39. (1) 设随机变量设随机变量相互独立相互独立, 且有且有, 设设, 求求(2) 设随机变量设随机变量X, Y相互独立相互独立, 且有且有求求的分布，并求的分布，并求 解解 (1) 因因相互独立，固有相互独立，固有(2) 因因相互独立，且相互独立，且则则均服从正态分布，且均服从正态分布，且故有故有 又又 X+YN(1360,1525) 故故 例例1 1 设设A, B为二相互独立的事件，为二相互独立的事件，P(A B)=0.6, P(A)=0.4, 求求P(B)。解法一：解法一：解法二解法二：解法三：由已知，解法三：由已知，P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=0.4P(B), 如图如图B-A=(A B)-A,P(B-A)=0.6-0.4=0.2 P(B)=P(AB)+P(B-A)=0.2+0.4P(B) 所以所以 P(B)=1/3 三、典例分析三、典例分析例例2 2 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统()和和()，每种系统单独使用时，系统，每种系统单独使用时，系统()和系统和系统()的有效概的有效概率分别为率分别为0.92和和0.93，在系统，在系统()失灵的情况下，系统失灵的情况下，系统()仍有效的概率为仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概，求两个报警系统至少有一个有效的概率。率。记记A=“系统系统() 有效有效”,B=“系统系统()有效有效”,由由已知已知,解解: :例例3 3 某地区一工商银行的贷款范围内某地区一工商银行的贷款范围内, ,有甲、乙两家同类企有甲、乙两家同类企业。设一年内甲申请贷款的概率为业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率，乙申请贷款的概率为为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解解: : 设事件设事件A=“甲申请贷款甲申请贷款”,事件事件B=“乙申请贷款乙申请贷款”例例4.4. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，甲乙的命中甲乙两人独立地对同一目标射击一次，甲乙的命中率分别为率分别为0.6和和0.5, ,已知目标被击中，求甲击中目标的概率已知目标被击中，求甲击中目标的概率. .分析：分析：这首先是一个这首先是一个条件概率问题条件概率问题. . 设设 A，B分别代表甲乙击中目标的事件分别代表甲乙击中目标的事件, , 所求为所求为由已知由已知 P(A)=0.6 P(B)=0.5同理同理独立性独立性设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求解：解：(1)各数学期望均可按照各数学期望均可按照因因f(x,y)仅在有限区域仅在有限区域故各数学期望均化为故各数学期望均化为G上相应积分的计算。上相应积分的计算。 例例5 内不为零，内不为零，计算。计算。例例6 设随机变量设随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为 XY-101-11/8 1/8 1/801/8 01/811/8 1/8 1/8验证验证X和和Y是不相关的，是不相关的，但但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.证：证： 先求出边缘分布律如下：先求出边缘分布律如下：X-101pk3/82/83/8Y-101pk3/82/83/8易见易见故故X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.又又 即有即有故故X和和Y是不相关的是不相关的 又知又知X和和Y具有相同的分布律具有相同的分布律, 且且有有例例7 设随机变量设随机变量具有概率密度具有概率密度求求解解 因因f(x,y)仅在有限区域仅在有限区域内不为零，故有内不为零，故有由由x,y在在f(x,y)的表达式中的对称性的表达式中的对称性(即在表达式即在表达式f(x,y)中将中将x和和y互换，表达式不变互换，表达式不变)，得知，得知且有且有 而而