1.2.2 1.2.2 组合（一）组合（一）1问题一：从甲、乙、丙问题一：从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天的一项活动，其中名去参加某天的一项活动，其中1 1名同学参名同学参加上午的活动，加上午的活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙问题二：从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设2从已知的从已知的3个不同元素中个不同元素中每次取出每次取出2个元素个元素 , ,并成并成一组一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同元素中个不同元素中每次取出每次取出2个元素个元素 , ,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序3 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从）个元素并成一组，叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么排列与组合的概念有什么共同点与不同点？共同点与不同点？ 概念讲解概念讲解组合定义组合定义: :4组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成按照一定的顺序排成一列，叫做从一列，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个排列个元素的一个排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” ” 不同点不同点: : 排列与元素的顺序有关，排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关而组合则与元素的顺序无关. .概念讲解概念讲解5思考一思考一: :ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合? ?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤个步骤.思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?6判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有多少种分法共有多少种分法? ?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手多少次共需握手多少次? ?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.71.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a , b , c , d , ,写出每次取出两个元素的所有组合写出每次取出两个元素的所有组合. .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) )概念理解概念理解81.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd练一练练一练练一练练一练9组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么你发现了什么?10如何计算如何计算: :11组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的排列数，可以分为以下个元素的排列数，可以分为以下2步：步： 第第1步，先求出从这步，先求出从这 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的组合数个元素的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式组合数公式组合数公式组合数公式 概念讲解概念讲解12组合数公式组合数公式: 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 概念讲解概念讲解13例例1 1计算：算： 例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析选选(4)(4)求求14例315例例4.(1)4.(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端个点为端 点的线段共有多少点的线段共有多少条？条？ (2) (2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向线段共有多少条？个点为端点的有向线段共有多少条？例题分析例题分析16排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系课堂小结课堂小结17复习巩固：复习巩固：复习巩固：复习巩固：1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从）个元素并成一组，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的组合数，用符号个元素的组合数，用符号 表示表示. .2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:18例例6：一位教练的足球队共有：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：人。问： （1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？式做这件事情？19例例7 7.(1).(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端个点为端 点的线段共有多少点的线段共有多少条？条？ (2) (2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向线段共有多少条？个点为端点的有向线段共有多少条？例题分析例题分析20例例8：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品检验时件次品。产品检验时,从从100件产品中任意抽件产品中任意抽出出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“至多至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。的问题，通常用分类法或间接法求解。21变式练习变式练习变式练习变式练习按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；22完成完成P25页课后练习页课后练习23一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，有多少种取法？个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：解：（1） 性质性质224 我我们可以可以这样解解释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分个球，可以分为两两类：一：一类含有含有1个个黑球，一黑球，一类不含有黑球因此根据分不含有黑球因此根据分类计数原理，数原理，上述等式成立上述等式成立 我我们发现：为什么呢为什么呢25性质性质226 注注:1 公式特征：下公式特征：下标相同而上标差标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习变形，简化运算在今后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用27例例2 求证求证:28复习巩固：复习巩固：复习巩固：复习巩固：1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从）个元素并成一组，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的组合数，用符号个元素的组合数，用符号 表示表示. .2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:29性质性质230一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题例例3、4本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙）分给甲、乙二人，每人两本；二人，每人两本；（2）分成）分成二份，每份两本；二份，每份两本；（3）分成）分成二份，一份二份，一份1本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙）分给甲、乙2人，一人人，一人1本，一人本，一人3本；本；（5）分）分成三份，一份成三份，一份2本，另两份每份本，另两份每份1本；本；（6）甲甲1本，乙一本，丙得本，乙一本，丙得2本。本。31练习：练习：(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件, 有多少种分法有多少种分法?(2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法每人二件有多少种分法?解解: (1)(2)32例例4、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（熄灭的方法共有（ ）（A） 种（种（B） 种种 （C） 种种 （D） 种种二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法33三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法有种则这样的测试方法有种可能？可能？解：由题意知前解：由题意知前4次测试恰有次测试恰有3次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。34练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生和名男生和1名女生参加三项竞赛活名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.35四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例6、 从从3个学校中选出个学校中选出8名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每校至少有每校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个8相同球放入相同球放入3个不同盒子个不同盒子(盒子不能空的盒子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问这类问可用可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:36