学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度第二学期学年度第二学期 5 月份质量监测月份质量监测 高一数学高一数学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。上，在其他位置作答一律无效。3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1若空间两条直线 a 与 b 没有公共点，则直线 a 与 b（）A平行 B共面 C是异面直线 D可能平行，也可能是异面直线 2已知a，b是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）Aab=Bab C22ab=D1a b=3已知空间 3 条不同的直线 m，n，l 和平面，则下列说法正确的是（）A若ml，nl，则mn B若mn，m，则n C若m，n，则mn p若mn，n，则m 4一艘船以 32 n mile/h 的速度向正北方向航行从 A 处看灯塔 S 位于船北偏东45的方向上，30 分钟后船航行到 B 处，从 B 处看灯塔 S 位于船北偏东75的方向上，则灯塔 S 与 B 之间的距离为（）A8 2nmile B16 2nmile C16nmile D16 3nmile 5若用斜二测画法画出某ABC 水平放置的直观图，得到边长为 2 的等边三角形，则原ABC 的面积为（）A2 3 B2 6 C4 D4 2 6在矩形 ABCD 中，已知4AB=，2AD=，点 P 在 CD 边上，满足6AP AB=，则AP BP=（）A12 B0 C14 D32 7已知sinsin13+=，则sin 26+=（）A13 B13 C12 D12 8在圆锥 PO 中，轴截面 PAB 为等腰直角三角形，M 为底面圆 O 上一点，30AOM=，则异面直线 OM与 AP 所成角的余弦值为（）学科网（北京）股份有限公司 A64 B68 C34 D2 268 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9已知向量()1,2a=，,)1(b=，则下列说法中正确的是（）A若ab，则12=B若ab，则2=C若2 Bcoscoscos0ABC Csin:sin:sin5:6:7ABC=Dtantan3AB=11在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M，N，P 分别是11C D，1C C，1A A的中点，则下列正确的是（）A1PD 平面 BMN B1B N 平面 ABN C多面体111ABBMNC是棱台 D平面 BMP 截正方体所得截面的面积为3 3 三、填空题：本题三、填空题：本题共共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12一个圆台的母线长为 5，上、下底面圆直径的长分别为 2，8，则圆台的高为_ 学科网（北京）股份有限公司 13若13tan10sin50m+=，则m=_ 14在ABC 中，2AMMB=，P 是 MC 的中点，延长 AP 交 BC 于点 D若12APABAC=+，则12+=_；若3AD=，60BAC=，则ABC 面积的最大值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知向量a，b满足()25,8ab=，()27,10ab=，求：（1）ab；（2）向量ab+与ab的夹角的余弦值 16（15 分）已知四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是梯形，ABDC，ABAD，22DCAB=，3AD=，PBPC=，M，N 分别是 PD，BC 的中点求证：（1）AM 平面 PBC；（2）MNBC 17（15 分）已知tan34+=，7 2cos10=，且，(0,)，求：（1）sin2的值；（2）2的值 18（17 分）在2coscos3aBbAcb=+，22sin()2cos2ABC+=，2222abcS=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答 记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，外接圆的半径为 R，且满足_，点 D 在 学科网（北京）股份有限公司 BC 边上（1）求cosA的值；（2）若ADBC，2AD=，求当 S 取最小值时 R 的值；（3）若2BDDC=，13ADa=，求cos ADC 19（17 分）费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点 具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120，费马点是三角形内部对三边张角均为120的点；如果三角形有一个内角大于或等于120，费马点就是该内角所在的顶点 已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，O 为费马点（1）若7a=，1b=，3c=，求OA OBOB OCOC OA+的值；（2）若1a=，60A=，求|OA 的最大值 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度第二学期学年度第二学期 5 月份质量监测月份质量监测 高一数学参考答案及评分建议高一数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1-4：DCCB 6-8：BCAA 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。分。9ABD 10BCD 11AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。124 131 1456 25 38 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）【解】（1）由()25,8ab=，()27,10ab=，得()()312,18ab=，即()4,6ab=3 分 所以|2 13ab=5 分（2）由()2,2ab+=，7 分 所以|2 2ab+=9 分 设向量ab+与ab的夹角为，则()()cos|abababab+=+11 分(2)42(6)5 26262 132 2+=13 分 16（15 分）【证】（1）如图，取 BC 的中点 Q，连结 MQ，BQ 学科网（北京）股份有限公司 因为 M 是 PD 的中点，所以MQDC，12MQDC=2 分 又ABDC，12ABDC=，所以ABMQ，ABMQ=，所以四边形 ABQM 是平行四边形，所以AMBQ 5 分 因为AM 平面 PBC，BQ 平面 PBC，所以AM 平面 PBC 7 分（2）连结 PN，DN，DB 因为PBPC=，N 是 BC 的中点，所以PNBC 9 分 在ABD 中，ABAD，3AD=，1AB=，所以2DB=由条件2DC=，所以DCDB=，又 N 是 BC 的中点，所以DNBC 12 分 因为 DN，PN 平面 PDN，DNPNN=，所以BC 平面 PDN 因为MN 平面 PDN，所以MNBC 15 分 17（15 分）【解】（1）由tantantan14tan341tan1tantan4+=，解得tan2=3 分 所以22222sincos2tan2 24sin2sincostan1215=+6 分 学科网（北京）股份有限公司（2）22222222cossin1tan1 23cos2sincostan1215=+8 分 由7 2cos10=，(0,)，所以2sin10=所以sin(2)sin2coscos2 sin=47 23225105102=11 分 因为()0,，tan21=，所以,4 2，所以2,2，又()0,，cos0，所以120C，所以ABC 的费马点 O 是三角形内部对三边张角均为120的点 3 分 设ABC 的面积为 S，则AOBBOCCOASSSS=+111sin120sin120sin120222OA OBOB OCOC OA=+3()4OA OBOB OCOC OA=+5 分 学科网（北京）股份有限公司 又由7cos14C=，得3 21sin14C=，所以173 213 3sin22144SabC=所以33 3()44OA OBOB OCOC OA+=，即3OA OBOB OCOC OA+=，7 分 所以OA OBOB OCOC OA+|cos120|cos120|cos120OAOBOBOCOCOA=+13()22OA OBOB OCOC OA=+=9 分（2）在ABC 中，因为1a=，60A=，所以ABC 的费马点 O 是三角形内部对三边张角均为120的点 11 分 设OAB=，则60ABO=，60CAO=，所以ACO=设OAx=，OBm=，OCn=，在AOB 与AOC 中，由正弦定理可得，()sin 60sinxm=，()sinsin 60 xn=所以2xmn=14 分 在BOC 中，由余弦定理可得，222222cos120amnmnmnmn=+=+，所以2213mnmnmn=+，即13mn 当且仅当33mn=时，mn 取得最大值13，所以OA 取得最大值33，17 分