第三章 阶段复习课 一、数系的扩充和复数的概念一、数系的扩充和复数的概念1.1.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )的数叫做复数，通常记为的数叫做复数，通常记为z=z=a+bia+bi( (复数的代复数的代数形式数形式) )，其中，其中i i叫虚数单位叫虚数单位(i(i2 2=-1)=-1)，a a叫实部，叫实部，b b叫虚部，数集叫虚部，数集C=C=a+bi|a,bRa+bi|a,bR 叫做复数集叫做复数集. .2.2.复数的分类复数的分类(1) (1) (2)(2)集合表示集合表示: :3.3.复数相等的充要条件复数相等的充要条件a+bia+bi与与c+dic+di相等的充要条件是相等的充要条件是a=ca=c且且b=b=d(a,b,c,dRd(a,b,c,dR).).4.4.复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x.x轴叫做实轴，轴叫做实轴，y y轴叫做虚轴轴叫做虚轴. .实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. .5.5.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复数复数z=z=a+bia+bi 复平面内的点复平面内的点Z(a,b)(a,bRZ(a,b)(a,bR););(2)(2)复数复数z=z=a+bia+bi 平面向量平面向量 ( (a,bRa,bR).).6.6.复数的模复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z=z=a+bia+bi的模，记作的模，记作|z|z|或或| |a+bia+bi| |，即即|z|=|z|=|a+bia+bi|=r= (r|=r= (r0,r0,rR R，a,ba,bR R).). 【辨析辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量复数、复平面内的点、复平面内的向量 任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的复平面内的点、复平面内的向量是统一的. . 二、复数代数形式的四则运算二、复数代数形式的四则运算1.1.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则. .设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2= =c+di(a,b,c,dRc+di(a,b,c,dR),),则则加法加法z z1 1+ z+ z2 2=(=(a+bi)+(c+dia+bi)+(c+di)=()=(a+c)+(b+d)ia+c)+(b+d)i减法减法z z1 1- z- z2 2=(=(a+bi)-(c+dia+bi)-(c+di)=(a-)=(a-c)+(b-d)ic)+(b-d)i乘法乘法z z1 1 z z2 2=(=(a+bi)a+bi)(c+di(c+di)=(ac-)=(ac-bd)+(ad+bc)ibd)+(ad+bc)i除法除法(2)(2)对复数运算法则的认识对复数运算法则的认识. .复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部实部与虚部. .复数加法法则的合理性复数加法法则的合理性: :()()当当b=0,d=0b=0,d=0时，与实数加法法则一致时，与实数加法法则一致. .()()加法交换律和结合律在复数集中仍成立加法交换律和结合律在复数集中仍成立. .()()符合向量加法的平行四边形法则符合向量加法的平行四边形法则. .(3)(3)复数满足的运算律复数满足的运算律: :复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CC，有，有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1，(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CC，有，有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1, ,(z(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3),),z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. . (4)(4)复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义. .复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行( (满足平行四边形、三角形法则满足平行四边形、三角形法则).).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行复数的减法运算也可以按向量的减法来进行. .2 2几个重要的结论几个重要的结论(1)|z(1)|z1 1+z+z2 2| |2 2+|z+|z1 1-z-z2 2| |2 2=2(|z=2(|z1 1| |2 2+|z+|z2 2| |2 2).).(2)z(2)z =|z| =|z|2 2=| |=| |2 2. .(3)(3)若若z z为虚数，则为虚数，则|z|z|2 2zz2 2. .(4)i(4)i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-=-i,nNi,nN* *. .3.3.共轭复数的性质共轭复数的性质复数复数z=z=a+bia+bi的共轭复数的共轭复数 =a-bi.=a-bi.(1)z(1)z R. R.(2) =z.(2) =z.(3)(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z= z= 则则z z是实数是实数. .(4)(4)共轭复数对应的点关于实轴对称共轭复数对应的点关于实轴对称. .4.4.巧用向量解复数问题巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算复数的加减运算可转化为向量的加减运算. . 请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧吧. .一、复数的概念与分类一、复数的概念与分类 形如形如a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )的数，称为复数，所有复数构成的集合的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用称复数集，通常用C C来表示来表示. . 设设z=z=a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )，则，则(1)z(1)z是虚数是虚数b0b0；(2)z(2)z是纯虚数是纯虚数 ；(3)z(3)z是实数是实数b=0.b=0.【例例1 1】(2012(2012无锡高二检测无锡高二检测) )已知复数已知复数z=m(m+1)+mi,iz=m(m+1)+mi,i为虚数为虚数单位，单位，mRmR. .(1)(1)当复数当复数z z为纯虚数时，求为纯虚数时，求m m的值；的值；(2)(2)当复数当复数z z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求求m m的值；的值；(3)(3)若若(1+i)z=1+3i(1+i)z=1+3i，求，求|z|.|z|.【解析解析】(1)(1)由题意得由题意得 m=-1m=-1，当当m=-1m=-1时，时， z z是纯虚数是纯虚数. .(2)(2)由题意得由题意得m m2 2+m=-m+m=-m，解得，解得m=0m=0或或m=-2.m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|,|(1+i)z|=|1+3i|, |z|=|z|= |z|=|z|=二、复数的四则运算二、复数的四则运算 复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除, ,加减法是对应加减法是对应实部、虚部相加减实部、虚部相加减, ,而乘法类比多项式乘法而乘法类比多项式乘法, ,除法类比根式的分除法类比根式的分母有理化母有理化, ,要注意要注意i i2 2=-1=-1，i i4n+14n+1=i=i，i i4n+24n+2=-1=-1，i i4n+34n+3=-i=-i，i i4n4n=1=1，(1+i)(1+i)2 2=2i,(1-i)=2i,(1-i)2 2=-2i, =-2i, =-i, =-i, =i.=i.【例例2 2】计算计算:(1):(1)(2)(2)【解析解析】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式【例例3 3】已知复数已知复数z z z zai(aR)ai(aR)，当当| | | 时，求时，求a a的取值范围的取值范围【解析解析】z zaiai1 1i iaiai1 1(a(a1)i,1)i,a a2 22a2a2020，1 1 a1a1故故a a的取值范围是的取值范围是1 1 1 1 三、复数的几何意义及数形结合思想的应用三、复数的几何意义及数形结合思想的应用 复数复数z=z=a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )和复平面上的点和复平面上的点Z(a,bZ(a,b) )一一对应，和一一对应，和向量向量 一一对应，复数一一对应，复数z z对应的点所在象限由对应的点所在象限由z z的实部和虚部的的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的关键关键. .复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果. .运用数形结合的思想运用数形结合的思想, ,挖掘题目中知识的多功能因素挖掘题目中知识的多功能因素, ,使问题出使问题出奇制胜地得到解决奇制胜地得到解决. .【例例4 4】已知复数已知复数z z满足满足z-3-4iz-3-4i=2=2，则，则z z的最大值的最大值为为_._.【解析解析】z-3-4iz-3-4i=2=2表示复平面内动点表示复平面内动点Z Z的轨迹是以点的轨迹是以点(3(3，4)4)为圆心，以为圆心，以2 2为半径的圆，所以为半径的圆，所以z zmaxmax=5+2=7.=5+2=7.答案：答案：7 7【例例5 5】已知已知z z是复数，是复数，z+2iz+2i， 均为实数均为实数 (i(i为虚数单位为虚数单位) )，且，且复数复数(z+ai)(z+ai)2 2在复平面上对应的点在第一象限，求实数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a a的取值的取值范围范围. .【解析解析】设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )，则，则z+2i=x+(y+2)i,z+2i=x+(y+2)i,由题意知由题意知 z=4-2i.z=4-2i.(z+ai)(z+ai)2 2= =4+(a-2)i4+(a-2)i2 2=(12+4a-a=(12+4a-a2 2)+8(a-2)i,)+8(a-2)i,由已知得由已知得 2a62a6，实数实数a a的取值范围是的取值范围是(2,6).(2,6).四、复数的模与共轭复数四、复数的模与共轭复数 若若z=z=a+bi(a,bRa+bi(a,bR),),则则 =a-bi=a-bi称为称为z z的共轭复数，复数的模的共轭复数，复数的模与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：的乘积，即：z z =|z| =|z|2 2. .【例例6 6】使复数为实数的充分而不必要条件是使复数为实数的充分而不必要条件是( )( )( (A)zA)z= (= (B)|zB)|z|=z|=z(C)z(C)z2 2为实数为实数 ( (D)zD)z+ + 为实数为实数【解析解析】选选B.zB.z= = zRzR；|z|=|z|=z z zRzR，反之不行，如，反之不行，如z=-2z=-2；z z2 2为实数不能推出为实数不能推出zRzR，如，如z=iz=i；对于任意；对于任意z z，z+ z+ 都是实数都是实数. .【例例7 7】已知已知 z z2 2=(x=(x2 2+a)i+a)i，对于任意，对于任意xRxR，均有均有|z|z1 1| |z|z2 2| |成立，试求实数成立，试求实数a a的取值范围的取值范围【解析解析】|z|z1 1| |z|z2 2| |，x x4 4+x+x2 2+1+1(x(x2 2+a)+a)2 2，(1-2a)x(1-2a)x2 2+(1-a+(1-a2 2) )0 0对对xRxR恒成立恒成立当当1-2a=01-2a=0，即，即a= a= 时，不等式成立；时，不等式成立；当当1-2a01-2a0时，时， -1-1a a综上，综上，a(-1, a(-1, 五、复数中的轨迹问题五、复数中的轨迹问题 通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁, ,这样这样, ,把问题转把问题转化为对参变量的讨论化为对参变量的讨论. .这种方法运用的巧妙这种方法运用的巧妙, ,可以达到化难为易、可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果. .【例例8 8】已知复数已知复数z z1 11,1,且且 是纯虚数，复数是纯虚数，复数求复数求复数z z在复平面内对应的点的轨迹在复平面内对应的点的轨迹. .【解析解析】设设 =bi(bR,b0),=bi(bR,b0),则则z z1 1= -1= -1，z= =(1-bi)z= =(1-bi)2 2=1-b=1-b2 2-2bi.-2bi.设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR),),得得 消去消去b b得，得，y y2 2=-4(x-1)(x1),=-4(x-1)(x1),即复数即复数z z对应的点的轨迹为抛物线对应的点的轨迹为抛物线( (除去顶点除去顶点).).【例例9 9】已知已知z=t+3+3 iz=t+3+3 i，其中，其中tCtC，且，且 为纯虚数为纯虚数(1)(1)求求t t的对应点的轨迹；的对应点的轨迹；(2)(2)求求|z|z|的最大值和最小值的最大值和最小值【解析解析】(1)(1)设设t=t=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )，则则 为纯虚数，为纯虚数， 即即t t的对应点的轨迹是以原点为圆心，的对应点的轨迹是以原点为圆心，3 3为半径的圆，为半径的圆，并除去并除去(-3,0)(3,0)(-3,0)(3,0)两点两点. . (2)(2)由由t t的轨迹可知，的轨迹可知，|t|=3|t|=3，|z-(3+3 i)|=3|z-(3+3 i)|=3，圆心对应，圆心对应3+3 i3+3 i，半径为，半径为3 3，|z|z|的最大值为的最大值为|3+3 i|+3=9|3+3 i|+3=9，|z|z|的最小值为的最小值为|3+3 i|-3=3|3+3 i|-3=31.(20121.(2012浙江高考浙江高考) )已知已知i i是虚数单位是虚数单位, ,则则 =( )=( )(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i【解析解析】选选D.D.2.2.已知已知|z|z|3 3，且，且z z3i3i是纯虚数，则是纯虚数，则z z( )( )(A)(A)3i (B)3i (C)3i (B)3i (C)3i (D)4i3i (D)4i【解析解析】选选B.B.令令z za abi(abi(a，bRbR) )，则，则a a2 2b b2 29,9,又又z z3i3ia a(3(3b)ib)i是纯虚数，是纯虚数，由由得得a a0 0，b b3 3，z z3i3i，故应选，故应选B.B.3.3.复数复数z zx xyi(xyi(x，yRyR) )满足满足|z|z4i|4i|z|z2|2|，则，则2 2x x4 4y y的的最小值为最小值为( )( )(A)2 (B)4 (C)4 (D)8(A)2 (B)4 (C)4 (D)8【解析解析】选选C.|zC.|z4i|4i|z|z2|2|，且，且z zx xyiyi, ,|x|x(y(y4)i|4)i|x|x2 2yiyi|,|,xx2 2(y(y4)4)2 2(x(x2)2)2 2y y2 2,x,x2y2y3 3，2 2x x4 4y y2 22y2y3 34 4y y8 8 4 4y y4.4.满足条件满足条件| |z+i|+|zz+i|+|zi|=4i|=4的复数的复数z z在复平面上对应点的轨在复平面上对应点的轨迹是迹是( )( )(A)(A)一条直线一条直线 (B)(B)两条直线两条直线(C)(C)圆圆 (D)(D)椭圆椭圆【解析解析】选选D.D.复数复数z z在复平面上对应点到定点在复平面上对应点到定点(0,1)(0,1)，(0(0，-1)-1)的距离之和为定值的距离之和为定值4 4，故对应点的轨迹是椭圆，故对应点的轨迹是椭圆. .5.(20125.(2012东城高二检测东城高二检测) )若复数若复数(1+ai)(2+i)=3-i(1+ai)(2+i)=3-i，则实数，则实数a a的的值为值为_._.【解析解析】(1+ai)(2+i)=3-i,(1+ai)(2+i)=3-i,(2-a)+(2a+1)i=3-i,(2-a)+(2a+1)i=3-i, a=-1. a=-1.答案：答案：-1-16.6.已知复数已知复数(x-2)+yi(x,yR)(x-2)+yi(x,yR)的模为的模为 求求 的最大值的最大值【解析解析】|x-2+yi|=|x-2+yi|=(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3，故，故( (x,yx,y) )在以在以C(2,0)C(2,0)为圆为圆心，心， 为半径的圆上，为半径的圆上， 表示圆上的点表示圆上的点( (x,yx,y) )与点与点(-1,-1)(-1,-1)连线的斜率如图，由连线的斜率如图，由平面几何知识，易知平面几何知识，易知 的最大值为的最大值为