返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*4 场论初步 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论.一、场的概念返回返回返回返回五、管量场与有势场 四、旋度场 三、散度场 二、梯度场 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、场的概念 若对全空间或其中某一区域若对全空间或其中某一区域 V 中每一点中每一点 M, 都有一都有一 个数量个数量 (或向量或向量) 与之对应与之对应, 则称在则称在 V 上给定了一个上给定了一个 数量场数量场 (或向量场或向量场). 例如例如: 温度和密度都是数量场温度和密度都是数量场, M 的位置可由坐标确定的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就因此给定了某个数量场就总是设它对每总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数个变量都有一阶连续偏导数. .同理同理, ,每每 重力和速度都是向量场重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后在引进了直角坐标系后, 点点 等于给定了一个等于给定了一个数量函数数量函数 在以下讨论中在以下讨论中 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页个向量个向量场都与某个向量函数都与某个向量函数 相相对应. 这里这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数并假定它们有一阶连续偏导数. 设设 L 为向量场中一条曲线为向量场中一条曲线. 若若 L 上每点上每点 M 处的切线处的切线 方向都与向量函数方向都与向量函数 在该点的方向一致在该点的方向一致, 即即 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页磁力线等都是向量场线磁力线等都是向量场线.注注 场的性质是它本身的属性场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质进行计算和研究它的性质. 则称曲线则称曲线 L 为向量场为向量场 的的向量场线向量场线. 例如电力线、例如电力线、 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、梯度场 在第十七章在第十七章3 中我们已经介绍了梯度的概念中我们已经介绍了梯度的概念, 它它 方向上的方向导数方向上的方向导数. grad u 是由数量场是由数量场 u 派生出来的一个向量场派生出来的一个向量场, 称为称为 是由数量函数是由数量函数 所定义的向量函数所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向的方向就是使方向导 梯度场梯度场. 由前文知道由前文知道, 数数 达到最大达到最大值的方向的方向, 就是在这个方就是在这个方 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因因为数量数量场 的等的等值面面 的法的法线线 方向方向为 所以所以 grad u 恒与恒与 u 的的等值面等值面 正交正交. 当把它作为运算符号来看待时当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作梯度可写作 引进符号向量引进符号向量 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1. 若若 u, v 是数量函数是数量函数, 则则 2. 若若 u, v 是数量函数是数量函数, 则则 特别地有特别地有 梯度有以下一些用梯度有以下一些用 表示的基本性质表示的基本性质: 注注 通常称为哈密顿通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符算符( (或算子或算子) ), 读读 作作 “Nabla”.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4. 若若 5. 若若 则则 这些公式读者可利用定义来直接验证这些公式读者可利用定义来直接验证.3. 若若 则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 若以若以 上的上的单位向量位向量, 则有有 例例1 设质量为设质量为 m 的质点位于原点的质点位于原点, 质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 记 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力, 方向朝着原点方向朝着原点, 大小与质量大小与质量 的乘积成正比的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力明了引力场是数量是数量场 的梯度的梯度场, 因此因此常称常称 为引力引力势.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、散 度 场 为为 V 上的一个向量上的一个向量场. 称如下数量函数称如下数量函数: 设 为为 的的散度散度. 这是由向量场这是由向量场 派生出来的一个数量派生出来的一个数量 场场, 也称也称散度场散度场, 记作记作 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页高斯公式可写成如下向量形式高斯公式可写成如下向量形式:设 为曲面曲面 S 在各点的在各点的单位位 法向量法向量,记 , 称称为 S 的的面面积元素向量元素向量. 于于是是 对上式中的三重上式中的三重积分分应用中用中值定理值定理, 使得使得 在在 V 中任取一点中任取一点 令令 V 收收缩到到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这个等式可以看作是散度的另一种定义形式这个等式可以看作是散度的另一种定义形式. 则同同时有有 对上式取极限对上式取极限, 得到得到 的不可压缩流体的不可压缩流体, 经过封闭曲面经过封闭曲面 S 的流量是的流量是 于是于是(2)式表明式表明 是流量是流量对体体积 V 的变化率的变化率, 若若 说明在每一明在每一单位位时间内有一定数内有一定数 散度的物理意义散度的物理意义 联系本章联系本章2中提到的中提到的, 流速为流速为 并称它并称它为 在点在点的的流量密度流量密度. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称这点为称这点为 “汇汇”. 容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:量的流体流出这一点量的流体流出这一点, 则称这一点则称这一点 为为 “源源”. 若若 说明流体在明流体在这一点一点 被吸收被吸收, 则 若在每一点都有若在每一点都有 则称则称 为为 “无源场无源场”. 的散度也可表示的散度也可表示为矢性算符矢性算符 与与 的数性积的数性积: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3. 若若是一数量函数是一数量函数, 则 算符算符 于是于是 1. 若若 是向量函数是向量函数, 则则2. 若若是数量函数是数量函数, 是向量函数是向量函数, 则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 求例求例1中引力中引力场所所产生的散生的散 度场度场. 解解 因因为 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此引力场因此引力场 在每一点处的散度都为零在每一点处的散度都为零 ( 除原点没除原点没有定义外有定义外 ).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为为 V 上的一个向量上的一个向量场. 称如下向量函数称如下向量函数: 设 场场, 也称也称旋度场旋度场, 记作记作 四、旋 度 场 为为 的的旋度旋度. 是由向量场是由向量场 派生出来的一个向量派生出来的一个向量 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为便于记忆起见为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度可用行列式形式来表示旋度:类似于用散度表示的高斯公式类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来现在可用旋度来 表示斯托克斯公式表示斯托克斯公式: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 为前述对于曲面为前述对于曲面 S 的面积元素向量的面积元素向量; 而而则是对于曲线则是对于曲线 L 的的弧长元素向量弧长元素向量. 对后者说明如下对后者说明如下:设是曲是曲线 L 在各点在各点处的正向的正向单位切单位切向量向量, 弧长元素向量即为弧长元素向量即为 把公式把公式 (3) 改写成改写成 对上式中的曲面上式中的曲面积分分应用中用中值定理值定理, 使得使得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 S 上任取一点上任取一点 令令 S 收收缩到到 这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式. 则同同时有有 对上式取极限对上式取极限, 得到得到 为了由为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其中不妨将其中 的曲面块的曲面块 S 改换为平面区域改换为平面区域 D ( ( 图图 22-12 ) ), 这时这时 (5) 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页式又被改写为式又被改写为在流速在流速场 中中, 曲曲线积分分 是沿是沿闭曲曲线 L 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的的环流流量量, 它表示流速为它表示流速为 的不可压缩流体的不可压缩流体, 在单位在单位 时间内沿曲线时间内沿曲线 L 流过的总量流过的总量. 这样这样, 就反映了流体关于就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度所围面积的平均环流密度. 当当 时时, (6) 式右边这个极限式右边这个极限, 就是流速场就是流速场 在在 点点 处按右手法则绕处按右手法则绕 的环流密度的环流密度. 另一方面另一方面, (6) 式左边的式左边的 是是在在 上的投影上的投影. 由此可见由此可见, 当所取的当所取的 与与 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同向时同向时, 该投影为最大该投影为最大. 综合起来就可以说综合起来就可以说: 这同时指出了旋度的两个基本属性这同时指出了旋度的两个基本属性:(i) 的方向是的方向是 在点在点 处环流密度最大处环流密度最大 的方向的方向; (ii) 即为上述最大环流密度的数值即为上述最大环流密度的数值. 在在 上的投影上的投影. ” “ 流速场流速场 在点在点 处绕处绕 的的环流密度环流密度, 等于旋度等于旋度 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源, 我们讨论刚体绕定轴旋转的问题我们讨论刚体绕定轴旋转的问题. 设一刚体以角速设一刚体以角速 与旋转方向符合右手法则与旋转方向符合右手法则. 当当 时时, 称向量场称向量场 为为 “无旋场无旋场” . 度度绕某某轴旋旋转, 则 的方向沿着旋的方向沿着旋转轴, 其指向其指向 若取定旋转轴上一点若取定旋转轴上一点 O 作为原点作为原点( (图图22-13) ), 刚体刚体上任意一点上任意一点 P 的线速度的线速度 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可表示可表示为 其中其中 是是 P 的径向量的径向量, 设 P 的坐的坐标为 , 便有便有 又又设 于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页就是旋就是旋转的角速度的角速度 这也说明了旋度这个名称的这也说明了旋度这个名称的 应用算符用算符的旋度是的旋度是旋度有如下一些基本性质旋度有如下一些基本性质:这结果表明线速度这结果表明线速度 的旋度除相差一个常数因子外的旋度除相差一个常数因子外, 来源来源. 1. 若若 是向量函数是向量函数, 则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. 若若是数量函数是数量函数, 是向量函数是向量函数, 则这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、管量场与有势场 式知道式知道, 此时沿任何封闭此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零曲面的曲面积分都等于零. 中作一向量管中作一向量管 ( (图图22-14) ), 即由向量线围成的管状的即由向量线围成的管状的 若一个向量场若一个向量场 的散度恒的散度恒 为零为零, 即即 我们曾我们曾 称称 为无源场为无源场. 从高斯公从高斯公 我们又把我们又把 称作称作管量场管量场. 这是因为这是因为, 若在向量场若在向量场 曲面曲面. 用断面用断面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的表面的表面, 这这就得到了由就得到了由所所围成的封成的封闭曲面曲面 S. 于是由于是由(1)式得出式得出而向量线与曲面而向量线与曲面的法线正交的法线正交, 所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是 间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于 相同的相同的, 所以把所以把场 称称为管量管量场. 如例如例2, 由由 的梯的梯 度度所成的引力场所成的引力场 是一个管量场是一个管量场. 若一个向量场若一个向量场 的旋度恒为零的旋度恒为零, 即即 我们在我们在 前面称前面称 为无旋场为无旋场. 从斯托克斯公式知道从斯托克斯公式知道, 这时在空这时在空 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页零零, 这种种场也称也称为有有势场. 这是因是因为当当 时, 由定理由定理 22.5 推得空间曲线积分与路线无关推得空间曲线积分与路线无关, 且存在且存在某函数某函数, 使得使得即即 则必存在某个必存在某个势函数函数 u, 使得使得这也是一也是一 个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 在例在例1 通常称通常称 u 为为势函数势函数. 因此若某向量场因此若某向量场 的旋度为零的旋度为零, 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页中中, 引力势引力势 就是势函数就是势函数. 所以所以 因因为 恒成立恒成立, 所以所以 它也是引力它也是引力 若一个向量场既是管量场若一个向量场既是管量场, 又是有势场又是有势场, 则称这个向则称这个向 场场 是有势场的充要条件是有势场的充要条件.量场为量场为调和场调和场. 上述例上述例 2 中讲到的引力场中讲到的引力场 就是调就是调 和场和场. 若若 是一个调和场是一个调和场, 则必有则必有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即必有势函数即必有势函数 u 满足满足 这时称函数这时称函数 u 为为调和函数调和函数. 显然显然