九年级数学上册华师第23章 图形的相似23.4中位线1、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比的比、周长的比 都等于相似比。都等于相似比。3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。、相似三角形的面积比等于相似比的平方。回忆相似三角形有哪些性质？相似三角形有哪些性质？1、平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。2、两角分别相等的两个三角形相似。3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。4、三边成比例的两个三角形相似。相似三角形有哪些判定方法？CBAED 连接三角形两边连接三角形两边中点的线段中点的线段, ,叫做叫做 三角形的中位线三角形的中位线思考：一个三角形思考：一个三角形有几条中位线呢？有几条中位线呢？三条三条FAF是是ABC的中线的中线DE是是 ABC 的中位线的中位线CBAFED三角形中位线要和我们曾经学过的三角形的哪个元素区分开来？中线1、画ABCABC；2、画ABCABC的中位线DE；3、猜想DE和BC之间有什么关系？为什么？猜想：猜想：DEBCDEBC，DEDE BCBC三角形的中位线有哪些性质呢？三角形的中位线有哪些性质呢？ 如图，如图， ABC 中，点中，点D、E分别是分别是AB与与AC的中点。的中点。求证：求证：DEBCDEBC，DEDE BC BC三角形中位线三角形中位线平行于第三边平行于第三边，并且，并且等于第等于第三边的一半三边的一半。三角形中位线定理有两个结论：三角形中位线定理有两个结论：（1）表示位置关系）表示位置关系-平行于第三边；平行于第三边；（2）表示数量关系）表示数量关系-等于第三边的一半。等于第三边的一半。应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个. 点点D、E分别是分别是AB与与AC的中点的中点 DEBCDEBC，DEDE BCBC中位线性质的常见表达形式： DE是是 ABC 的中位线 DEBCDEBC，DEDE BCBC如图如图1：在：在ABC中，中，DE是中位线是中位线 （1）若）若ADE=60， 则则B= 度，为什么？度，为什么？ （2）若）若BC=8cm， 则则DE= cm，为什么？，为什么？ 如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则则DEF的周长的周长= cm图图2 260412A AB BC C图图1 1D D E EB BA AC CD D E EF F5 54 43 3图图2 2B BA AC CD D E EF F实际问题：实际问题： A、B两点两点被岛屿隔开，被岛屿隔开，如何才能知道如何才能知道它们之间的距它们之间的距离呢？离呢？ABCMN（2）并分别找出并分别找出A C和和BC的中点的中点M、N 。（3）连结连结MN ，并测量，并测量MN的长度的长度。解决方案解决方案（4）因此）因此MN是是 ABC的中位线，根据三角形中位线定理的中位线，根据三角形中位线定理 AB=2MN。例例1 1 求证：三角形的一条中位线与第三求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分边上的中线互相平分已知：如图，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分BACDEF例例1 1 求证：三角形的一条中位线与第三求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分边上的中线互相平分已知：如图，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分证明证明 连结连结DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理可得：EFAB四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 例例2 2如图，如图，ABCABC中，中，D D、E E分别是边分别是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：G例例2 2如图，如图，ABCABC中，中，D D、E E分别是边分别是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：证明证明 : :连结连结ED， D、E分别是边BC、AB的中点，DEAC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），的一半）， ACGDEG， 如果在图如果在图24244 44 4中，取中，取ACAC的中点的中点F F，假设，假设BFBF与与ADAD交于交于GG，如图，如图24.4.524.4.5那么我们同理有：那么我们同理有：所以有：所以有：即两图中的点即两图中的点G G与与GG是重合的是重合的 三角形三条边上的中线交三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的于一点，这个点就是三角形的重心重心，重心与一边中点的连线，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的的长是对应中线长的 。