工程测量工程测量北京科技大学土木学院北京科技大学土木学院 晏剑斌晏剑斌第六章第六章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识6-1 测量误差概述测量误差概述 测量误差测量误差测量结果不可避免地存在误差！测量结果不可避免地存在误差！产生产生测量误差测量误差的原因的原因1 1测量仪器测量仪器2 2观测者观测者3 3外界条件外界条件观测条件观测条件等精度观测等精度观测非等精度观测非等精度观测测量错误测量错误( (粗差粗差) )步步有检核步步有检核按影响性质分类按影响性质分类1 1系统误差系统误差2 2偶然误差偶然误差6-1 测量误差概述测量误差概述系统误差系统误差 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为为系统误差系统误差水准仪的水准仪的i i角角; ; 水准尺的零点差；水准尺的零点差；水准尺的倾斜；水准尺的倾斜；水平角观测中的水平角观测中的2 2C;C;竖直角观测中的竖直角观测中的x; x; 钢尺量距中的尺长误差钢尺量距中的尺长误差; ; 温度影响；温度影响；垂曲；垂曲； 定线不准；定线不准；拉力不准；拉力不准；处理办法处理办法?1. 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。检校仪器，把系统误差降低到最小程度。2. 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。3.采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。 6-1 测量误差概述测量误差概述系统误差系统误差偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，这类误差称为号都表现出偶然性，这类误差称为偶然误差偶然误差或随机误差。或随机误差。 就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律统计规律性性, ,而且而且, ,随着观测次数的增加随着观测次数的增加, ,偶然误差的统计规律愈加明显。偶然误差的统计规律愈加明显。 例如：例如： 对对358358个三角形在相同的观测条件下观测了全个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差部内角，三角形内角和的误差 ( ( = =三角形内角测量值三角形内角测量值- -180180 ） 其结果如表其结果如表5-15-1，图，图5-1, 5-1, 分析三角形内角和的误分析三角形内角和的误差差 i i的规律。的规律。6-1 测量误差概述测量误差概述偶然误差偶然误差表6-1 偶然误差的统计 误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 总数总数 K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 03 03 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.059 44 0.123 44 0.123 1215 17 1215 170.0470.047 16 0.045 16 0.045 33 33 0.092 0.092 1518 151813130.0360.036 13 13 0.036 0.036 26 26 0.073 0.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 11 0.031 0.017 5 0.014 11 0.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.006 6 6 0.017 0.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 181 0.505 177 0.495 358 1.000 5-1 测量误差概述测量误差概述偶然误差偶然误差偶然误差的统计特征偶然误差的统计特征1.1.有限性有限性：在有限次观测中，偶然误差小于一定的限值。：在有限次观测中，偶然误差小于一定的限值。2.2.渐降性渐降性：误差小的出现的概率大：误差小的出现的概率大3.3.对称性对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等：绝对值相等的正负误差出现的概率相等4.4.抵偿性抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值趋于零。：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值趋于零。5-1 测量误差概述测量误差概述偶然误差偶然误差7 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= K/n 频率直方图频率直方图5-1 测量误差概述测量误差概述偶然误差偶然误差 当当n n，0 0时，频时，频率直方图上部的折线变成了率直方图上部的折线变成了一条光滑的曲线，称为一条光滑的曲线，称为正态正态分布密度曲线分布密度曲线或或高斯曲线高斯曲线高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：式中式中为与观测条件有关的参数为与观测条件有关的参数6-2 评定精度的标准评定精度的标准 怎样来衡量怎样来衡量一组等精度观测值的一组等精度观测值的精度？精度？ 频率直方图频率直方图能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？平均误差平均误差方差方差标准偏差（中误差）标准偏差（中误差） 当当n n有限时，所求均为估值，测量中常用有限时，所求均为估值，测量中常用 m m 来表来表示示的估值，并称之为的估值，并称之为中误差中误差6-2 评定精度的标准评定精度的标准按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差次序第一组观测第二组观测观测值l2观测值l211800003+3918000000021800002+241795959-1131795958-241800007+74941795956-4161800002+2451800001+111800001+1161800000001795959-1171800004+4161795952-86481795957-3918000000091795958-241795957-39101800003+391800001+11|2472241306-2 评定精度的标准评定精度的标准6-2 评定精度的标准评定精度的标准中误差中误差相对误差相对误差 例：用钢卷尺丈量例：用钢卷尺丈量200200m m和和4040m m两段距离，量距的中误差都两段距离，量距的中误差都是是2 2cmcm，但不能认为两者的精度是相同的但不能认为两者的精度是相同的 为此，可用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为此，可用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为为“相对误差相对误差”）来描述观测的质量，）来描述观测的质量，K = |m|/D K = |m|/D 1 1(D/|m|)(D/|m|)前者的相对中误差为前者的相对中误差为 K1=0.02K1=0.02200 200 1 11000010000后者则为后者则为 K2=0.02K2=0.0240 40 l l200020006-2 评定精度的标准评定精度的标准中误差中误差相对误差相对误差极限误差极限误差 在一定的观测条件下，偶然误差的在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就绝对值不会超过一定限值，这个限值就是是极限误差极限误差限限=3=33m3m偶然误差的容许值偶然误差的容许值: : |容容|=2|=22 2m m6-3 误差传播定理误差传播定理 未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，怎样计算怎样计算观测值函数的中误差观测值函数的中误差？和差函数的中误差和差函数的中误差设有：设有：Z=XYZ=XY则有：则有：Z Z= =X XY Y 设想对设想对X,YX,Y都进行了都进行了n n次观测，则有：次观测，则有：平方求和得：平方求和得：Z2=X2 2XY+Y2即：即： mZ2 = mX2 + mY2= 若有：若有： Z=X1X2Xn则：则： mZ2 = mX12 + mX22 + + mXn26-3 误差传播定理误差传播定理和差函数的中误差和差函数的中误差例例1 1：水准测量时，一站的高差为：水准测量时，一站的高差为 h=a-bh=a-bm mh h2 2= m= ma a2 2 + m + mb b2 2 , , 设设m ma a=m=ma a=1mm, =1mm, 则则: : m mh h=1.4mm=1.4mm两次高差之差（变仪器高或双面尺法）两次高差之差（变仪器高或双面尺法）=h=h1 1-h-h2 2则则: : m m2 2= m= mh1h12 2 + m + mh2h22 2 , ,m m=2mm=2mm。 综合取综合取m m=3mm=3mm 限限=2m =6mm例例2 2：求闭合水准测量路线的闭合差：求闭合水准测量路线的闭合差f fh h容容h=h1+ h2 + hn则：则： m h2 = mh12 + mh22 + + mhn2设每一测站的观测条件相同，测站中误差为设每一测站的观测条件相同，测站中误差为m=6mmm=6mm则：则： m h2 = nm2 ; 6-3 误差传播定理误差传播定理和差函数的中误差和差函数的中误差倍数函数的中误差倍数函数的中误差设有：设有：Z=Z=kXkX则有：则有：Z Z=k=kX X即：即： mZ2 = k2mX2 mZ= kmXnnXkZXkZXkZ=L22116-3 误差传播定理误差传播定理和差函数的中误差和差函数的中误差倍数函数的中误差倍数函数的中误差线性函数的中误差线性函数的中误差设有：设有： Z=k1X1 k2X2 knXn则有则有： mZ2 = k12mX12 + k22mX22 + + kn2mXn2 例例3 3：距离丈量，独立的进行了：距离丈量，独立的进行了n n次，一次丈量的中误差次，一次丈量的中误差为为m m，求算术平均值的中误差求算术平均值的中误差M M6-3 误差传播定理误差传播定理一般函数的中误差一般函数的中误差设有：设有： Z = F (x1，x2 ， ，xn ）6-3 误差传播定理误差传播定理一般函数的中误差一般函数的中误差 例例4 4：测距三角高程：测距三角高程h=h=S SsinVsinV，S S=1000m=1000m5mm,V=105mm,V=1030”,30”,求求高差高差h h的中误差的中误差m mh h解：解： h=h=SsinVSsinV 则有则有 dh=dh=sinVdS+ScosVdVsinVdS+ScosVdV=12.0mm6-4 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值 设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X X，其观测值分别为其观测值分别为l l1 1 ，l l2 2 ， ，l ln n ，相应的真误差为相应的真误差为1 1 ，2 2 ， ，n n ，则则根据偶然误差的第四特征，有根据偶然误差的第四特征，有 当当n n有限时，通常取算术平有限时，通常取算术平均值作为等精度观测值的最可均值作为等精度观测值的最可靠值靠值6-4 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值算术平均值算术平均值 结论：一组等精度观测值的结论：一组等精度观测值的改正数之和一定为零，即改正数之和一定为零，即v=0v=0观测值的改正数观测值的改正数 我们把算术平均值与观测值之差，我们把算术平均值与观测值之差，定义观测值的定义观测值的改正数改正数 v vi i=L-=L-l li i6-4 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值算术平均值算术平均值观测值的改正数观测值的改正数用观测值的改正数来计算观测值的中误差用观测值的改正数来计算观测值的中误差i i= =l li i-X-Xv vi i=L-=L-l li ii i+v+vi i=L-X=L-X= =i i=(L-X)-v=(L-X)-vi i平方后求和得平方后求和得： =n(L-X)n(L-X)2 2-2(L-X)v+vv-2(L-X)v+vv6-4 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值次序次序观测值观测值l改正数改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11L=123.4520406-5 权权 权的概念权的概念现有三组观测值，均为等精度观测现有三组观测值，均为等精度观测A组：组： 123.34, 123.39, 123.35； LA=123.360 B组：组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32; LB=123.333 C组：组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32; LC=123.356 6-5 权权权的概念权的概念显然有：显然有：观测值观测值L LA A, L, LB B, L, LC C的权分别为的权分别为p pA A, , p pB B, , p pC C权只有相对意义权只有相对意义6-5 权权权的概念权的概念权与中误差的关系权与中误差的关系 设每次丈量的中误差为设每次丈量的中误差为m m，则可以用误差传播定理求出则可以用误差传播定理求出每组平均值的中误差每组平均值的中误差同理：同理：权与中误差的平方成反比权与中误差的平方成反比 ! 把把权权等于等于1 1的中误差叫的中误差叫单位权单位权中误差中误差, ,常用常用m m0 0或或来表示来表示5-5 权权权的概念权的概念权与中误差的关系权与中误差的关系加权算术平均值及其中误差加权算术平均值及其中误差 设对某一未知量进行了设对某一未知量进行了n n次非等精度观测次非等精度观测, ,观测值观测值为为l l1 1, l, l2 2, , ,l ln n, ,其相应的权为其相应的权为p p1 1, p, p2 2, , ,p pn n, ,则该则该未知量的最可靠值便是该观测值的未知量的最可靠值便是该观测值的加权算术平均值加权算术平均值本章作业本章作业教材第教材第103103页页思考题思考题3 3、7 7题题习题习题1 1、3 3题题