一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结第三节第三节 三重积分的三重积分的 计算计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义三重积分的几何意义三重积分的几何意义三重积分的性质三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质中值定理中值定理:在有界闭域在有界闭域 上连续上连续, ,V V 为为 的的体积体积, , 则存在则存在使得使得直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分如图，如图，1坐标面投影法（先后）坐标面投影法（先后） 得得注意注意其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1: 计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .解解:面及平面面及平面解解解解如图，如图，解解原式原式补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定： 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为解解知交线为知交线为四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，解解解解注：注：三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标思考题思考题选择题选择题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案