线性离散系统的状态空间描述Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望目录(1/1)目目 录录q概述概述q2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 q2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型状态空间模型的线性变换和约旦规范型q2.5 传递函数阵传递函数阵q2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 q2.7 Matlab问题问题 q本章小结本章小结线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(1/3)2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述q随着数字计算机在系统控制中的广泛应用,离散时间系统(简称为离散系统)日益显示出其重要性。和连续系统不同,离散系统中各部分的信号不再都是时间变量t的连续函数。在系统的一处或多处,其信号呈现断续式的脉冲串或数码的形式。事实上,大量的连续系统通常被通过采样化为时间离散化系统,再来进行分析和控制。离散系统成为控制理论与控制工程中重要的一类系统模型。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(2/3)q状态空间分析方法是能全面描述和分析动态系统的一种动力学分析与综合的主要方法,其也适应于离散系统的动力学分析与综合。与连续系统类似,为更好地分析、控制离散时间被控对象,引入状态空间分析方法。本节主要研究线性离散系统的状态空间描述及如何建立状态空间模型。下面先讨论工程控制系统的计算机实现,然后讨论离散系统的状态空间描述等问题。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(3/3)q本节主要讨论的问题本节主要讨论的问题:工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述离散系统的机理建模离散系统的机理建模由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型 由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵重点喔工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(1/9)2.6.1 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现 q自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号不作频繁调节;而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确地跟随输入信号的变化。“伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为随动系统。对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(2/9)q下面就以伺服系统为例来介绍其在计算机系统中的一般实现。 q利用计算机代替常规的模拟控制器,而使它成为控制系统的一个组成部分,我们把这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控制系统。换句话说,计算机控制系统是由强调计算机作为控制系统的一个组成部分而得名的。计算机控制系统有时也称为数字控制系统,这是强调在控制系统中包含有数字信号。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(3/9)q引入计算机控制的伺服系统叫做计算机控制伺服系统,也可以称为数字伺服系统。在图2-18伺服系统中引入计算机代替误差的求取和控制器的功能,构成计算机控制伺服系统,如图2-19所示。 图2-18位置伺服系统 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(4/9)图2-19计算机控制伺服系统工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(5/9)由于计算机输入输出只能是数字信号,所以要加入A/D (Analog to Digital Converter,模拟量-数字量转换)和D/A (Digital to Analog Converter, 数字量-模拟量转换)环节。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(6/9)q计算机控制伺服系统由计算机通过模拟量输入通道(A/D)采集被控对象的状态,与给定值的数字量比较,获得误差,然后经控制器的算法程序进行信息加工,作出相应的控制和处理决策,形成控制信息,通过模拟量输出通道(D/A),转变成被控对象可以接受的模拟信号,通过驱动器带动系统跟踪输入变化。因此,计算机控制伺服系统由计算机、模拟量输入通道、模拟量输出通道以及被控对象组成。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(7/9)q计算机控制伺服系统的被控对象一般为运动部件。为系统安全起见,常要求系统启动工作时,计算机与被控对象间“握一次手”互相访问一下,都准备就绪了才开始工作。因此计算机控制伺服系统中还应该有开关量的输入、输出通道。这样计算机控制伺服系统的组成如图2-20所示。图图2-20 计算机控制伺服系统的组成计算机控制伺服系统的组成工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(8/9)q计算机伺服控制系统的工作过程是:实时数据采集对被控参数的瞬时值进行检测、转换并输入到计算机中;实时决策对采集到的表征被控参数的状态变量进行分析,并按已给的控制规律进行计算,决定进一步的控制策略;实时控制根据决策的结果,适时地对控制机构发出控制信号。 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(9/9)q计算机控制伺服系统就是不断重复上面三个步骤,控制整个系统按一定的品质指标进行工作,并对系统的异常状态进行监视和处理。控制过程的三个步骤对计算机来说实际上只是执行算术、逻辑运算和输入、输出操作的过程。 线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(1/5)2.6.2 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述q在经典控制理论中,离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为 y(k+n)+a1y(k+n-1)+any(k)=b0u(k+n)+bnu(k)式中,k表示第k次采样的kT时刻;T为采样周期;y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量; ai和bi为表征系统特性的常系数。线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(2/5)q考虑初始条件为零时的变换关系对上述差分方程模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函数(z域传递函数)q上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。 线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(3/5)q为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模型。在状态空间法中,采用以下的离散状态方程和离散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空间模型对离散系统进行描述,即其中x(kT)、u(kT)和和y(kT)分别分别为n维的状态向量、r维的输入向量和m维的输出向量;G(T)、H(T)、C(T)和和D(T)分别分别为nn维的系统矩阵、nr维的输入矩阵、mn维的输出矩阵和mr维的直联矩阵。线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(4/5)q离散系统状态空间模型的意义:状态方程状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x(k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(5/5)q为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去,于是有q与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。还记得线性连续系统的结构图?图2-21 线性定常离散系统状态空间模型的结构图线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(6/5)q与线性定常离散系统类似,对于线性时变离散系统,其状态空间模型可记为线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(7/5)q从线性连续系统和线性离散系统的状态空间模型和相应的结构图,以及传递函数模型可以看出,线性连续系统和线性离散系统在模型结构上极为相似,这种相似性可以总结如下表所示:线性连续系统线性离散系统状态方程微分方程前向差分方程结构图中算子积分单位延迟(反向差分)动态模型中算子拉氏变换s算子z变换z算子还有其他对应关系?离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(1/8)2.6.3 离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模 q与连续时间系统的通过系统机理来建立状态空间模型方法一样,对已掌握系统机理的离散时间系统也可以通过机理分析建立状态空间模型。人口分布问题是一个典型的社会系统。通过对人口分布问题建立状态空间描述模型,可以分析和预测人口分布的发展态势。下面讨论一个经过适当简化的城乡人口分布问题,并以此人口模型的状态空间描述为例,讨论如何通过系统机理建立离散系统的状态空间描述。离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(2/8)q例例2-13 假设某个国家普查统计结果如下。2001年城乡人口的分布是,城市人口为1千万,乡村人口为9千万。人口的自然流动情况是,每年有2%上一年城市人口迁移去乡村,同时有4%上一年乡村人口迁移去城市。人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会导致5万乡村人口流向城市。试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全国人口数为输出变量的状态空间描述模型。离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(3/8)q解解 符号和约定。记k为离散时间变量,取k=0代表2001年。设x1(k)和x2(k)为第年的城市人口和乡村人口;u(k)为第年所采取的激励性政策控制手段;y(k)为第年的全国人口数。 选取变量。考虑到问题中城市人口x1和乡村人口x2的极大线性无关性,可取城市人口x1和乡村人口x2为状态变量。建立状态变量方程。基于问题给出的参量,即第k+1年相比于第k年的人口迁移、自然增长和政策控制等关系,可以定出反映第k+1年城市人口和乡村人口的分布的状态变量方程为离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(4/8)其中k=0,1,2,.建立输出变量方程。反映全国人口变化态势的输出变量方程为y(k)=x1(k)+x2(k)离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(5/8)导出向量方程形式的状态空间描述。将方程表为向量方程形式的描述,就得到人口分布问题的状态方程和输出方程:离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(6/8)记成矩阵形式为其中离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(7/8)q上述建立人口分布的离散状态空间模型是以地区(区域)人口分布及自然增长率来建立的。实际上也可以采用年龄段人口数及育龄妇女生育率来建立人口分布的离散状态空间模型,或者结合两种方法建立更精确、完善的人口分布模型。以所建立的模型为基础,就可以进行人口分布演变的计算机仿真、分析与控制(制订与实施人口政策)。基于Matlab工具,读者可自行完成人口演变的计算机仿真。 由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(1/8)2.6.4 由离散系统的输入输出关系建立状态状态由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型空间模型 q由于线性离散系统与线性连续系统的状态空间模型、传递函数以及高阶微分方程和差分方程之间具有结构形式上的一致性,故建立线性定常离散系统的状态空间模型时可借助于在线性定常连续系统中运用的方法。在具体运用时,可将 微分差分 拉氏变换算子Z变换算子相对应,直接利用在2.3节由连续系统的输入输出关系建立状态空间模型的方法,来建立线性离散系统的状态空间模型。由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(2/8) 例例2-14下面举例说明。 q例2-14 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型:y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k+2)+2u(k+1)+u(k)q解解 1. 根据2.3.1节中方法求解。对本例a1=5 a2=6 b0=1 b1=2 b2=1故由2.3.1中式(2-26)可得0=b0=11=b1-a10=-32=b2-a11-a20 =10由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(3/8) 例例2-14q因此,与式(2-24)和(2-25)相类似,可写出如下线性离散系统的状态空间模型:2. 根据2.3.2节中方法求解。对本例,有将G(z)展开成部分分式之和,则有由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(4/8) 例例2-14q故与2.3.2节中式(2-34)和(2-35)相类似,可得如下线性离散系统的状态空间模型:由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (1/4)2.6.5 由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵q与线性定常连续系统相类似,对MIMO线性定常离散系统,也可引入描述输入输出动态关系的z域中的传递函数阵如下:其中G(z)中每个元素为标量传递函数。由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (2/4)q下面讨论如下线性定常离散系统的状态空间模型所对应的传递函数阵:q令状态变量向量x(k)的初始值为0,则对状态方程两边求z变换可得zX(z)=GX(z)+HU(z)其中X(z)和U(z)分别为x(k)和u(k)的z变换。由上式有X(z)=(zI-G)-1HU(z)因此有Y(z)=C(zI-G)-1H+DU(z)其中Y(z)为y(k)的z变换。由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (3/4)q故,传递函数阵为G(z)=C(zI-G)-1H+Dq可以看出,离散系统状态空间模型对应的传递函数阵与连续系统状态空间模型的传递函数阵形式与结构完全一致。q例2-15 求如下系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)。q解 由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (4/4)