第二章 逻辑代数与逻辑函数化简逻辑代数逻辑代数基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简逻辑函数的卡诺图法化简逻辑函数的卡诺图法化简2.1 逻辑代数逻辑代数l逻辑变量（自变量）逻辑变量（自变量）普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。例如时间例如时间 t ，取值范围，取值范围 0, + ) ，表示时间的变化。，表示时间的变化。逻辑变量的取值范围为逻辑变量的取值范围为 0 和和 1 ，表示两种状态。，表示两种状态。l逻辑函数（因变量）逻辑函数（因变量）普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为 0 和和 1 。与门国标符号与门国标符号与门国际流行符号与门国际流行符号ABC2.2 基本逻辑运算基本逻辑运算与与开关开关A开关开关B灯灯F断断断断断断通通通通断断通通通通灭灭灭灭亮亮灭灭ABABF000110110010真值表真值表0AB&2.2 基本逻辑运算基本逻辑运算或或开关开关A开关开关B灯灯F断断断断断断通通通通断断通通通通灭灭亮亮亮亮亮亮AB或门国标符号或门国标符号AB或门国际流行符号或门国际流行符号ABABF000110110111真值表真值表ABC2.2 基本逻辑运算基本逻辑运算非非A开关开关A灯灯F关关亮亮开开灭灭AF0110AA非门国标符号非门国标符号非门国际流行符号非门国际流行符号ABABABAB与非门与非门或非门或非门1 1&1 111 1& &12.2 基本逻辑运算基本逻辑运算异或、同或、与或非异或、同或、与或非l异或：异或：输入的两个变量相同时，输出为输入的两个变量相同时，输出为 0；相反时，输出为；相反时，输出为 1。ABl同或：同或：输入的两个变量相同时，输出为输入的两个变量相同时，输出为 1；相反时，输出为；相反时，输出为 0。ABl与或非：与或非：ABCDAB1 1&1 1&1多变量的异或多变量的异或ABCDFABCDFABCDF000001000111101101001011101111111101001001001结论：多个变量异或时，变量中有奇数个结论：多个变量异或时，变量中有奇数个 1 时，结果为时，结果为 1；变量中有偶数个变量中有偶数个 1 时，结果为时，结果为 0。2.3.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律l逻辑函数的相等：逻辑函数的相等：l逻辑代数的基本定律：逻辑代数的基本定律：例例 2.3.1：P19BCAABAC真值表相同真值表相同P21，熟记，熟记例例 2.3.2：摩根定理：摩根定理l反演规则反演规则2.3.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则l代入规则代入规则l对偶规则：对偶规则：对偶式对偶式相等的逻辑函数的对偶式也相等相等的逻辑函数的对偶式也相等2.4.1 逻辑函数的基本形式逻辑函数的基本形式与或式：先与后或与或式：先与后或l一个逻辑函数可以有许多不同的表达式，其基本形式有：一个逻辑函数可以有许多不同的表达式，其基本形式有： 在电路上可以用与门在电路上可以用与门和或门实现。和或门实现。或与式：先或后与或与式：先或后与 在电路上可以用或门在电路上可以用或门和与门实现。和与门实现。与非式：只有与非运算与非式：只有与非运算 在电路上可以用与非门在电路上可以用与非门实现。实现。或非式：只有或非运算或非式：只有或非运算 在电路上可以用或非门在电路上可以用或非门实现。实现。与或非式：只有与或非运算与或非式：只有与或非运算 在电路上可以用与或非门在电路上可以用与或非门实现。实现。2.4.2 逻辑函数的转换逻辑函数的转换l通常是将通常是将“与或式与或式”转换为其他形式转换为其他形式与或式转换为或与式与或式转换为或与式与或式转换为与非式与或式转换为与非式或与式转换为或非式或与式转换为或非式或与式转换为与或非式或与式转换为与或非式2.4.3 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简l化简的意义：化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。l化简的方法：化简的方法：综合利用综合利用 P21 表表 2.3.4 的基本定律的基本定律并项法：利用并项法：利用吸收法：利用吸收法：利用消去法：利用消去法：利用配项法：利用配项法：利用l化简的标准：化简的标准：常用的函数形式为与或式，最简的与或式应该是：常用的函数形式为与或式，最简的与或式应该是：乘积项的数目最少，同时每个乘积项中变量的个数最少。乘积项的数目最少，同时每个乘积项中变量的个数最少。例例 2.4.1例例 2.4.2例例 习题二习题二 2.6 (8)例例 习题二习题二 2.6 (10)2.5.1 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式l公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。l卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。l利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。000000000000000000000000000000000000000000000000000000002.5.1 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式l最小项：最小项：含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反变量的形式仅出现一次。变量的形式仅出现一次。l n 个变量共有个变量共有 个最小项。个最小项。 A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 11 0 11 1 01 1 101234567111111112.5.1 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式l最小项表达式最小项表达式 l任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式标准与或表达式。标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。l最小项可用最小项可用“mi” 表示，下标表示，下标“i”即最小项的编号。即最小项的编号。l编号方法：把最小项取值为编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。l最小项性质：最小项性质：对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组，而变量取其余各组值时，该最小项均为值时，该最小项均为0；任意两个不同的最小项之积恒为任意两个不同的最小项之积恒为0；变量全部最小项之和恒为变量全部最小项之和恒为1。 l逻辑函数的最小项表达式：逻辑函数的最小项表达式：全部以最小项组成的与或式全部以最小项组成的与或式2.5.2 逻辑函数的卡诺图l逻辑函数的卡诺图：逻辑函数的卡诺图：卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：诺图的原则是：n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）；个小方块（最小项）；最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。逻辑相邻：两个最小项逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同只有一个变量的形式不同,其余的都相其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：几何相邻的含义：l一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；l二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；l三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。2.5.2 逻辑函数的卡诺图l卡诺图的画法：卡诺图的画法：3变量的卡诺图有23个小方块；几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码 ）排列 。正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。2.5.2 逻辑函数的卡诺图00 01 11 1001m7m3m6m1m0m4m5m2l卡诺图的画法：卡诺图的画法：从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。 2.5.2 逻辑函数的卡诺图 1 1 1 100 01 11 10010000填写卡诺图的技巧填写卡诺图的技巧00 01 11 10000111101111111110001111000 01 11 102.5.4 利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数l把卡诺图上相邻的把卡诺图上相邻的 1 用圆圈圈起来，按用圆圈圈起来，按“从小到大从小到大”的顺序的顺序l圆圈里尽可能包含最多的圆圈里尽可能包含最多的 1 ，1 的个数为的个数为 ，圆圈数尽可能少，圆圈数尽可能少l同一区域可以被重复圈同一区域可以被重复圈l每个每个 1 都要被圈到都要被圈到111111111卡诺图法化简逻辑函数的步骤卡诺图法化简逻辑函数的步骤l把逻辑函数写成最小项表达式把逻辑函数写成最小项表达式l画出卡诺图画出卡诺图l在对应最小项的位置在对应最小项的位置 填写填写 1l画圈（注意规则）画圈（注意规则）l将圈中的将圈中的 1 合并成为合并成为“与与”表达式表达式l将合并后的将合并后的“与与”表达式相或，即得到化简后的逻辑函数表达式相或，即得到化简后的逻辑函数（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A基本步骤： 画出逻辑函数的卡诺图； 合并相邻最小项（圈组）； 从圈组写出最简与或表达式。 B正确圈组的原则 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项； 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次； 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。 C从圈组写最简与或表达式的方法： 将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量； 将各与项相或，便得到最简与或表达式。用卡诺图化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：相邻相邻BCAB D例1-11 化简图示逻辑函数。解：多余的圈112233442.5.6 有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l“约束约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约制约”的概的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许），或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现出现(约束项约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号项或任意项，在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中表示，在标准与或表达式中用用d（）表示。（）表示。l“约束条件约束条件”所含的最小项称为所含的最小项称为“约束项约束项”，或，或“无关项无关项”、“禁禁止项止项”2.5.6 有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l例例 2.5.3：如图电路，：如图电路，A、B、C、D 是十进制数是十进制数 x 的的 8421BCD 编码，编码，当当 x5 时输时输出出 F 为为1。求。求 F 的最的最简简与或表达式。与或表达式。ABCDFl解：列真值表解：列真值表 画卡画卡诺图诺图0001111000 01 11 1011111xA B C DF50 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191 0 0 11-1 0 1 0-1 0 1 1-1 1 0 0-1 1 0 1-1 1 1 0-1 1 1 1如何处理约束项如何处理约束项0001111000 01 11 10111110001111000 01 11 1011111l将约束项当作任意项处理，将约束项当作任意项处理，可可 0 可可 1习题二习题二2.5 (5)2.6 (3) (4) (5) (6) (7) (9) (11) (12)2.72.9 (2) (4) (6) (8)2.10