北师大版高中数学选修2-2第一章第四节平利县中学 教师：龙 涛2015年3月23日 问题情境一问题情境一已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为 （1 1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2 2）你的猜想正确吗？）你的猜想正确吗？（2）事实上，故猜想不成立。（1 1）求出数列前）求出数列前4 4项项, ,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？正确的？对于数列对于数列，问题情境二问题情境二(2)从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不不完完全全归归纳纳法法，其其结结果果不不一一定定可可靠靠，还需证明的。还需证明的。 为了证明此类与正整数有关的问题，我们需要学习数学归纳法数学归纳法！北师大版高中数学选修2-2第一章第四节目标：1.初步理解数学归纳法原理.2.理解和记住数学归纳法证明数学命题的两个步骤.3.初步体会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式.4.掌握归纳与猜想的关系，能运用数学归纳法解决简单实际问题骨牌全倒下，需要哪些条件呢？问题探究问题探究我们先从多米诺骨牌游戏说起。 当n=k证明当n=k+1时命题也成立从而命题对所有的正整数n都成立.(1)证明当n取 时命题成立;(2)假设 .证明一个与正整数n有关的命题,按下列步骤进行第一个值n0归纳奠基奠基归纳递推推(n0N+)（kn0,kN+)时命题成立， 生成概念生成概念 例1.用数学归纳法证明： 证明：那么当那么当n=k+1时时这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知的等式对任何），可知的等式对任何 都成立都成立用上假设递推才真写完结论才算完整需要证明需要证明的式子是的式子是?怎样用假怎样用假设设?带入原题中，不带假设中1、证明：由由、 可知对任何可知对任何nN*时，等式都成立时，等式都成立这就是说，当这就是说，当n n= =k k+1+1时，等式也成立时，等式也成立需要证明需要证明的式子是的式子是?找准起点奠基要稳用上假设递推才真写完结论才算完整1、用数学归纳法证明的对象是与有关的命题。正整数2、在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。3、书写必须规范(1)证明当n取第1个值时，命题成立(2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立(3)由(1) 、(2)得出结论两个步骤一个结论 例2.已知数列 满足 ， 试猜想 的通项公式并用数学归纳法证明. 解：请同学们练习用数学归纳法证明这个结论下面用数学归纳法证明： 平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，试猜想交点的个数f(n)，并证明你的结论。1 6 3 2条直线3条直线4条直线请证明你请证明你的结论的结论下面用数学归纳法证明：由由(1) 、(2) 可知对任何可知对任何 时，公式成时，公式成立立这就是说，当这就是说，当n n= =k k+1+1时，公式也成立时，公式也成立思考：(1) 用数学归纳法来证明问题需要几个步骤？这些步骤能否缺少，书写上要注意什么？(2)数学归纳法蕴含着什么数学思想？(3) 前面学习的归纳法和数学归纳法一样吗？反思提高反思提高1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明，要掌握数学归纳法的书写格式，即两个步骤，一个结论。2.数学归纳法是一种方法，更是一种思想，是一种用“有限”的手段解决“无限”的问题。3.归纳法与数学归纳法是两个貌合神离的概念：归纳法是根据事物的部分特征得出整体特征的推理方法，结论未必正确；而数学归纳法的结论是绝对正确的。反思提高反思提高作业布置：1.学案1.4练习题