第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想2定积分有着广泛的用途定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便先介绍建立定积分的一种适用的简便微元法微元法( (元素法元素法).).现介绍它在现介绍它在几何、物理上的简单应用几何、物理上的简单应用, 培养用数学知识培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力来分析和解决实际问题的能力.方法方法 - 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想3问题的提出问题的提出小结小结 思考题思考题7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想4究竟哪些量可用定积分来计算呢究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题首先讨论这个问题. 结合曲边梯形面积的计算结合曲边梯形面积的计算一、问题的提出一、问题的提出可知可知, 用定积分计算的量用定积分计算的量应具有如下应具有如下及定积分的定义及定积分的定义成许多部分区间成许多部分区间,(即把即把a, b分分两个特点两个特点:(1) 所求量所求量I 即与即与a, b有关有关;(2) I 在在a, b上具有可加性上具有可加性.则则I 相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量,而而I 等于所有部分量之和等于所有部分量之和) 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想5按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、有了有了牛顿牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨公式公式后后,对应用问题来说对应用问题来说关键关键就在于如何就在于如何方法方法简化步骤简化步骤被积表达式被积表达式.得到得到 这个复杂的极限运算这个复杂的极限运算问题得到了解决问题得到了解决.是所求量是所求量 I 的微分的微分于是于是, 称称为量为量 I 的的微元微元或或元素元素. .取近似、取近似、 求和、求和、 取极限取极限 ”,写出写出 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想6这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为元素法元素法.简化步骤简化步骤求出求出或或(1)在在a, b上任取一小区间上任取一小区间x, x + dx,x, x + dx上所求量上所求量I的近似值的近似值(也是它的微分也是它的微分)微元法微元法 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想7这个小区间上所这个小区间上所对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积得得 曲边梯形面积的积分式也可以用曲边梯形面积的积分式也可以用微元法微元法 建立如下建立如下.地等于长为地等于长为f (x)、宽为、宽为dx 的的小矩形面积小矩形面积, 故有故有近似近似轴围成轴围成.在在a, b上任取一小区间上任取一小区间设曲边梯形是由设曲边梯形是由y = f (x), 直线直线x = a, x = b与与x面积微元面积微元 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想8微元法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.(注意元素法的本质注意元素法的本质)二、小结二、小结 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想9思考题思考题何为定积分的微元法？何为定积分的微元法？微元法使用的条件微元法使用的条件和程序是怎样的和程序是怎样的?