【思考思考】 等差数列前等差数列前n n项和的有关计算项和的有关计算 1.1.等差数列前等差数列前n n项和的应用项和的应用（1 1）等差数列前）等差数列前n n项和公式，共涉及到五个量项和公式，共涉及到五个量a a1 1、n n、d d、a an n、S Sn n. .若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知知三求二三求二”，其方法一般是通过通项公式和前，其方法一般是通过通项公式和前n n项和公式联立方程项和公式联立方程（组）求解（组）求解. .（2 2）在利用等差数列前）在利用等差数列前n n项和公式解题时，常常要联系该公式项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：的变形形式：S Sn n= = 或或S Sn n=An=An2 2+Bn.+Bn.【名师指津名师指津】2.2.依据等差数列的性质得到的结论依据等差数列的性质得到的结论. .（1 1）当）当n n为奇数时，为奇数时，S Sn n= = （2 2） =a=a1 1+ +（n-1n-1）【特别提醒特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. .【例例1 1】已知等差数列已知等差数列aan n.(1)a(1)a1 1= a= a1515= S= Sn n=-5,=-5,求求n n和和d;(2)ad;(2)a1 1=4,S=4,S8 8=172,=172,求求a a8 8和和d.d.【审题指导审题指导】根据等差数列前根据等差数列前n n项和公式解方程项和公式解方程. .【规范解答规范解答】（1 1）a a1515= +(15-1)d= = +(15-1)d= d=d=又又S Sn n=na=na1 1+ + d=-5,d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）. .（2 2）由已知，得）由已知，得S S8 8= = 解得解得a a8 8=39,=39,又又a a8 8=4+(8-1)d=39,d=5.=4+(8-1)d=39,d=5. 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质. .(1)(1)项数（下标）的项数（下标）的“等和等和”性质：性质：(2)(2)项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d：若共有若共有2n2n项，则项，则S S2n2n=n=n（a an n+a+an+1n+1）；）；S S偶偶-S-S奇奇=nd=nd；S S偶偶S S奇奇= a= an+1n+1aan n；若共有若共有2n+12n+1项，则项，则S S2n+12n+1= =（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶-S-S奇奇=-a=-an+1n+1；S S偶偶S S奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段和片段和”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d，前，前k k项的和为项的和为S Sk k，则，则S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列的等差数列. .【例例2 2】S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和，且项和，且S S1010=100=100，S S100100=10=10，求求S S110110. .【规范解答规范解答】方法一方法一: :设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,前前n n项和项和为为S Sn n, ,则则S Sn n=na=na1 1+ + 由已知得由已知得10-,10-,整理得整理得d= d= 代入代入, ,得得a a1 1= =SS110110=110a=110a1 1+ =-110.+ =-110.故此数列的前故此数列的前110110项之和为项之和为-110.-110.方法二方法二: :数列数列S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020, ,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差成等差数列数列, ,设其公差为设其公差为D,D,前前1010项和为项和为10S10S1010+ + D=SD=S100100=10=10 D=-22,S D=-22,S110110-S-S100100=S=S1010+(11-1)D+(11-1)D=100+10(-22)=-120.=100+10(-22)=-120.SS110110=-120+S=-120+S100100=-110.=-110.【例例】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前4 4项和为项和为2525，后，后4 4项和为项和为6363，前前n n项和为项和为286286，求项数，求项数n.n.【审题指导审题指导】题目给出前题目给出前4 4项和与后项和与后4 4项和，可利用等差数项和，可利用等差数列项数（下标）的列项数（下标）的“等和等和”性质：性质：S Sn n= = 来求得来求得. .【规范解答规范解答】因为因为a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=25=25，a an-3n-3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n=63.=63.而而a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a=a4 4+a+an-3n-3，所以，所以4 4（a a1 1+a+an n）=88=88，所以，所以a a1 1+a+an n=22=22，所以所以S Sn n= =11n=286= =11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的项数为故所求的项数为26.26.【典例典例】（1212分）在等差数列分）在等差数列aan n 中，中，a a1 1=25=25，S S1717=S=S9 9，求，求S Sn n的最大值的最大值. .【审题指导审题指导】题目给出首项和题目给出首项和S S1717=S=S9 9等条件，欲求等条件，欲求S Sn n的最大的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式a an n求求n n使得使得a an n0,a0,an+1n+10 0或利用性质求出大于或等于零的项或利用性质求出大于或等于零的项. .【规范解答规范解答】方法一：设公差为方法一：设公差为d,d,由由S S1717=S=S9 9得得2517+ =25 2517+ =25 3 3分分解得解得d=-2d=-2，6 6分分S Sn n=25n+ =25n+ （-2-2）=-=-（n-13n-13）2 2+169+169， 9 9分分由二次函数性质得，当由二次函数性质得，当n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分方法二：先求出公差方法二：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分a a1 1=25=250,0,故故aan n 为递减数列，由为递减数列，由 得得 解得解得 9 9分分即即 又又nNnN* *当当n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值S S1313=1325+ =1325+ （-2-2）=169. =169. 1212分分方法三：先求出公差方法三：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分由由S S1717=S=S9 9，得，得a a1010+a+a1111+ +a+a1717=0=0，而而a a1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414，故故a a1313+a+a1414=0 =0 9 9分分d=-2d=-20,a0,a1 10,a0,a13130,a0,a14140.0.故故n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：对解答本题时易犯错误的具体分析如下：1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=4=4，a a6 6=6=6，则前，则前6 6项和项和S S6 6= =（ ）（A A）70 70 （）（）35 35 （）（）30 30 （）（）1212【解析解析】选选S S6 6 30302.2.等差数列等差数列aan n 的前项和为的前项和为S Sn n，若，若a a3 3a a17171010，则，则S S1919（ ）（）（）55 55 （）（）95 95 （）（）100 100 （）不能确定（）不能确定【解析解析】选选S S1919 95953.3.已知数列已知数列aan n 的通项的通项a an n- -n n，则其前项和，则其前项和S Sn n_【解析解析】a an+1n+1-a-an n- -，aan n 是等差数列是等差数列a a1 1- -，- -，S Sn n- - （- -）答案：答案： 4.4.等差数列等差数列aan n 的前项和为的前项和为S Sn n，若，若a a2 2，a a3 3，则，则S S4 4_【解析解析】aa2 2=1=1，a a3 3，a a1 1- -，S S4 4答案：答案：5 5. .已知已知aan n 是等差数列，是等差数列，a a1 1a a3 3a a5 5，a a6 6，求此数，求此数列前项的和列前项的和【解析解析】设公差为设公差为d,d,aa1 1a a3 3a a5 59 9，a a6 6，3a3a3 3=9,a=9,a3 3=3=3，a a6 6=a=a3 3+(6-3)d+(6-3)d，d=2,d=2,解得解得a a1 1=a=a6 6-5d=-1.-5d=-1.SS6 6=6(-1)+30=24.=6(-1)+30=24.