第七章第七章 状态空间描述法状态空间描述法 7.1 7.1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 7.2 7.2 状态方程求解状态方程求解 7.3 7.3 可控性与可观测性可控性与可观测性7.4 7.4 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器End End 控制理论的发展控制理论的发展经典控制论：经典控制论：现代控制论：现代控制论：大系统理论、智能控制理论：大系统理论、智能控制理论：时间：本世纪时间：本世纪30-50年代年代对象：线性定常，单输入输出系统对象：线性定常，单输入输出系统方法：传递函数，频域特性方法：传递函数，频域特性时间：本世纪时间：本世纪50-70年代年代对象：时变、离散、非线性的多输入输出系统对象：时变、离散、非线性的多输入输出系统方法：时域，线性代数，状态空间方法：时域，线性代数，状态空间时间：本世纪时间：本世纪60年代末年代末-今今对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学现代控制论的现代控制论的五个分支：五个分支：建模和系统辨识建模和系统辨识最优滤波理论最优滤波理论最优控制最优控制自适应控制自适应控制线性系统理论线性系统理论现代控制论现代控制论VS经典控制论经典控制论特特 点点已工程化，直观，具体，已工程化，直观，具体，精度一般精度一般已规范化，精度高，有标已规范化，精度高，有标准的算法程序准的算法程序控制器控制器以模拟硬件为主以模拟硬件为主以单片机、微处理器，软以单片机、微处理器，软件为主件为主结构图结构图经经 典典现现 代代时时 间间1940-1960年年1960年至现在年至现在数学模型数学模型传递函数、微分方程传递函数、微分方程传递矩阵、状态方程传递矩阵、状态方程数学工具数学工具常微分方程、复变函数、常微分方程、复变函数、Laplace变换等变换等矩阵理论、泛函分析、矩阵理论、泛函分析、概率统计等概率统计等应用范围应用范围单输入单输出线性定常单输入单输出线性定常连续、离散时变集中参连续、离散时变集中参数系统数系统多输入多输出连续、离多输入多输出连续、离散时变集中参数系统散时变集中参数系统应用情况应用情况极为普遍极为普遍范围广范围广现代控制论与经典控制论的区别现代控制论与经典控制论的区别经典经典现代现代系统的外部描述系统的外部描述传递函数传递函数系统的内部描述系统的内部描述状态空间描述状态空间描述经典控制论：用传递函数表述系统输入与输出之间的关系经典控制论：用传递函数表述系统输入与输出之间的关系现代控制论：现代控制论：用状态方程表述输入与状态之间的关系用状态方程表述输入与状态之间的关系1.1.状态：状态： 系系统的状的状态就是系就是系统过去、去、现在和将来的状况。在和将来的状况。 系统的状态可以定义为信息的集合。系统的状态可以定义为信息的集合。 表征系统运动的信息。表征系统运动的信息。2.2.状态变量状态变量系系统统的的状状态态变变量量是是指指可可以以完完全全表表征征系系统统运运动动状状态态的的最最少少个个数的一组变量数的一组变量x1、x2、xn, ,并且满足下列两个条件并且满足下列两个条件: :(1)在在任任何何时时刻刻t=t0, ,这这组组变变量量的的值值x1(t0)、x2(t0)、xn(t0)都表示系统在该时刻的状态都表示系统在该时刻的状态; ;(2)当当系系统统在在tt0的的输输入入和和上上述述初初始始状状态态确确定定的的时时候候, ,状状态态变变量应完全能表征系统在将来的行为。量应完全能表征系统在将来的行为。7.1.状态和状态空间状态和状态空间 1.1.先看一个例子先看一个例子先看一个例子先看一个例子： 例例7.1 试建立图示电路的数学模型。试建立图示电路的数学模型。RLCi(t)ur(t)uc(t)思考和第二章思考和第二章建模的区别建模的区别“经典经典”是是高阶微分高阶微分，一个方程一个方程，无中间变量，无中间变量“现代现代”是是一阶微分一阶微分，一个方程组一个方程组，有中间变量，有中间变量经典控制论中：经典控制论中：n阶系统阶系统n阶微分方程阶微分方程只是输入与输出的关系，无中间变量只是输入与输出的关系，无中间变量现代控制论中：现代控制论中：n阶系统阶系统n个一阶微分方程个一阶微分方程体现输入，输出与各个中间变量的线性关系体现输入，输出与各个中间变量的线性关系在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道 uc(t)和和i(t)的变化特性，则的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故其他变量的变化均可知道。故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记 转换成矩阵方程转换成矩阵方程一阶矩阵微分方一阶矩阵微分方程式程式现代控制论：用状态方程表述输入与状态之间的关系现代控制论：用状态方程表述输入与状态之间的关系求上述求上述RLC电路的状态空间表达式电路的状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式四四.状态空间表达式状态空间表达式1.单输入单输出线性定常连续系统单输入单输出线性定常连续系统 SISO系统中，系统中，y和和u是标量是标量MIMO系统中，系统中，y和和u是向量是向量所有状态分量的一阶导所有状态分量的一阶导是其他状态分量与输入是其他状态分量与输入的线性组合的线性组合2.一般线性系统一般线性系统状态空间表达式（状态空间表达式（p输入输入q输出）输出）3.线性线性定常定常系统系统状态空间表达式状态空间表达式7.7.状态空间表达式状态空间表达式若系统是若系统是rmn维空间维空间, ,即即若是线性系统若是线性系统, ,可写成可写成A- -系统矩阵系统矩阵 n nB- -控制矩阵控制矩阵 n rC- -输出矩阵输出矩阵 m nD- -直接传递矩阵直接传递矩阵 m r 式中式中, , （t 域）域） （ 域）域）uxyBCDAb)结构图结构图系统系统A输入输入u输出输出y状态状态X a)结构关系图结构关系图DBC不管不管X再怎么状态改变，输出只与状态再怎么状态改变，输出只与状态变量有关，与状态变量的改变无关变量有关，与状态变量的改变无关五五.线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立1.方法方法:机理分析法、实验法机理分析法、实验法 2.线性定常单变量系统线性定常单变量系统(单输入单输入单输出系统单输出系统)(1)微分方法微分方法 在输入量中不含有导数项时：在输入量中不含有导数项时：微分方程有几阶，就微分方程有几阶，就有几个状态变量有几个状态变量写成向量写成向量-矩阵形式矩阵形式例例7.4已知系统微分方程为已知系统微分方程为 列写系统的状态空间表达式。列写系统的状态空间表达式。解：解：选选反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数输入量中含有导数项时：输入量中含有导数项时：转为传递函数法转为传递函数法设控制系统由下列设控制系统由下列 n n 阶微分方程来描述阶微分方程来描述这时，不能简单地把这时，不能简单地把 选作状态变量，选作状态变量，即不能采即不能采用上述的方法用上述的方法。因为采用上述方法化成一阶微分方程组。因为采用上述方法化成一阶微分方程组 这样，最后一个方程中包含了输入信号这样，最后一个方程中包含了输入信号 的各阶导数，的各阶导数，系统将得不到唯一解。系统将得不到唯一解。输入量中含有导数项时：输入量中含有导数项时：转为传递函数法转为传递函数法手段：引入变量，改变方程组形式手段：引入变量，改变方程组形式目标：生成的状态方程组右边不能有目标：生成的状态方程组右边不能有u的导数的导数方法：方法：可控规范型实现可控规范型实现能观测规范型实现能观测规范型实现对角线规范实现对角线规范实现约当规范型实现约当规范型实现不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的表示方式不同的表示方式可控规范型实现可控规范型实现分子阶数小于分子阶数小于分母阶数分母阶数传递函数传递函数多项式表多项式表达形式达形式反反拉拉普普拉拉斯斯分母首项系数为分母首项系数为1和前面和前面一致一致令状态变量令状态变量B）bn0分子分母同阶分子分母同阶与上面做法相同与上面做法相同例例7.5已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 试求其能控规范型实现试求其能控规范型实现解解:由由bn=b3=0,对照标准型对照标准型,可得实现为可得实现为例例7.67.6 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试求其能控规范型实现试求其能控规范型实现解解:由由bn=b30,对照标准型对照标准型总结：能控标准型实现总结：能控标准型实现写成状态方程和输出方程写成状态方程和输出方程正常情况下，正常情况下，nm。分母首位系分母首位系数为数为1（如果（如果m=n）例例 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试求出其对应的能控标准型。试求出其对应的能控标准型。解解: :首先把首先把G(s)分母中分母中s最高次项系数变成最高次项系数变成1, ,用用2除除G(s)的分母与分子的分母与分子, ,得得直接写出系统的能控标准型直接写出系统的能控标准型: :与能控规范型关系：与能控规范型关系：A*=AT，B*=CT，C*=BT 能观测规范型实现能观测规范型实现能控标准型和能观测标准型：其系能控标准型和能观测标准型：其系数矩阵互为转置关系数矩阵互为转置关系, ,而前者的而前者的b为为后者的后者的CT, ,前者的前者的CT为后者的为后者的b。具具有这种结构关系的称为互有有这种结构关系的称为互有对偶对偶关关系。系。例例7.7已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 试求其能观测规范型实现。试求其能观测规范型实现。 反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数对角线规范实现对角线规范实现 -无重极点时重点在于重点在于，与传递函数系数之间的关系与传递函数系数之间的关系反拉式变换反拉式变换解：解：则对角线规范型实现为则对角线规范型实现为的对角线规范型实现的对角线规范型实现例例7.8求求约当规范型实现约当规范型实现-特征方程有重根时特征方程有重根时例子例子对角块对角块约当块约当块例例7.9由状态空间表达式求传递函数由状态空间表达式求传递函数已知已知其取拉式变换：其取拉式变换：消去中间消去中间变量变量X例如：例如：某系某系统的状的状态方程方程为：求其传递函数求其传递函数7.2 7.2 状态方程求解状态方程求解线性定常连续系统线性定常连续系统1.齐次状态方程的解齐次状态方程的解（1 1） 幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法设解为：设解为： 拉氏变换法拉氏变换法由由两边取拉氏变换，两边取拉氏变换，得得SX(s)-X(0)=AX(s)(SIA)X(s)=X(0)X(s)=(SIA)-1.X(0)两边取拉氏反变换两边取拉氏反变换x(t)=L-1X(s)=L-1(SI-A)-1X(0)=L-1(SI-A)-1X(0)比较前式，有比较前式，有eAt=L-1(SI-A)-1 状态转移矩阵的运算状态转移矩阵的运算性质性质性质性质(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+(0)=I初始状态初始状态 (2)(t1t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)-线性关系线性关系-1(t)=(-t)，-1(-t)=(t)-可逆性可逆性x(t)=(t-t0)x(t0)x(t0)=(t0)x(0),则则x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0)=(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A可分阶段转移可分阶段转移(t)k=(kt)e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)e(A+B)teAt.eBteBt.eAt(ABBA)引入非奇异变换引入非奇异变换后，后，两种常见的状态转移矩阵两种常见的状态转移矩阵 例例7.13设有一控制系统，其状态方程为设有一控制系统，其状态方程为 在在t0=0时，状态变量的初值为时，状态变量的初值为x1(0)x2(0)x3(0),试求该方程的解。试求该方程的解。 试求试求A及及(t)。例例7.14设系统状态方程为设系统状态方程为解方程组得，解方程组得，11(t)=2e-te-2t,12(t)=2e-t2e-2t21(t)=-e-t+e-2t,22(t)=-e-t+2e-2t例例7.15设系统运动方程为设系统运动方程为式中式中a、b、c均为实数，试求：均为实数，试求：求系统状态空间表达式。求系统状态空间表达式。求系统状态转移矩阵。求系统状态转移矩阵。 2.非齐次状态方程非齐次状态方程的解的解直接法（积分法）直接法（积分法） (2)拉氏变换法拉氏变换法sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则则x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s)(由由eAt=-1(sI-A)-1可得可得)例例7.16在上例中，当输入函数在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态时，求系统状态方程的解。方程的解。例例7.17设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行输入与输出的时域分析所示。试用状态空间法对系统进行输入与输出的时域分析 。解：解：由图由图32/s1- 电动伺服阀电动伺服阀放大器放大器油缸油缸位移传感器位移传感器u( (s) )y( (s) )7.3 7.3 可控性与可观测可控性与可观测性性本节本节主要内容主要内容：线性线性定常定常系统的可控性的系统的可控性的定义定义及及判别判别线性线性定常定常系统的可观测性的系统的可观测性的定义定义及及判别判别可控性与可观测性的可控性与可观测性的对偶原理对偶原理可控标准型和可观测标准型可控标准型和可观测标准型7.3 7.3 可控性与可观测可控性与可观测性性能控性和能观性是现代控制论中的两个重要的基本概念能控性和能观性是现代控制论中的两个重要的基本概念现代控制论建立在状态空间描述的基础上现代控制论建立在状态空间描述的基础上状态方程：输入状态方程：输入u(t)引起的状态引起的状态x(t)的变化过程的变化过程输出方程：状态变化对输出的影响输出方程：状态变化对输出的影响能控性：分析能控性：分析u(t)对状态对状态x(t)的控制能力的控制能力能观性：分析能观性：分析y(t)对状态对状态x(t)的反应能力的反应能力-（控制问题）（控制问题）-（估计问题）（估计问题）在在经经典典控控制制论论中中，用用传传递递函函数数描描述述系系统统的的输输入入与与输输出出，只只要要系系统统是是稳稳定定的的因因果果系系统统，输输出出就就可可以以收收控控制制且且随随时时可可测测，所所以以，对对经经典典控控制制论论，不不存存在在可观和可控的讨论。可观和可控的讨论。在现代控制论中，用状态方程描述系统，输入和输出成了外部变量，而在现代控制论中，用状态方程描述系统，输入和输出成了外部变量，而状态成了内部变量，这就存在系统内的所有状态时候可以受输入影响，状态成了内部变量，这就存在系统内的所有状态时候可以受输入影响，和是否可以由输出反映状态的问题。即可控性和可观性的问题。和是否可以由输出反映状态的问题。即可控性和可观性的问题。例：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。例：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。 可以控制可以控制 无法反映无法反映 系统系统完全可控！完全可控！ 系统系统不完全可观不完全可观！设线性定常连续系统的状态空间表达式为：设线性定常连续系统的状态空间表达式为： 如果存在一个控制如果存在一个控制u u( (t t) )，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔 t to o, ,t tf f 内，内，使系统从其一初态使系统从其一初态x x( (t to o) )转移到任意指定的终态转移到任意指定的终态x x( (t tf f) ) ，则称，则称此状态此状态x x( (t to o) )是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。一个状态变量不可控，则系统不可控）。二、定义二、定义1.可控性可控性定义定义2 2.可观测性可观测性定义定义 系统在稳定输入系统在稳定输入u u( (t t) )作用下，对任意初始时刻作用下，对任意初始时刻t to o ，若能，若能在有限时间间隔在有限时间间隔 t to o, ,t tf f 之内，根据从之内，根据从t to o到到t tf f对系统输出对系统输出y(t)y(t)的观测值和输入的观测值和输入u(t)u(t)，唯一地确定系统在，唯一地确定系统在t to o时刻的状态时刻的状态x x( (t to o) ) ，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。v线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是必须满秩。即必须满秩。即（n为系统维数）为系统维数）判据一判据一：用可控规范型：用可控规范型三、可控性与可观测性判据三、可控性与可观测性判据 = = - - - - -= =1000B,aaaa1000001000010An210LLLMMMLLv构造可控性判别阵构造可控性判别阵：试判别其状态的可控性。试判别其状态的可控性。解：解：例例7.18设系统可控规范型状态方程为：设系统可控规范型状态方程为：系统可控！系统可控！例例7.19已知三阶二输入系统状态方程已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的试判别其状态的可控性。可控性。解：解：不可控！不可控！秩为秩为2，小于系统维度，小于系统维度设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统的对角线规范型方程：是，系统的对角线规范型方程：中，中，阵不包含元素全为零的行。阵不包含元素全为零的行。判据一判据一：用对角阵规范性判定可控性：用对角阵规范性判定可控性例例7.20试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。可控性。判据三：判据三：例例7.21试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。可控性。中，与每个约当小块中，与每个约当小块的的最后一行最后一行相对应相对应的的阵阵中的所有那些行，其元素不全为零。中的所有那些行，其元素不全为零。约当规范型约当规范型 判据一判据一可观测规范型可观测规范型:2.可观测性判据可观测性判据必须满秩，即必须满秩，即rankQo=n（n为系统维数）为系统维数）线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵可观测性矩阵:构造可观测性判定矩阵构造可观测性判定矩阵例例7.22已知系统的已知系统的A,C阵如下，试判断其可观性。阵如下，试判断其可观性。例例9.23试判别如下系统的可观测性。试判别如下系统的可观测性。解：解：解：解：秩为秩为2，等于系统维度，等于系统维度的矩阵的矩阵中不包含元素全为零的列。中不包含元素全为零的列。设设线线性性定定常常连连续续系系统统具具有有不不相相等等的的特特征征值值,则则其其状状态态可可观观测的充要条件是系统的对角线规范型测的充要条件是系统的对角线规范型:判据二判据二:对角阵规范型判定对角阵规范型判定例例7.24试判别以下系统的状态可观测性试判别以下系统的状态可观测性.判据三判据三:中中,与每个约当块与每个约当块首行首行相对应的矩阵相对应的矩阵中的中的那些列那些列,其元素不全为零。其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征如果两个约当块有相同的特征值值,此结论不成立此结论不成立)。 约当规范型约当规范型例例7.25试判别下列系统的状态可观测性。试判别下列系统的状态可观测性。 五、对偶原理五、对偶原理设系统设系统S1(A1,B1,C1)与系统与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则互为对偶系统，则:若系统若系统S1(A1,B1,C1)可控可控可控可控，则系统，则系统S2(A2,B2,C2)可观测可观测可观测可观测；若系统若系统S1(A1,B1,C1)可观测可观测可观测可观测，则系统，则系统S2(A2,B2,C2)可控可控可控可控；证明：证明：本本 节节 总结总结1.系统状态空间表达式系统状态空间表达式2.从系统的传递函数建立状态空间表达式从系统的传递函数建立状态空间表达式3.从系统的状态空间表达式建立系统传递函数从系统的状态空间表达式建立系统传递函数4.从系统的状态空间表达式分析系统的能控性和能观性从系统的状态空间表达式分析系统的能控性和能观性