1 1 实数实数2 2 数集数集. .确界原理确界原理3 3 函数概念函数概念4 4 具有某些特性的函数具有某些特性的函数1 实实 数数1. 我们用符号“” 表示“任取”或“对于任意的” 或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.几个常用符号几个常用符号2. 我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.3. 我们用符号“”表示“充分条件”比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 或 “推出” 这一意思.则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.4. 我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.或 “充要条件” 这一意思.1.集合v集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.v元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.一、集合一、集合v集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x具有性质P . 例如M(x, y)| x, y为实数, x2y21. v几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为全集.提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集. v集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的证明所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)Cv直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB(x, y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积. 例如, RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)3.实数集v两个实数的大小关系 说明: .自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 定义1 定义2 LLLL, 2 , 1 , 0101.210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似的称为而有理数位不足近似的为实数称有理数为非负实数设说明: .101.210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL与分别规定为位不足近似与过剩近似的负实数说明: .,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当的不足近似实数命题1 .,:.位过剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLLv实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a b .3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b, b c,则有acv实数的性质 .，则存在正整数 n,使得 nb a. 即对任何4.实数具有阿基米德性,a b 0,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.v实数的性质 例1 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee例2 .,.bababababa，从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee证明 3.小结 P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1), 两个实数的大小关系;(2), 实数的性质;(3), 区间和邻域的概念;(4), 确界原理.2 数集数集. .确界原理确界原理 数集x|axb称为开区间,记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. a, bx|axb闭区间. a, b)x|axb半开区间, (a, bx|axb半开区间.v有限区间 上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, ba 称为区间的长度.1.区间和邻域 (, b x|xb, (, ) x| |x|. a, ) x|ax,v无限区间 (, b) x|xb, (a, ) x|a0, 则称 U(a, )(a, a)x| |xa|为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.v去心邻域U(a, )x|0|xa|.。说明: 2.确界原理定义1 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集. 若数集S不是有界集,则称S为无界集., 1, 0.100无上界即则取的下界的实数都是任何一个不大于显然NMnMnMN，).()()(),()(下界的一个上界称为数的数集下界为有上界则称都有使得对一切若存在数中的一个数集是设SLM，SLxMxS，x，LM，RS.有下界而无上界为正整数数集例如nnN 定义2 说明: Sxx1x2x3x4x5xn,)(xaiia,00axSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有满足若数中的一个数集是设SxSxi，RSxxx.supS，Sxx记作的上确界为数集则称数 同理可得下确界的定义.定义3: ;.,)(的下界是即有满足若数中的一个数集是设SxSxi，RShhh.inf,)(00S，S，SxSxii4.函数的运算 设 函 数 f(x), g(x)的 定 义 域 依 次 为 D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 例10 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是 证 则 f(x)g(x)h(x), 且幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . v基本初等函数 (一)幂函数的图形 同一坐标系中同一坐标系中幂函数的图象幂函数的图象(二)指数函数的图形 同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象(三)对数函数的图形 同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象正弦函数的图象(四)三角函数的图形 余弦函数的图象(五)反三角函数的图象 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如v复合函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数v初等函数 双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:v双曲函数与反双曲函数 v双曲函数与反双曲函数 双曲函数的性质比较 sin(xy)sin x cos ycos x sin y. sh(xy)sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x1, ch(xy)ch x ch ysh x sh y, sh 2x2sh x ch x, ch 2xch2x+sh2x. 比较 cos(xy)cos x cos y sin x sin y. v双曲函数与反双曲函数 反双曲函数 双曲函数 ysh x, ych x, yth x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x.可以证明 6.小结 P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(1), 基本初等函数的概念;(2), 基本初等函数的图象及性质;(3), 复合函数的概念及性质;(4), 双曲函数的概念;(5), 初等函数的概念. (1) 符号函数符号函数1-1xyov几个特殊函数举例 (2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函狄利克雷函数数(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. 4 具有某些特性的函数具有某些特性的函数1. 单调单调函数函数 单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.xyof (x)单调递增xyof (x)单调递减设f (x)在(a, b)有定义. 若x1, x2(a, b). x10, 使x(a, b), 有| f (x) |M.则称f (x)在(a, b)内有界.否则, 称f (x)在(a, b)内无界.若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 则称f (x)在(a, b)内有上界. M1称为它的一个上界,看图. 若M2, 使x(a, b), 有 M2 f (x), 则称f (x)在(a, b)内有下界. M2称为它的一个下界,看图.xyo abM2xyoabM1f (x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.易见, 若f (x)在(a, b)有上界M1, 则它在(a, b)有无穷多个上界. 若f (x)在(a, b)有下界M2, 则它在(a, b)有无穷多个下界. 比如M2 1, M2 2, 都是它的下界.比如M1 +1, M1 +2, 都是它的上界.可以证明, 在这无穷多个上界中必有一个最小的上界M, 称为f (x)在(a, b)的上确界.记作在这无穷多个下界中必有一个最大的下界m, 称为f (x)在(a, b)的下确界.记作比如y=sinx, 由于|sinx|1. 所以, 1和1分别是sinx的上界和下界. 若f (x)在(a, b)内不满足有界性定义4, 则称f (x)在(a, b)无界. 且可看出1是sinx的上确界. 而1是sinx的下确界.即, 若对M 0, x0(a, b), 使得 | f (x0)| M, 则称f (x)在(a, b)无界.比如, , 在(0, 1)内无界. 从几何上看, 它的图形不能全部夹在任何两条平等于x 轴的直线之间.y011x2.反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 函数yx3, xR的反函数是提问: 下列结论是否正确？2.反函数v反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数. 三、反函数DWDW 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. v反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 5.小结(1), 有界函数;(2), 单调函数;(3), 奇,偶函数;(4), 周期函数;(5), 各类特殊函数图象的特点.函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数(指数、对数、三角、反三角指数、对数、三角、反三角)有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数) P20: 1, 2, 3, 4, 5 , 6 . P21: 1,2 ,3, 8 ,9 ,10 , 12 ,13 ,14 ,15 ,16 .