第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 二二 力矩的力矩的功率功率 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理. 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 第第3节节 刚体转动中的功和能刚体转动中的功和能 1 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院三三 转动动能转动动能四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 .2 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院Rhmmm 和和 、 分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度 . 例例1 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 . 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为m3 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院物体由静止开始下落物体由静止开始下落解得解得并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理由质点动能定理m4 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点质点运动状态的描述运动状态的描述刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述第第4节节 质点和刚体的角动量质点和刚体的角动量 5 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院1 质点的角动量质点的角动量 质量为质量为m的质点绕的质点绕o点作曲线运动，力点作曲线运动，力F作用质作用质点上，力在点上，力在x和和y方向上的分量为方向上的分量为Fx和和Fy xoPmyRQQ由于由于所以所以角动量角动量6 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院角动量为矢量角动量为矢量 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量大小大小: 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.单位单位:kgm2/sPm7 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.2 质点的角动量定理质点的角动量定理8 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律单位单位:mNs9 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度.(已知已知OA与与OB的夹角为的夹角为 )10 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院考虑到考虑到得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式方向：方向： 11 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量O二二二二 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理为为质点：质点：一个质元：一个质元：角动量角动量动量矩动量矩12 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理:刚体刚体:刚体的角动量定理刚体的角动量定理:冲量矩冲量矩:单位单位:mNS13 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若第第5节节 角动量守恒角动量守恒 守守 恒条件恒条件若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.讨论讨论 单个刚体单个刚体: 多个刚体多个刚体: 刚体与质点构成的系统刚体与质点构成的系统:14 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 在在冲击冲击等问题中等问题中常矢量常矢量 例例 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，求子弹与竿共同运动的速率为多少处，求子弹与竿共同运动的速率为多少 ? 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的瞬间，系统角动量守恒子弹射入竿的瞬间，系统角动量守恒取取（垂直板面向外）为角动量的正（垂直板面向外）为角动量的正方向方向15 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水角动量守恒演示仪角动量守恒演示仪16 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院跳跳水水中中的的角角动动量量守守恒恒现现象象 起跳入水17 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 18 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院第第6节节 进动进动进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴 发生转动的现象。发生转动的现象。mgLr转动角速度：转动角速度：俯视图俯视图19 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 陀螺的进动陀螺的进动 20 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 例例2 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知已知月球半径月球半径 ; 在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?BhORA21 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 , 月球质量月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律由万有引力和牛顿定律BhORA已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .22 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院得得得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 并获得并获得速度的增量速度的增量 , 使飞船的速度使飞船的速度变为变为 , 其值为其值为质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒BhORA23 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到达月球的过程中达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒即即于是于是而而BhORA24 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 使飞船使飞船的速度变为的速度变为 , 设与之设与之间的夹角为间的夹角为BhORA喷气时喷气时动量守恒动量守恒从从 A到达月球的过程中到达月球的过程中, 机械能守机械能守恒恒(1)(2)(3)(4)25 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均设小虫与细杆的质量均为为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速小虫应以多大速率向细杆端点爬行率向细杆端点爬行? 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒26 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到27 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑跷板可绕中部支撑点点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落落在跷板上在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可可弹起多高弹起多高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度28 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度ll/2CABMNh29 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计30 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 例例5 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ? 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守子弹射入竿的过程系统角动量守恒恒31 第第2章章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的积累效应力矩的积累效应哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .32