上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二二元函数的偏导数与全微分元函数的偏导数与全微分一、一、偏导数偏导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、全微分三、全微分四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分一、偏导数一、偏导数1、偏导数的定义偏导数的定义上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如函数如函数 在点在点 处处 上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例1 求求解法解法1解法解法2在点在点( (1 , 2) )处的偏导数处的偏导数. .上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例2 设设证证例例3 求求的偏导数的偏导数 . .解解求证求证: :上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证: :证证说明说明: :( (R 为常数为常数) , ) , 不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 ! !此例表明此例表明, ,整体记号整体记号, ,上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分2. .偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图如图上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分（1）几何意义几何意义: :上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分（2）偏导数存在与连续的关系）偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，上页上页下页下页返回返回则称它们是则称它们是z = f (x , y)5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，的的二阶偏导数二阶偏导数 . .按求导顺序不同按求导顺序不同, , 有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导数数: :上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. .例如，例如， z = f (x , y)关于关于x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z = f (x , y)关于关于x的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , , 再关于再关于y 的一阶的一阶偏导数为偏导数为第二、三个偏导数称为第二、三个偏导数称为混合偏导数混合偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分解解上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例6 求函数求函数解解 注意注意: :此处此处但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .的二阶偏导数及的二阶偏导数及 上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题问题例如例如, , 对三元函数对三元函数u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, , 有有上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分证证上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例8 证明函数证明函数满足满足证证利用对称性利用对称性, ,有有方程方程上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分三、全微分三、全微分全增量全增量上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分定义定义2 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在点在点( x , y )可表示成可表示成其中其中A , B不依赖于不依赖于 x , y ,仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, , 记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, ,则称函数则称函数 f ( x, y ) )在点在点( x, y) 可微可微，的全增量的全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微. .上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分证证“可微可微”与与“连续连续”的关系？的关系？上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分“可微可微”与与“偏导数存在偏导数存在”的关系？的关系？上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分同样可证同样可证证证 由全增量公式由全增量公式得到对得到对x 的偏增量的偏增量因此有因此有 上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分反例反例: : 函数函数易知易知 但但注注: : 定理定理3 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! !因此因此, ,函数在点函数在点 不可微不可微 . .上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分定理定理4 ( (可微的充分条件可微的充分条件) )若函数若函数的偏导数的偏导数则函数则函数在点在点连续，连续，在该点在该点可微可微 . 且且全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.例如例如, , 三元函数三元函数的全微分为：的全微分为：上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例9 计算函数计算函数 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分. . 解解例例10 计算函数计算函数的全微分的全微分. . 解解 上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分可知当可知当* *四、全微分在数值计算中的应用四、全微分在数值计算中的应用 近似计算近似计算: :由全微分定义由全微分定义较小时较小时, ,及及有近似等式有近似等式: :( (可用于近似计算可用于近似计算; ; 误差分析误差分析) ) ( (可用于近似计算可用于近似计算) ) 上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例11 计算计算的近似值的近似值. . 解解 设设, ,则则取取则则上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分半径由半径由 20cm 增大增大解解 已知已知即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 例例12 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变, ,到到 20.05cm , , 则则 高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm , ,体积的近似改变量体积的近似改变量. . 求此圆柱体求此圆柱体上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导 （相等的条件）（相等的条件）内容小结内容小结上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分思考练习思考练习,则（则（ ）(A)(C)(B) 曲面曲面 在点在点 的法向量的法向量为为 曲线曲线 在点在点 的切向量的切向量为为设函数设函数在点在点 附近有定义，且附近有定义，且上页上页下页下页返回返回5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分思考练习思考练习(D) 曲线曲线 在点在点 的切向量的切向量为为答案（答案（C）上页上页下页下页返回返回5.1 5.1 多元函数的概念多元函数的概念思考练习思考练习设函数设函数证明证明 在点在点0,0)0,0)处的一阶偏导数存在，但在该处的一阶偏导数存在，但在该点不连续点不连续. .上页上页下页下页返回返回5.1 5.1 多元函数的概念多元函数的概念内容小内容小思考练习思考练习证证又由例又由例6知，该函数在知，该函数在 点极限不存在，故在点极限不存在，故在该点不连续。该点不连续。