会计学1函数函数(hnsh)的凸性与拐点的凸性与拐点第一页，共32页。如(1)和(2)式中的不等号改为(i wi)严格不等号,则相应定义1设 f 为区间 I上的函数若对于 I 上的任意则称 f 为 I上的一个(y )凸函数. 反之如果总有则称 f 为 I 上的一个(y )凹函数.的函数称为严格凸函数和严格凹函数.第1页/共31页第二页，共32页。很明显(mngxin)，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么 f (x)就引理 f (x)为区间(q jin) I上的凸函数的充要条件是：为(严格(yng) 凹函数，反之亦然.第2页/共31页第三页，共32页。从而(cng r)有 因为(yn wi) f (x)为 I 上的凸函数，所以 证（必要性）于是第3页/共31页第四页，共32页。整理(zhngl)后即为 (3) 式.即由于必要性的证明是可逆的，从而(cng r)得到 （充分性）对于任意 则第4页/共31页第五页，共32页。所以(suy) f 为 I 上的凸函数.同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于(duy) 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以(suy)有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )第5页/共31页第六页，共32页。詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 ) 第6页/共31页第七页，共32页。对于(duy)凹函数，请读者自行写出相应的定理.这是著名的詹森不等式 .由数学(shxu)归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 第7页/共31页第八页，共32页。(5) 式是凸函数最常用(chn yn)的不等式 .即：例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么(n me)它在下面举例说明凸函数的内在(nizi)性质.证上处处连续.(a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)第8页/共31页第九页，共32页。由引理得到(d do)第9页/共31页第十页，共32页。这就证明了F(h)有下界(xi ji). 所以注 开区间上的凸函数处处(chch)连续,但不一定处处(chch)可 导; 闭区间上的凸函数在端点不一定(ydng)连续.第10页/共31页第十一页，共32页。定理 6.13 设 f 为区间(q jin) I 上的可导函数, 则下述注 (iii) 中的不等式表示切线(qixin)恒在凸曲线的下方.论断互相(h xing)等价：第11页/共31页第十二页，共32页。证第12页/共31页第十三页，共32页。第13页/共31页第十四页，共32页。第14页/共31页第十五页，共32页。我们在这里(zhl)再一次强调， 的切线位于曲线(qxin)的下方. 于相应曲线(qxin)段的上方;而它 义是:曲线 y = f (x) 的弦位函数 f 是凸函数的几何意 点击上图动画演示第15页/共31页第十六页，共32页。证 由定理(dngl) 6.13 立即可得.定理(dngl)6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x)我们在定理(dngl)中列出了凸函数的三个等价性质. 对理. 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：第16页/共31页第十七页，共32页。解 因为(yn wi)例 2 第17页/共31页第十八页，共32页。(本例说明(shumng)：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的极值(j zh)点与稳定点是等价的.)例 3 设函数(hnsh) f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数(hnsh).证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性.由定理 6.13 的 (ii), 是递增的. 所以设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, 第18页/共31页第十九页，共32页。(i)(ii)极小值.第19页/共31页第二十页，共32页。 注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极极值(j zh)，并且是极小值.证 应当注意(zh y)，这里并没有假设函数 f (x) 的可微 例 4此下面这个(zh ge)例题自然就产生了.值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因 性，所以例 2 的方法就失效了.第20页/共31页第二十一页，共32页。第21页/共31页第二十二页，共32页。对于任意因为 f (x0) 是极小值，所以又因为(yn wi) f(x0) 是严格凸函数，所以同理可证：对于任意仍有 f (x0) f (x) .存在使得第22页/共31页第二十三页，共32页。同时成立, 矛盾(modn).所以极值点惟一.设 f (x) 有另一极小值 . 根据以上讨论，把 和 x0 分别看作极值点时, 有第23页/共31页第二十四页，共32页。均为正数(zhngsh).詹森不等式例 5证第24页/共31页第二十五页，共32页。即又因故有再由对数函数(du sh hn sh)是严格增的，就证得第25页/共31页第二十六页，共32页。的严格(yng)凹函数，所以有例 6第26页/共31页第二十七页，共32页。图中所示的M 是一个(y )拐点.定义2曲线的切线(qixin)，并且切线(qixin)的两侧分别M是严格(yng)凸和严格(yng)凹的，这时称第27页/共31页第二十八页，共32页。下面两个(lin )定理是显然的.定理6.15定理6.16第28页/共31页第二十九页，共32页。但根据定义2,点(0, 0) 却是曲线-2-1O12-11第29页/共31页第三十页，共32页。复习(fx)思考题1. 两个(lin )凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个(lin )凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等式.第30页/共31页第三十一页，共32页。内容(nirng)总结会计学。如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应。的函数称为严格凸函数和严格凹函数.。由于必要性的证明(zhngmng)是可逆的，从而得到。注 开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可。的切线位于曲线的下方.。我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对。于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定。极值点与稳定点是等价的.)。存在使得。曲线的切线，并且切线的两侧分别。2. 两个凸函数的复合是否是凸函数。不等式.第三十二页，共32页。