1.1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程一、知识回顾问题问题:你能仿此推导出椭圆你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？的参数方程吗？这就是椭圆的参数方程这就是椭圆的参数方程 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为）为半径作两个同心圆，设半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的的轨迹参数方程轨迹参数方程. OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=OAMxyNB解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为即为点点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. .消去参数得消去参数得: :即为即为点点M M的轨迹普通方程的轨迹普通方程. . 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为）为半径作两个同心圆，设半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的的轨迹参数方程轨迹参数方程. 1 .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :xyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.圆的参数方程圆的参数方程与与椭圆的参数方程椭圆的参数方程中中参数的几何意义参数的几何意义MOXYN(x,y)ABOXYNM(x,y) 为为OX轴逆时针旋转到与轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度 并非并非为为OX轴逆时针旋转到轴逆时针旋转到与与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度是是AOX=,不是不是MOX=.【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是（），离心率是（ ）。）。42( , 0)例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析2例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形面积求椭圆内接矩形面积的最大值的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最大的最大值和最小值值和最小值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin它的焦距是多少？它的焦距是多少？B练习练习5小结小结（1）椭圆的参数方程与应用）椭圆的参数方程与应用注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）椭圆与直线相交问题）椭圆与直线相交问题2.2.双曲线的参数方程双曲线的参数方程aoxy)MBA双曲线的参数方程双曲线的参数方程探究：双曲线探究：双曲线 的参数方程的参数方程baoxy)MBA双曲线的参数方程双曲线的参数方程b 双曲双曲线的参数方程可以由方程的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相比相比较而得到，所以双曲而得到，所以双曲线的参数方程的参数方程 的的实质是三角代是三角代换.说明：说明： 这里参数里参数 叫做双曲叫做双曲线的离心角与直的离心角与直线OM的的倾斜角不同斜角不同.aoxy)MBAb双曲线的参数方程双曲线的参数方程例例2、OBMAxy解：解： 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 注意:双曲线还有什么参数方程?3.3.抛物线的参数方程抛物线的参数方程xyoM(x,y)抛物线的参数方程抛物线的参数方程xyoBAMc练习：练习：练习：练习：小结：小结：1、抛物线的参数方程的形式、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义、抛物线参数的意义