蚌埠学院 高等数学二、典型例题二、典型例题一、一、主要内容主要内容 第二章 8/2/20241蚌埠学院 高等数学求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容一、主要内容8/2/20242蚌埠学院 高等数学基本导数公式基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）8/2/20243蚌埠学院 高等数学基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8/2/20244蚌埠学院 高等数学例例1.1.解解二、二、典型例题典型例题8/2/20245蚌埠学院 高等数学例例2. 设求8/2/20246蚌埠学院 高等数学例例3.解解分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.8/2/20247蚌埠学院 高等数学例例4.解解 两边取对数两边取对数8/2/20248蚌埠学院 高等数学例例5.解解先去掉绝对值先去掉绝对值8/2/20249蚌埠学院 高等数学8/2/202410蚌埠学院 高等数学例例6.解解8/2/202411蚌埠学院 高等数学例例7.解解8/2/202412蚌埠学院 高等数学解等式两端求微分，由微分的形式不变性,得到8/2/202413蚌埠学院 高等数学解 解8/2/202414蚌埠学院 高等数学解8/2/202415蚌埠学院 高等数学证明8/2/202416蚌埠学院 高等数学解又8/2/202417蚌埠学院 高等数学解8/2/202418蚌埠学院 高等数学证明8/2/202419蚌埠学院 高等数学解8/2/202420蚌埠学院 高等数学(3)8/2/202421蚌埠学院 高等数学8/2/202422蚌埠学院 高等数学8/2/202423蚌埠学院 高等数学8/2/202424蚌埠学院 高等数学作业中的问题：作业中的问题：1、第、第15页页 二、二、2、8/2/202425蚌埠学院 高等数学2、第、第16页页 二、二、1、 两边分别对两边分别对 x 求导，求导，8/2/202426蚌埠学院 高等数学3、第、第16页页 三、三、1、两边取对数：两边取对数： 两边对两边对 x 求导：求导： 4、第、第16页页 一、一、2、两边对两边对 x 求导：求导： 8/2/202427蚌埠学院 高等数学5、第、第17页页 五、五、1、8/2/202428蚌埠学院 高等数学练习：求下列函数的导数或微分练习：求下列函数的导数或微分 8/2/202429蚌埠学院 高等数学8/2/202430蚌埠学院 高等数学10、 设设 ，其中，其中 存在且不为零，求存在且不为零，求 11、 设设 ，求，求 的值的值 两边微分得两边微分得 8/2/202431蚌埠学院 高等数学12、设、设 ，其中，其中 二阶可导，求二阶可导，求 13、设、设 ，求，求 14、设、设 ，在区间，在区间 (0,2)内，求内，求 不存在不存在 8/2/202432蚌埠学院 高等数学15、 设设 解解 8/2/202433蚌埠学院 高等数学二、导数的概念问题二、导数的概念问题 导数是增量之比的极限导数是增量之比的极限 8/2/202434蚌埠学院 高等数学例例1 讨论讨论 在在 x =0 处的连续性处的连续性 与可导性与可导性 解解 所以该函数在 x = 0 处连续 可见可见 不存在不存在 所以该函数在 x = 0 处不可导 8/2/202435蚌埠学院 高等数学例2. 设 对任意的实数 a ,b 有 ，且 求证 证 依题意，有 而 8/2/202436蚌埠学院 高等数学三、简单应用三、简单应用 求切线、速度、加速度等求切线、速度、加速度等 例例4 证明：双曲线证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴上任一点处的切线与两坐标轴 构成的三角形面积都等于构成的三角形面积都等于 证证 设设 M(x,y)为曲线上任一点为曲线上任一点 过曲线上过曲线上M点的切线方程为点的切线方程为 即即 8/2/202437蚌埠学院 高等数学例例5 一球在斜面上向上滚动，已知在一球在斜面上向上滚动，已知在 秒时，球与起始位置的秒时，球与起始位置的 距离为距离为 （单位：米），问其初速度为多少？（单位：米），问其初速度为多少？何时开始下滚？何时开始下滚？ 解解 时刻的速度为时刻的速度为 初速度为初速度为 （米（米/ 秒）秒） 当当 （秒）时，（秒）时， 球开始下滚球开始下滚 作业：第作业：第20页、第页、第21页页 8/2/202438蚌埠学院 高等数学练习：练习： 1、求曲线、求曲线 在点（在点（1，1）处的切线方程）处的切线方程 2、证明曲线、证明曲线 上任一点处的切线在两坐标轴上上任一点处的切线在两坐标轴上 的截距之和是常数的截距之和是常数 a 切线方程：切线方程： 证证 设设 为曲线上任一点，为曲线上任一点， 过过M点的切线方程为点的切线方程为 即即 所求截距之和为所求截距之和为 证毕证毕 8/2/202439