周培源力学竞赛辅导1 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1-2 基本概念基本概念（一）广义力与广义位移（用（一）广义力与广义位移（用F 表示）广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力广义位移是广义力作功时所对应的位移（线位移与角位移）广义位移是广义力作功时所对应的位移（线位移与角位移）（二）广义应力与广义应变（二）广义应力与广义应变广义应力广义应力正应力与切应力正应力与切应力广义应变广义应变线应变与切应变线应变与切应变（三）虚位移（三）虚位移满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移能量原理能量原理例例1 判断下列各个位移是否是虚位移判断下列各个位移是否是虚位移功和余功互补，为常力作功功和余功互补，为常力作功（四）功和余功（四）功和余功（五）应变能和余应变能（五）应变能和余应变能应变能和余应变能互为余函数应变能和余应变能互为余函数例例2 杆件的应变能和余应变能的计算杆件的应变能和余应变能的计算（六）虚功（六）虚功 外力虚功与内力虚功外力虚功与内力虚功力在虚位移上作的功力在虚位移上作的功虚功虚功例例3 虚功虚功能量原理能量原理1-3 互等定理互等定理1） 功的互等定理功的互等定理两个不同的广义力系两个不同的广义力系 作用在作用在相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论力系力系 在力系在力系 引起的位移上所做的功，等于力系引起的位移上所做的功，等于力系 在在力系力系 引起的位移上所做的功引起的位移上所做的功（见图）（见图）能量原理能量原理1-3 互等定理互等定理2） 位移互等定理位移互等定理两个不同的广义力（各自只有两个不同的广义力（各自只有1个力）个力） 作用在作用在 相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论广义力广义力 在广义力在广义力 引起的位移上所做的功，等于广义力引起的位移上所做的功，等于广义力 在广义力在广义力 引起的位移上所做的功，若引起的位移上所做的功，若广义力广义力 在点在点 i引起的与引起的与 相对应的广义位移，在数值上等相对应的广义位移，在数值上等于广义力于广义力 在点在点 j引起的与引起的与 相对应的广义位移相对应的广义位移能量原理能量原理1-3 互等定理互等定理2） 位移互等定理（图）位移互等定理（图）广义力广义力 在点在点 i引起的与引起的与 相对应的广义位移，在数值上等相对应的广义位移，在数值上等于广义力于广义力 在点在点 j引起的与引起的与 相对应的广义位移相对应的广义位移若广义力若广义力 称为广义单位力，称为广义单位力， 则则能量原理能量原理1-4 用于弹性体的虚位移原理用于弹性体的虚位移原理对于处于平衡状态的弹性体，自平衡位置令其有一微小对于处于平衡状态的弹性体，自平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移所做的功的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移所做的功（外力虚功），等于弹性体的内力在相应的虚位移所做（外力虚功），等于弹性体的内力在相应的虚位移所做的功（内力虚功）。即的功（内力虚功）。即弹性体平衡弹性体平衡弹性体平衡弹性体平衡理论力学的虚位移原理：理论力学的虚位移原理：具有双面、定常、理想约束的具有双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：主动力质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：主动力系在质点系的任意虚位移上所做的元功之和等于零。即系在质点系的任意虚位移上所做的元功之和等于零。即能量原理能量原理不同的虚位移模式：不同的虚位移模式：1-4 用于弹性体的虚位移原理用于弹性体的虚位移原理 可以是与真实位移无关的任意位移可以是与真实位移无关的任意位移 可以是真实位移的增量，此时，外力虚功全部转变为可以是真实位移的增量，此时，外力虚功全部转变为 应变能增量，即应变能增量，即弹性体平衡弹性体平衡 可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全 部真实位移的增量部真实位移的增量（见图）（见图） 可以是另一个与之相关系统的真实位移可以是另一个与之相关系统的真实位移（见图）（见图）注意：注意：以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系能量原理能量原理系系统统应应变变能能对对某某一一真真实实位位移移的的偏偏导导数数，在在数数值值上上等等于于在在这这一一真真实实位位移移处处所所施施加加的的与与之之相相对对应应的的外外力力1-5 虚位移原理的应用虚位移原理的应用例例4 EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线例例5 用虚移原理导出卡式第一定理用虚移原理导出卡式第一定理需要指出，以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定需要指出，以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定理，均以梁的弯曲为例；其实对于任何变形均成立理，均以梁的弯曲为例；其实对于任何变形均成立能量原理能量原理1-5 虚位移原理的应用虚位移原理的应用 例例6 三铰二杆（线弹性材料）组成的结构三铰二杆（线弹性材料）组成的结构ABC，加载后，加载后不能在原来位置上保持平衡，而在变形后的位置平衡。于是不能在原来位置上保持平衡，而在变形后的位置平衡。于是二杆的受力与点二杆的受力与点B的位移有关。此时，若通过二杆的伸长变形的位移有关。此时，若通过二杆的伸长变形来确定点来确定点B的位移的位移 ，则所得到的位移与载荷不满足线性关系。，则所得到的位移与载荷不满足线性关系。若已知二杆的抗拉刚度为若已知二杆的抗拉刚度为EA，杆长为，杆长为 l，载荷为，载荷为F，试用卡式，试用卡式第一定理求解点第一定理求解点B的位移的位移。解得解得能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用 虚位移原理：虚位移原理： 虚力原理：虚力原理：是讨论弹性体变形协调的充要条件，即保持位移不变，使是讨论弹性体变形协调的充要条件，即保持位移不变，使力有一个改变，称为虚力，从而导出虚力原理应用于弹性力有一个改变，称为虚力，从而导出虚力原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第二定理。体的表达式，并由此派生出卡式第二定理。是讨论弹性体平衡的充要条件，即保持力不变，使真实是讨论弹性体平衡的充要条件，即保持力不变，使真实位移产生一虚位移，从而导出虚位移原理应用于弹性体位移产生一虚位移，从而导出虚位移原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第一定理。的表达式，并由此派生出卡式第一定理。虚力在真实位移上做的功，称为虚力在真实位移上做的功，称为虚余功虚余功。能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用1） 虚力原理的表述：虚力原理的表述：对于弹性体，保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功对于弹性体，保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功等于内虚余功，即等于内虚余功，即可用虚位移原理证明虚力原理可用虚位移原理证明虚力原理（证明过程）（证明过程）外虚余功虚力与相应的真实位移的乘积内虚余功虚力引起的内力分量与相应的真实位移的乘积能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用2） 关于虚力和虚力原理的讨论关于虚力和虚力原理的讨论 虚力是任意的，可与真实力无关，但必须满足平衡条件虚力是任意的，可与真实力无关，但必须满足平衡条件 与虚位移原理相似，只适用于小变形，与材料性能无与虚位移原理相似，只适用于小变形，与材料性能无 关，即适用于线弹性和非线弹性材料关，即适用于线弹性和非线弹性材料能量原理能量原理 虚力可以是真实力的增量，此时虚力原理变为：外虚余虚力可以是真实力的增量，此时虚力原理变为：外虚余 功等于弹性体余应变能的增量，写成功等于弹性体余应变能的增量，写成外虚余功余应变能增量1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用3） 由虚力原理推导出卡式第二定理由虚力原理推导出卡式第二定理（推导过程）（推导过程）能量原理能量原理对于线性弹性体，即应力应变满足线性关系，则有对于线性弹性体，即应力应变满足线性关系，则有卡式第二定理线性弹性体或系统的应变能对某一个力的偏导数，等于线性弹性体或系统的应变能对某一个力的偏导数，等于与该力相应的位移。与该力相应的位移。1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用例例7 能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题解除多余约束，代以解除多余约束，代以 ，并将这，并将这n个个未知力作为已知量，写出结构的应变能表达式未知力作为已知量，写出结构的应变能表达式（以弯、扭变（以弯、扭变形为例）形为例）式中式中为多余约束力为多余约束力为原主动力为原主动力1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理，可建立求解这应用卡式第二定理，可建立求解这 n个多余约束力的变形协个多余约束力的变形协调方程调方程1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题解上述解上述n个方程组，便可求出个方程组，便可求出上述上述n个方程组中，个方程组中， 是对应于刚性约束；若是对应于刚性约束；若为弹性约束，则为弹性约束，则 ，而等于已知的常量。，而等于已知的常量。1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题例例8例例91-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理应用虚位移原理和虚力原理均可以推导出单位载荷法应用虚位移原理和虚力原理均可以推导出单位载荷法一般表达式一般表达式对于线性问题对于线性问题上式对线性问题与非线性问题均成立上式对线性问题与非线性问题均成立 可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角1-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理对于线性问题对于线性问题对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）1-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理对于线性问题对于线性问题对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）计算摩尔积分的图乘法的两个前提条件计算摩尔积分的图乘法的两个前提条件能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 静力学准则静力学准则 施加微小扰动施加微小扰动 ，使刚体（弹性体，使刚体（弹性体 或结构）偏或结构）偏 离初始平衡位置（构形）；扰动解除后，刚体（弹离初始平衡位置（构形）；扰动解除后，刚体（弹 性体或结构）仍能回复到初始平衡位置（构形），性体或结构）仍能回复到初始平衡位置（构形）， 则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定 的。的。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 能量准则能量准则 在所有平衡位置（构形）中，总势能取极小者在所有平衡位置（构形）中，总势能取极小者 是稳定的平衡位置（构形）；总势能取极大者是不是稳定的平衡位置（构形）；总势能取极大者是不 稳定的平衡位置（构形）。稳定的平衡位置（构形）。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 动力学准则动力学准则 施加微小扰动施加微小扰动 ，使刚体（弹性体，使刚体（弹性体 或结构）在或结构）在 初始平衡位置（构形）附近作自由振动，若振动是初始平衡位置（构形）附近作自由振动，若振动是 有界的，则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则有界的，则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则 是不稳定的。是不稳定的。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）任何一机械系统或结构系统的势能，定义为该系统从任何一机械系统或结构系统的势能，定义为该系统从实际形态运动到某一参考形态时所有作用力所做的功。实际形态运动到某一参考形态时所有作用力所做的功。为此，我们总是采取卸载的结构形态（构形）作为参为此，我们总是采取卸载的结构形态（构形）作为参考形态，因而，考形态，因而，势能为从受载形态（位置）运动到卸势能为从受载形态（位置）运动到卸载下的形态（位置）时，所有力所作的功载下的形态（位置）时，所有力所作的功。 1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理结构的作用力包括外载荷和内力。内力结构的作用力包括外载荷和内力。内力势能应是受载势能应是受载结构中的应变能；载荷的位置势能为从其最终位置往结构中的应变能；载荷的位置势能为从其最终位置往回移至其初始位置所做的功，是负值回移至其初始位置所做的功，是负值。 能量原理能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理总势能总势能应变能应变能载荷的位置势能载荷的位置势能1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理3） 势能驻值定理势能驻值定理满足约束条件和变形连续条件的平衡构形的充要条件是，系满足约束条件和变形连续条件的平衡构形的充要条件是，系统在这一构形下的总势能取驻值。即统在这一构形下的总势能取驻值。即其中其中 总势能总势能应变能应变能载荷的位置势能载荷的位置势能能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理4） 弹性体的最小势能原理弹性体的最小势能原理所有满足约束条件和变形连续条件的平衡构形中，只有使系所有满足约束条件和变形连续条件的平衡构形中，只有使系统的总势能取极小值的平衡构形才是稳定的平衡构形。即统的总势能取极小值的平衡构形才是稳定的平衡构形。即其中其中V 是从所考察的平衡构形到任意相邻的构形时，系统是从所考察的平衡构形到任意相邻的构形时，系统总势能的改变量总势能的改变量 。对于一维问题，用泰勒级数展开，有。对于一维问题，用泰勒级数展开，有 能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理4） 弹性体的最小势能原理弹性体的最小势能原理因为构形是平衡的，由势能驻值定理，有因为构形是平衡的，由势能驻值定理，有 ，于，于是，是，V的正负由高阶项的正负来判断。例如的正负由高阶项的正负来判断。例如能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理例例10 分析两端任意约束，理想细长压杆的临界力分析两端任意约束，理想细长压杆的临界力例例11 一端固定，另一端自由，在均布轴向力作用下细长压一端固定，另一端自由，在均布轴向力作用下细长压 杆的临界力杆的临界力能量原理能量原理