目录 上页 下页 返回 结束5.1 非线性方程研究的例子与概念非线性方程研究的例子与概念 5.1.1 例子例子5.1.3 基本定义基本定义5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、自治微分方程与非自治微分方程、动力系统动力系统 目录 上页 下页 返回 结束例例5.1.1 早期研究生态问题的一个简单的早期研究生态问题的一个简单的微分方程模型微分方程模型时时Malthus模型模型(5.1.1)其中其中 代表代表t t时刻种群的数量，时刻种群的数量， 为一个常数为一个常数(称为称为内禀增长率内禀增长率)，模型的简单解释就是说，模型的简单解释就是说 时刻种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个线性模型，加上初始条件线性模型，加上初始条件 目录 上页 下页 返回 结束可以容易地求得其解为可以容易地求得其解为由解的形式可以得出当由解的形式可以得出当 时时这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的数量都受生态环境的影响不会无限制的增长，数量都受生态环境的影响不会无限制的增长，这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象 目录 上页 下页 返回 结束变化规律，这就导出了对其改进的变化规律，这就导出了对其改进的 Logisitic模型模型这里的这里的 及及 的意义同的意义同(5.1.1), 是一个是一个常数，通常称为常数，通常称为环境容纳量环境容纳量这是一个非线性的这是一个非线性的问题，不过由于方程简单也利用初等积分可以得问题，不过由于方程简单也利用初等积分可以得得到其解为：得到其解为： 目录 上页 下页 返回 结束(1) 如果如果 , 则则 ；(2) 如果如果 , 则则 ；(3) 如果如果 ,则则当当 时时 ，从解的形式看出，从解的形式看出(5.1.2)克服了克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷中种群数量无限增长的缺陷, 目录 上页 下页 返回 结束在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律对对(5.1.1)和和(5.1.2)这样能求出其解的具体形这样能求出其解的具体形式的问题式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解当然可以用前面所学的知识来讨论其解在在 时的性态，而当我们求不出方程解时时的性态，而当我们求不出方程解时,又该如何研究又该如何研究 解的解的 性态呢？性态呢？事实上，对一些方程可从它的形式得到当事实上，对一些方程可从它的形式得到当的性态。例若将方程的性态。例若将方程(5.1.1)满足满足 目录 上页 下页 返回 结束初始值初始值 的解记为的解记为,则从方程的形式可以看出，则从方程的形式可以看出，当当 时时则则 , 单调减单调减 ;当当 ， 时时则则 , 单调增单调增 。所以，当时所以，当时 目录 上页 下页 返回 结束且单调减必有极限且单调减必有极限再由再由(5.1.1)看出看出于是于是, 。即当。即当 时，时，(5.1.1)的解的解满足满足 同理可以得到同理可以得到当当 时，时， 这样我们这样我们没有求解方程，通过解的形式得出了当没有求解方程，通过解的形式得出了当 时，时， 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.1)所有的解满足所有的解满足同理，当同理，当 时，对时，对(5.1.2)的解的解有：有：当时，当时，当当 时，时，当当 时，时， 目录 上页 下页 返回 结束于是不同的于是不同的 我们可以得到我们可以得到(5.1.2)解的性态如下：解的性态如下：例例5.1.2 讨论当时下面方程组解的性态讨论当时下面方程组解的性态.（5.1.3） 目录 上页 下页 返回 结束解解 由于由于(5.1.3)是一个非线性方程组，无法求出其是一个非线性方程组，无法求出其故我们故我们用定性分析法用定性分析法来讨论来讨论(5.1.3)当当时解的性态时解的性态.将将(5.1.3)满足满足的解记为的解记为在时刻在时刻 ，该解在平面上的点为：，该解在平面上的点为： 目录 上页 下页 返回 结束点随着时间点随着时间t而变化，而变化， 点到坐标原点点到坐标原点由于由于利用解满足的方程利用解满足的方程(5.1.3)得得 目录 上页 下页 返回 结束于是，于是， 随时间单调减少，随时间单调减少，再利用反证法可以再利用反证法可以得到得到 。我们得结论是。我们得结论是即设有求解方程组即设有求解方程组(5.1.3)，我们也成功地解决了，我们也成功地解决了解的性态分析问题。解的性态分析问题。本章就是要给出通过方程的形式来分析解的本章就是要给出通过方程的形式来分析解的法。接下来先给出一些基本概念。法。接下来先给出一些基本概念。 目录 上页 下页 返回 结束5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程自治微分方程与非自治微分方程, ,动力系统动力系统最一般的最一般的 阶非线性微分方程可以表示为阶非线性微分方程可以表示为 :(5.1.4)且且 关于的关于的 隐函数是存在的，即隐函数是存在的，即(5.1.4)可以可以表示为表示为如果做变换如果做变换 目录 上页 下页 返回 结束则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组: 目录 上页 下页 返回 结束因此，我们只要考虑如下更一般的因此，我们只要考虑如下更一般的 :（5.1.5）方程组（方程组（5.1.5）可以记为向量形式）可以记为向量形式 目录 上页 下页 返回 结束其中其中:如果还有初始值条件如果还有初始值条件 :(5.1.7) 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.6)和和(5.1.7)就是一个初始值问题。就是一个初始值问题。我们称向量函数为初始值问题我们称向量函数为初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)的的解。如果它满足解。如果它满足:和和关于初始值问题关于初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)也有解的存在惟也有解的存在惟一性定理一性定理 目录 上页 下页 返回 结束若若 在开区域在开区域 中满足：中满足：(1) 在在 内连域，简记为：内连域，简记为：(2) 关于关于 满足满足局部局部Lipschitz条件条件，即对于点，即对于点存在存在:和依赖于和依赖于 点的常数使得对于任意的点的常数使得对于任意的,不等式不等式 目录 上页 下页 返回 结束成立其中成立其中 表示表示欧氏范数欧氏范数。则初值问题则初值问题(5.1.6),(5.1.7)在区间在区间 上存上存在唯一的解在唯一的解.这里这里: 目录 上页 下页 返回 结束微分方程微分方程(5.1.6)在在 维空间维空间中确定了一个向量场，而满足中确定了一个向量场，而满足(5.1.6),(5.1.7)的解的解就是向量场中的一条积分曲线就是向量场中的一条积分曲线。当当(5.1.6)中的中的 函数满足解的存在惟一性条件函数满足解的存在惟一性条件时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。如果把如果把t理解为时间参量而只考虑空间变量理解为时间参量而只考虑空间变量 目录 上页 下页 返回 结束所在的空间所在的空间,即即 构成的构成的空间空间 称之为方程组称之为方程组(5.1.6)的的相空间相空间,积分曲线在积分曲线在相空间的投影曲线称为方程组的相空间的投影曲线称为方程组的轨线轨线。一般地方程组一般地方程组(5.1.6)中的函数中的函数 是与是与 相关的相关的,这时的这时的(5.1.6)就称为就称为非自治微分方程组非自治微分方程组,如果如果 函函函数中不显含函数中不显含 ,即即(5.1.8) 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.8)就称为就称为自治微分方程组自治微分方程组。可以从运动的观点来解释方程可以从运动的观点来解释方程(5.1.6)或或(5.1.8),即把即把 理解为时间理解为时间(不管它在实际问题中是否确为不管它在实际问题中是否确为时间时间), 理解为维空间理解为维空间 中点的坐标中点的坐标.因而在任因而在任意时刻意时刻 ,(5.1.6)在空间中定义了一个速度场在空间中定义了一个速度场即为即为 时刻点时刻点 目录 上页 下页 返回 结束处的第处的第 个速度分量个速度分量,方程的解方程的解即给出了质点的运动规律即给出了质点的运动规律.因而称之为一个因而称之为一个运动运动。在以上的意义下在以上的意义下,我们称方程我们称方程(5.1.6)为一个动力系为一个动力系统。相应的统。相应的(5.1.6)称为称为非自治系统，非自治系统，(5.1.8)称为称为自治系统自治系统。这时这时 常记为常记为 , 常记为常记为 等。等。 目录 上页 下页 返回 结束5.1.3 基本定义基本定义一般情况下方程一般情况下方程(5.1.6)是无法用初等积分的方是无法用初等积分的方法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴趣的是方程趣的是方程(5.1.6)的解的定性性态，在应用中比较的解的定性性态，在应用中比较重要的问题包括重要的问题包括: 目录 上页 下页 返回 结束(1)是否存在常数值是否存在常数值使得使得 是是(5.1.6)的解的解,(如方程如方程(5.1.1)的常数的常数解解 。（。（5.1.2）的常数解是）的常数解是及及 )(2)设设 是是(5.1.6)的解的解, 是是(5.1.6)的另的另一个解，解， 与与 很接近时，对于一切很接近时，对于一切 是否有是否有 目录 上页 下页 返回 结束有有 与与 都很接近都很接近?这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。例如方程例如方程(5.1.2)中的常数解中的常数解 ,若另有一解若另有一解不难计算只要不难计算只要 与与 很接近很接近,即即 很小，很小，就有就有: 很小，很小， 既是后边要定既是后边要定 目录 上页 下页 返回 结束义的稳定解。相应的义的稳定解。相应的(5.1.1)的解的解 ,无论无论 多么小，多么小， (5.1.1)的解的解与与 也不能保证对于一切也不能保证对于一切 很接近，对于很接近，对于(5.1.1)， 既是后边要定义的稳定解。既是后边要定义的稳定解。(3) (5.1.6)是否有解是否有解 ，满足，满足此即后边要定义的周期为此即后边要定义的周期为 的周期解。的周期解。 目录 上页 下页 返回 结束(4)当当 时时(5.1.6)任一解任一解 有何趋向？有何趋向？它是否趋向于常数解或周期解它是否趋向于常数解或周期解?本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义:定义定义5.1 系统（系统（5.1.6）的常数解）的常数解 称为称为系统的平衡点系统的平衡点(奇点或驻点奇点或驻点)，常数解，常数解 满足：满足： 目录 上页 下页 返回 结束例例5.1. 求下列系统的平衡点：求下列系统的平衡点：解解 由定义，令由定义，令解得解得所以方程组有惟一的平衡点。所以方程组有惟一的平衡点。 目录 上页 下页 返回 结束如果系统如果系统(5.1.6)的某个解的某个解 满足对一切满足对一切均有其中其中 为一个常数，则称此解为一个常数，则称此解 为(5.1.6)的一个周期解。的一个周期解。 目录 上页 下页 返回 结束例例5.1.5 用用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的命令画出下边捕食被捕食系统的方向场及一些轨线图方向场及一些轨线图(图图5.1)用用Maple命令画出的图形见命令画出的图形见从计算机的模拟看出系统有多个周期解。从计算机的模拟看出系统有多个周期解。下边我们给出系统下边我们给出系统(5.1.6)的解的稳定性的定义。的解的稳定性的定义。(图图5.2)。 目录 上页 下页 返回 结束设设(5.1.6)的右端函数的右端函数 ，对于，对于 和和连续，关于连续，关于 满足满足李普希兹条件李普希兹条件。且。且 (5.1.6)有一个解定义于及有一个解定义于及如果对于任意的如果对于任意的存在一个存在一个使得对于使得对于(5.1.6)的任一满足的任一满足 的解的解只要：只要： 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.9)就有就有(5.1.10)对于所有的对于所有的 成立，则称方程（成立，则称方程（5.1.6）的解）的解:是是李雅普诺夫意义下稳定的李雅普诺夫意义下稳定的，简称，简称稳定的稳定的。如果如果(5.1.6)的解的解 不是稳定的，则称它是不是稳定的，则称它是不不稳定的稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.6)零解稳定的几何意义是对任意给定的半零解稳定的几何意义是对任意给定的半径总能在中径总能在中 找到一个以原点为中心、半径为找到一个以原点为中心、半径为的开球的开球 ，使得，使得(5.1.6)在时刻从出发的解曲线当在时刻从出发的解曲线当时总停留在半径为时总停留在半径为 的开球的开球 内。内。图图5.3 目录 上页 下页 返回 结束如果方程如果方程(5.1.6)的解的解 是稳定的，而且是稳定的，而且存在一个常数存在一个常数 ，使对于一切满足，使对于一切满足(5.1.11)的解的解 ,都有都有(5.1.12)则称解则称解 是是渐近稳定的渐近稳定的。如果如果(5.1.6)的解的解 是渐近稳定的是渐近稳定的,且存在且存在区域区域 ，只要，只要 ，就有，就有 目录 上页 下页 返回 结束稳定域或吸收域稳定域或吸收域。则称区域则称区域 为为(5.1.6)的解的解 的的渐近渐近如果解如果解 的渐近稳定域是全空间，则的渐近稳定域是全空间，则称此解是称此解是全局渐近稳定的全局渐近稳定的。例如前边的例例如前边的例5.1.1中的系统（中的系统（5.1.2）中的）中的就是稳定的且是渐近稳定的，而解就是稳定的且是渐近稳定的，而解 目录 上页 下页 返回 结束就是不稳定的。就是不稳定的。至于如何判断给定系统的某个特解的稳定性问至于如何判断给定系统的某个特解的稳定性问题，我们将在后边的题，我们将在后边的5.3及及5.5中介绍。中介绍。关于稳定性还有几点要注意的关于稳定性还有几点要注意的:注注1 上边的定义中是针对上边的定义中是针对 或或 ，以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不稳定的，渐近稳定的等），如果把稳定的，渐近稳定的等），如果把 的趋向改为的趋向改为 目录 上页 下页 返回 结束或或 ，相应地可定义负向稳定的，相应地可定义负向稳定的(不稳定的，渐近稳定的等不稳定的，渐近稳定的等)，以后如无特别声明我，以后如无特别声明我们所说的稳定性均指正向稳定性。们所说的稳定性均指正向稳定性。注注2 当定义中的当定义中的 为系统的奇点时为系统的奇点时即可得出奇点的稳定性。即可得出奇点的稳定性。注注3 由于在研究（由于在研究（5.1.6）的某一特解）的某一特解的稳定性时，总可以用变换的稳定性时，总可以用变换 目录 上页 下页 返回 结束(5.1.13)将将(5.1.6)化为化为(5.1.14)其中其中(5.1.15)且显然有且显然有即即(5.1.6)的特解的特解 对应着对应着(5.1.14)的零的零 目录 上页 下页 返回 结束解解 ，因而研究，因而研究(5.1.6)的特解的特解 的的稳定性问题就转化为研究（稳定性问题就转化为研究（5.1.14）的零解（奇点）的零解（奇点）的稳定性问题。的稳定性问题。 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束