二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质课件课件知识回顾，问题引入知识回顾，问题引入1. .什么是二次函数？什么是二次函数？ 一般地，若两个变量一般地，若两个变量x，y之间的对应关系之间的对应关系可以表示成可以表示成y= =ax2+ +bx+ +c（a，b，c是常数，是常数，a0）的形式，则称）的形式，则称y是是x的二次函数的二次函数.2. .在二次函数在二次函数y= =x2中，中，y随随x的变化而变化的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？吗？- -24- -11010124合作学习，探究一合作学习，探究一画二次函数画二次函数y= =x2的图象的图象（1）观察）观察y= =x2的表达式，选择适当的的表达式，选择适当的x值，并计算相应的值，并计算相应的y值，完成下表：值，完成下表：xy ( (2) )在直角坐标系中描点在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函）用光滑的曲线连接各点，便得到函数数y= =x2的图象的图象y= =x2（1）这个函数的图象形状是怎样的？）这个函数的图象形状是怎样的？（2）图象与）图象与x轴的交点坐标是什么？轴的交点坐标是什么？（3）y随随x的变化而怎样变化？的变化而怎样变化？（1）图象是一条抛物线；）图象是一条抛物线；（2）有交点，坐标为（）有交点，坐标为（0, ,0）；）；（3）当）当x0时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小， 当当x0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；（4）当）当x= =0时，时，y的值最大，的值最大，y最大值最大值= =0；（5）是轴对称图形，对称轴是）是轴对称图形，对称轴是y轴轴 （直线（直线x= =0），如（），如（1，1）和（）和（- -1，1）等）等. .（4）x取何值时，取何值时，y的值最小？是多少？的值最小？是多少？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点对称轴是什么？请你找出几对对称点. . 二次函数二次函数y= =x2的图象的图象是一条是一条抛物线抛物线， 开口方向：开口方向：向上向上 对称轴：对称轴：y轴轴 顶点顶点：对称轴与抛物：对称轴与抛物线的交点，它是图象的线的交点，它是图象的最低点最低点. .坐标为坐标为（0, ,0） 二次函数二次函数y=-=-x2 的图象也是一条抛的图象也是一条抛物线，物线，它与二次函数它与二次函数y= =x2的图象关于的图象关于x轴对称轴对称 二次函数二次函数y=-=-x2的图象是什么形状？的图象是什么形状？它与二次函数它与二次函数y= =x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？图象图象开口方向开口方向 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标y=x2y=- -x2 向上向上 向下向下y轴轴 （0，0）抛抛物物线线增减性：增减性： y= =x2 : : x 0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时时，y随随x的增大而增大的增大而增大 y= =- - x2: : x 0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值： y= =x2: : x= =0时，时，y最小值最小值= =0 y= =- - x2: : x= = 0时，时，y最大值最大值= =0 在图在图2- -4中画出二次函数中画出二次函数y= =3x2的图象，并思考下列问题：的图象，并思考下列问题：（1）图象：）图象：_开口方向：开口方向：_对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_（2）它与）它与y= =x2的图象的的图象的相同点：相同点：_；不同点：不同点：_. .抛物线抛物线向上向上y轴轴（0，0）形状、开口方向、对称轴、顶点坐标形状、开口方向、对称轴、顶点坐标开口大小开口大小相同：相同：形状形状开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标不同：不同：开口大小开口大小a越越大，开口大，开口越小越小 在图在图2- -4中画出中画出y= = x2的图象，它与的图象，它与y= =x2，y= =3x2的图象有什么相同和不同？的图象有什么相同和不同？想一想想一想函数函数y= =ax2（a0）的图象性质）的图象性质图象：图象：开口方向：开口方向：_, 对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_.向上向上y轴轴（0，0）增减性：增减性： x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大最值：最值： 当当x= =0时，时，y取得最小值取得最小值 y最小值最小值= =0函数函数y= =ax2（a0）的图象性质）的图象性质图象：图象：开口方向：开口方向：_， 对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_.向下向下y轴轴（0, ,0）增减性：增减性： x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值： 当当x= =0时，时，y取得最大值取得最大值 y最大值最大值= =01. .二次函数二次函数y=-=-x2中，当中，当y=-=-16时，时， x = =_. .2. .已知函数已知函数y= =ax2的图象过点（的图象过点（3，9），和（），和（2，t）（1）求）求a和和t的值；的值；（2）试判断这个函数的图象是否）试判断这个函数的图象是否 过点（过点（- -3，9）. .过点（过点（- -3, ,9）a = =1, ,t = =4能力小测试：能力小测试：画出二次函数画出二次函数y= =2x2+ +1的图象的图象y= =2x2+ +1y= =2x2合作学习，探究二合作学习，探究二y= =2x2+ +1的图象：的图象：由由y= =2x2的图象向上平的图象向上平移移1个单位得到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0，1） 二次函数二次函数y= =2x2+ +1的图象的开口方向、的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数数y= =2x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？y= =2x2y= =2x2+ +1y= =2x2- -1的图象：的图象：由由y= =2x2的图象向下平移的图象向下平移1个单位得到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0,-,-1） 二次函数二次函数y= =2x2- -1的图象的开口方向、的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数数y= =2x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？y= =2x2y= =2x2- -1函数函数y= =ax2+c（a0）的图象性质）的图象性质平移：平移：由由y=ax2向上或向下向上或向下平移平移c个单位得到个单位得到开口方向：开口方向： 对称轴：对称轴： 顶点坐标：顶点坐标：向上向上y轴轴（0，c）增减性：增减性： x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大最值：最值： 当当x= =0时，时，y取得最小值取得最小值 y最小值最小值= =c函数函数y= =ax2+ +c（a0）的性质）的性质平移：平移：由由y= =ax2向上或向下向上或向下平移平移c个单位得到个单位得到开口方向：开口方向： 对称轴：对称轴： 顶点坐标：顶点坐标：向下向下y轴轴（0，c）增减性：增减性： x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值： 当当x= =0时，时，y取得最大值取得最大值 y最大值最大值= =c1. .二次函数二次函数y= =3x2- - 的图象与二次函数的图象与二次函数 y= =3x2的图象有什么关系？它是轴对的图象有什么关系？它是轴对 称图形吗？它的开口方向、对称轴、称图形吗？它的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？画图看一看顶点坐标分别是什么？画图看一看. .2. .二次函数二次函数y=-=-2x2- - 的图象与二次函的图象与二次函 数数y=-=-2x2+ + 的图象有什么关系的图象有什么关系? ?随堂练习随堂练习y= =3x2 y= =3x2- -1.y= =3x2- - 的图象：的图象：由由y= =3x2的图象向下平移的图象向下平移 个单位得到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0，- - ）2. y=-=-2x2- - 的图象：的图象： 由由y=-=-2x2+ + 的图象向下平移的图象向下平移1个个 单位得到单位得到y=-=-2x2+ + y=-=-2x2- - 32032501818882021882281832 对于同一个对于同一个y值，这两个函数对应值，这两个函数对应的的x值相差值相差1（在对称轴同侧）（在对称轴同侧）合作学习，探究三合作学习，探究三画出二次函数画出二次函数y= =2( (x- -1) )2的图象的图象（1）完成下表：）完成下表： 观察上表，你能发现观察上表，你能发现2( (x- -1) )2与与2x2的值有的值有什么关系？什么关系？x- -4 - -3 - -2- -1012342x2 2( (x-1) )2（2）画函数出）画函数出y= =2( (x-1)-1)2的图象的图象y= =2x2y= =2( (x- -1) )2y=2( (x- -1) )2的图象：由的图象：由y= =2x2的图象向右平移的图象向右平移1 1个单个单位得到；开口方向：向上；位得到；开口方向：向上；对称轴：直线对称轴：直线x=1；顶点坐标：（；顶点坐标：（1, , 0 ）；）； x1时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小， x 1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大. . 二次函数二次函数y=2( (x- -1) )2的图象与二次函数的图象与二次函数y= =2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值随x值的增大而增大？当值的增大而增大？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值随x值的增大而减小？值的增大而减小？ y= =2( (x+ +1) )2的图象：由的图象：由y= =2x2的图象向左平的图象向左平移移1个单位得到个单位得到. 类似地，你能发现二次函数类似地，你能发现二次函数y= =2( (x+ +1) )2的图的图象与二次函数象与二次函数y= =2x2的图象有什么关系吗？的图象有什么关系吗？y= =2( (x+ +1) )2y= =2x2对于二次函数对于二次函数y=-=-3( (x+ +2) )2：（1）它的图象与二次函数）它的图象与二次函数y=-=-3x2的图的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？别是什么？（2）当）当x取哪些值时，取哪些值时，y的随的随x值的增值的增大而增大？当大而增大？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值随x值的增大而减小？值的增大而减小？随堂练习：随堂练习：（1）y=-=-3( (x+2) )2的图象：由的图象：由y=-=-3x2的图象的图象向左平移向左平移2个单位得到；个单位得到； 它是轴对称图形；它是轴对称图形； 开口方向：向下；开口方向：向下； 对称轴：直线对称轴：直线x=- -2； 顶点坐标：（顶点坐标：（0,-,-2）. .( (2) ) x- -2时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大， x - -2时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小. . 由二次函数由二次函数y= =2x2的图象，你能得到二次函的图象，你能得到二次函数数y= =2x2- - ，y= =2( (x+ +3) )2，y= =2( (x+ +3) )2- - 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流流. .y= =2x2y= =2x2- -y= =2( (x+ +3) )2- -y= =2( (x+ +3) )2 y= =2x2- - 的图象：由的图象：由y= =2x2的图象向下平的图象向下平移移 个单位得到个单位得到. . y= =2( (x+ +3) )2的图象：由的图象：由y= =2x2的图象向左平的图象向左平移移3个单位得到个单位得到. . y= =2( (x+ +3) )2- - 的图象：由的图象：由y= =2x2的图象的图象向左平移向左平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移 个单位得个单位得到（也可由到（也可由y= =2x2的图象向下平移的图象向下平移 个单位，个单位，再向左平移再向左平移3个单位得到）个单位得到）. .形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同. .抛物线抛物线y= =a( (x- -h) )2+ +k可由抛物线可由抛物线y= =ax2沿沿x轴方向平轴方向平移移h个单位（个单位（h0时，向右平移，时，向右平移，h0时，时，向左平移），再沿向左平移），再沿y轴方向平移轴方向平移k个单位（个单位（k0时，向上平移，时，向上平移，k0时，向下平移）得到时，向下平移）得到. . 二次函数二次函数y= =a( (x- -h) )2+ +k与与y= =ax2的图象有什的图象有什么关系？么关系？ 二次函数二次函数y= =a( (x- -h) )2+ +k的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线. .开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=a( (x- -h) )2+ +k 向上向上（a0） 向下向下（a0）y轴轴（h，k）增减性：增减性： a0时，时，xh，y随随x的增大而减小的增大而减小 xh，y随随x的增大而增大的增大而增大 a0时，时，xh，y随随x的增大而增大的增大而增大 xh，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值： a0时，时，x= =h，y最小值最小值= =k a0时，时，x= =h，y最大值最大值= =k例题讲解例题讲解例例1 试讨论二次函数试讨论二次函数 的性质的性质.解：由表达式可知，它有以下性质：解：由表达式可知，它有以下性质：（1）图象是抛物线，开口向下；）图象是抛物线，开口向下；（2）对称轴为直线）对称轴为直线x=-3；（3）顶点是图象的最高点，坐标为（）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）；）；（4）当）当x-3时，函数随时，函数随x的增大而减小的增大而减小.随堂练习：随堂练习：1. .已知函数已知函数y=-=-3( (x- -2) )2+ +4，当，当x= =_时，函数时，函数取最大值为取最大值为_. .2. .已知抛物线已知抛物线y=-(=-(x+ +1) )2- -3，当，当x_时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小. .3. .怎样平移抛物线怎样平移抛物线y= =3x2，便可得到抛物线，便可得到抛物线y=3( (x- -2) )2+ +2？24- -1 由抛物线由抛物线y= =3x2先向上平移先向上平移2个单位，个单位，再向右平移再向右平移3个单位或先向右平移个单位或先向右平移3个单位，个单位，再向上平移再向上平移2个单位得到个单位得到. . 学习了二次函数学习了二次函数y= =a( (x- -h) )2+ +k的图的图象和性质之后，现在你能研究二次函象和性质之后，现在你能研究二次函数数y= =2x2- -4x+ +5的图象和性质吗？的图象和性质吗？化成化成y= =a( (x- -h) )2+ +k的形式！的形式！合作学习，探究四合作学习，探究四求二次函数求二次函数y= =2x2- -8x+ +7的图象的对称轴和的图象的对称轴和顶点坐标顶点坐标. .解解 y= =2x2- -8x+ +7 = =2( (x2- -4x)+)+7 = =2( (x2- -4x+ +4)-)-8+ +7 = =2( (x- -2) )2- -1 二次函数二次函数y= =2x2- -8x+ +7的图象的对称轴的图象的对称轴是直线是直线x= =2, ,顶点坐标为（顶点坐标为（2，- -1）. .解解 （1）y= =3x2- -6x+ +7 = =3( (x- -1) )2+ +4 对称轴：对称轴： 直线直线x= =1 顶点坐标：顶点坐标： （1，4） （2） y= =2x2- -12x+ +8 = =2( (x- -3) )2- -10 对称轴：对称轴： 直线直线x= =3 顶点坐标：顶点坐标： （3，- -10）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y= =3x2- -6x+ +7；（；（2）y= =2x2- -12x+ +8. . 二次函数二次函数y= =ax2+ +bx+ +c图象的对称轴是直图象的对称轴是直线线x=-=- , ,顶点坐标为（顶点坐标为（- - ， ）. .解解 y= =ax2+ +bx+ +c = =a( (x2+ + x)+)+c = =a x2+ +2 x+(+( ) )2-( -( ) )2+c = =a( (x+ + ) )2+ + 求二次函数求二次函数y= =ax2+ +bx+ +c图象的图象的 对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标 二次函数二次函数y= =ax2+ +bx+ +c的图象是一条的图象是一条抛物线抛物线. .开口开口方向方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y= =ax2+ +bx+ +c 向上向上（a0） 向下向下（a0）直线直线x=-=-（- - ， ）增减性：增减性： a0时，时，x- - ，y随随x的增大而减小的增大而减小 x- - ，y随随x的增大而增大的增大而增大 a0时，时，x- - ，y随随x的增大而增大的增大而增大 x - - ，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值： a0时，时，x=-=- ，y最小值最小值= = a0时，时，x=-=- ，y最大值最大值= = 解（解（1）y= =2x2- -12x+ +3 = =2( (x- -3) )2- -15 对称轴：直线对称轴：直线x= =3 顶点坐标：（顶点坐标：（3，- -15）（2）y=-=-5x2+ +80x- -319 =- =-5( (x- -8) )2+ +1 对称轴：直线对称轴：直线x= =8 顶点坐标：（顶点坐标：（8，1）随堂练习：随堂练习：（1）y= =2x2- -12x+ +3；（；（2）y=-=-5x2+ +80x- -319；（3）y= =2( (x- - )()(x- -2) )；（4）y= =3( (2x+ +1)()(2- -x).).（3）y= =2( (x- - )()(x- -2) ) = =2( (x- - ) )2- - 对称轴：对称轴： 直线直线x= = 顶点坐标：顶点坐标： （4）y= =3( (2x+ +1)()(2- -x) ) =-=-6( (x- - ) )2+ + 对称轴：对称轴： 直线直线 x= = 顶点坐标：顶点坐标： 回顾本课学习了哪些知识？回顾本课学习了哪些知识？课堂小结课堂小结结束结束