141 概述概述一一. .动荷载的定义动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化; ; ; ;在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷载。 静荷只与作用位置有关，而静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。动荷是坐标和时间的函数。二二. .动荷载的分类动荷载的分类动荷载动荷载动荷载动荷载确定确定确定确定不确定不确定不确定不确定风荷载风荷载风荷载风荷载地震荷载地震荷载地震荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载周期周期周期周期非周期非周期非周期非周期简谐荷载简谐荷载简谐荷载简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载冲击荷载冲击荷载冲击荷载冲击荷载突加荷载突加荷载突加荷载突加荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载一一一一. . . . 自由度的定义自由度的定义自由度的定义自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。142 结构振动的自由度结构振动的自由度二二二二. . . . 自由度的确定自由度的确定自由度的确定自由度的确定 1) 1) 1) 1) 平面上的一个质点平面上的一个质点平面上的一个质点平面上的一个质点W=2W=22) 2) 2) 2) W=2W=2弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度3) 3) 3) 3) 计轴变时计轴变时计轴变时计轴变时W=2W=2不计轴变时不计轴变时不计轴变时不计轴变时W=1W=1为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。计轴向变形。计轴向变形。计轴向变形。4) 4) 4) 4) W=1W=15) 5) 5) 5) W=2W=2自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的2 2 2 2倍。倍。倍。倍。6) 6) 6) 6) W=2W=27) 7) 7) 7) W=1W=18) 8) 8) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体W=3W=39)9)9)9)弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体W=3W=3W=2W=210) 10) 10) 10) W=1W=111) 11) 11) 11) 12) 12) 12) 12) W=13W=13自由度为自由度为自由度为自由度为1 1 1 1的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；自由度大于自由度大于自由度大于自由度大于1 1 1 1的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系; ; ; ;自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。143 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动一、不计阻尼自由振动一、不计阻尼自由振动一、不计阻尼自由振动一、不计阻尼自由振动自由振动自由振动-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振动中无动荷载作用的振动。在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。1.1.运动方程及其解运动方程及其解 阻尼阻尼阻尼阻尼-耗散能量的作用。耗散能量的作用。耗散能量的作用。耗散能量的作用。m mEIl令令令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程2.2.振动分析振动分析其通解为其通解为由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. .自振周期自振周期自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) )与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性A 振幅振幅初相位角初相位角3.3.自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算利用计算公式利用计算公式算例算例例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .m mEIlEIl=1=1ll/2l解解: :例二例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .=1解解: :m mEIllm/2EIEIll例三例三. .质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. .解解: :EIkl1k1.1.1.1.阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力 阻尼阻尼阻尼阻尼: : : :使振动衰减的作用使振动衰减的作用使振动衰减的作用使振动衰减的作用. . . . 阻尼产生原因阻尼产生原因阻尼产生原因阻尼产生原因: : : : 材料的内摩擦材料的内摩擦材料的内摩擦材料的内摩擦, , , ,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. . . .c-阻尼系数 二、阻尼对振动的影响二、阻尼对振动的影响二、阻尼对振动的影响二、阻尼对振动的影响阻尼力：阻尼力：阻尼力：阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。2.2.2.2.计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动 1 1 1 1）. . . .运动方程及其解运动方程及其解运动方程及其解运动方程及其解m m令令令令运动方程运动方程运动方程运动方程设设设设特征方程特征方程特征方程特征方程2 2 2 2）. . . .振动分析振动分析振动分析振动分析根为根为根为根为令令令令方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为由初始条件由初始条件由初始条件由初始条件不振动不振动不振动不振动-临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数-阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比不振动不振动不振动不振动小阻尼情况临界阻尼情况大阻尼情况周期延长周期延长周期延长周期延长计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼例例例例: : : : 对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验. . . .用钢用钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm, , , ,用用用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN, , , ,将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断, , , ,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动. . . .经经经经4 4 4 4周期周期周期周期, , , ,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒, , , ,振幅振幅振幅振幅降为降为降为降为1 1 1 1cmcm. . . .求求求求 1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率 利用此式利用此式利用此式利用此式, , , ,通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比. . . .上式也可写成上式也可写成上式也可写成上式也可写成6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解: : : :1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg,800kg,800kg,800kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多少为多少为多少1.1.运动方程及其解运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程一、不考虑阻尼一、不考虑阻尼m mEIlP(t)P(t)P -P -荷载幅值荷载幅值-荷载频率荷载频率运动方程运动方程或或通解通解其中其中设设代入方程代入方程代入方程代入方程, , , ,可得可得可得可得通解为通解为144 144 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1 1 1 11 1 1 1-频比频比频比频比2.2.纯受迫振动分析纯受迫振动分析m mEIlP(t)P(t)-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移-动力系数动力系数动力系数动力系数-稳态振幅稳态振幅稳态振幅稳态振幅若要使振幅降低若要使振幅降低若要使振幅降低若要使振幅降低, , , ,应采取何种措施应采取何种措施应采取何种措施应采取何种措施? ? ? ?通过改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅. . . .增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数-共振共振共振共振为避开共振为避开共振为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于一般应大于一般应大于1.251.251.251.25或小于或小于或小于或小于0.75.0.75.0.75.0.75.应使频比减小应使频比减小应使频比减小应使频比减小. . . .增加结构自频增加结构自频增加结构自频增加结构自频. . . .增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量. . . .应使频比增大应使频比增大应使频比增大应使频比增大. . . .减小结构自频减小结构自频减小结构自频减小结构自频. . . .减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量. . . .例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知3.3.动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤: : : : 1 1 1 1）. . . .计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；位移、内力；位移、内力；位移、内力； 2 2 2 2）. . . .计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数； 3 3 3 3）. . . .将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。 m mEIEIl lPl/4解解. . Pl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: :解解. . Ql l/2l l/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩重力引起的位移重力引起的位移l l/4振幅振幅动弯矩幅值动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大弯矩跨中最大位移跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 m m=1=1令令P仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 解解: :例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知同频同步变化同频同步变化m mEIl/2l/2P PP P=1解解: :例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅P动弯矩幅值图动弯矩幅值图m mlm mkllAPo二二. .考虑阻尼考虑阻尼1.1.运动方程及其解运动方程及其解设设或或通解通解初位移、初速度引初位移、初速度引起的自由振动分量起的自由振动分量动荷载激起的按结构自振动荷载激起的按结构自振频率振动的分量频率振动的分量,称为称为伴伴随自由振动随自由振动纯受迫振动纯受迫振动2.2.阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响在平稳阶段在平稳阶段随随 增大而减小增大而减小阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著, ,在共振区外可不计阻尼在共振区外可不计阻尼. .的最大值并不发生在的最大值并不发生在位移滞后于荷载位移滞后于荷载3.3.动内力、动位移计算动内力、动位移计算除动力系数计算式不同外，除动力系数计算式不同外，其它过程与无阻尼类似。其它过程与无阻尼类似。1 1 1 11 1 1 1例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为P=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。解：解：m m将荷载看成是连续作用的一系将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。荷载引起的位移。一一. .瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应1.1.t=0 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量m m2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量 145 145 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动二二. .动荷载的位移反应动荷载的位移反应m m-杜哈美积分杜哈美积分计阻尼时计阻尼时若若t=0 时体系有初位移、初速度时体系有初位移、初速度例例. .求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解：解：动力系数为动力系数为 2 2146 多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确定体系的动力特性. .可不计阻尼。可不计阻尼。一一. .运动方程及其解运动方程及其解或或m m1m m2运动方程运动方程设方程的特解为设方程的特解为代入方程代入方程, ,得得-频率方程频率方程m m1m m2解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. .将将 频率代入振型方程频率代入振型方程特解特解1 1特解特解2 2通解通解二二. .频率与振型频率与振型体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点1)1)各质点同频同步各质点同频同步; ;2)2)任意时刻任意时刻, ,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变定义定义: :体系上所有质量按相同频率作自由振动时体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。的振动形状称作体系的主振型。几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. .3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. .5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. .4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 的的N,N,从小从小到大排列到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高阶频率阶频率. .将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的. .振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时m m1m m2振型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移三三. .求频率、振型例题求频率、振型例题例一例一. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解令令1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型对称体系的振型分对称体系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型1 11 1第二振型第二振型对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动=1=1l/9解解: :例二例二. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :m m1m m21 11.6181.6181 10.6180.618列运动方程例题列运动方程例题例例3.3.m mEIlEIl1例例4.4.m mEIl/2EIl/21