向量组的正交性向量组的正交性一、向量的内积：一、向量的内积：1.定义1：设有向量向量组的正交性二、向量的夹角。二、向量的夹角。三、向量的正交性：三、向量的正交性：1.定义定义2.2.定义定义3.为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。向量组的正交性3.正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理:回忆:如何证明一组向量线性无关?证:( i =1,2,m )向量组的正交性问题问题:线性无关的向量组是否为正交组线性无关的向量组是否为正交组?不是不是 !例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.四四 向量空间的正交基向量空间的正交基向量组的正交性即解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有向量组的正交性五五 规范正交基规范正交基 例如例如向量组的正交性空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一向量组的正交性六、向量组的正交规范化：六、向量组的正交规范化：向量组的正交性正交化正交化 单位化单位化施密特正交化过程施密特正交化过程Schimidt向量组的正交性例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 取取向量组的正交性再再单位化单位化， 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下向量组的正交性几何解释几何解释几何解释几何解释向量组的正交性七、正交矩阵：七、正交矩阵：1.定义定义4：2.性质：性质： 3.正交矩阵的判定正交矩阵的判定:向量组的正交性方法一、用定理。方法一、用定理。方法二、用定义。方法二、用定义。正交正交向量组的正交性不正交不正交 向量组的正交性性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明定义定义 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换八、正交变换：八、正交变换： 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。型的几何特征。性质性质 正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变向量组的正交性1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化小 结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：向量组的正交性求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交Ex向量组的正交性向量组的正交性