6 6 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系第第2 2课时课时 1.1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线通过学习判定一条直线是否为圆的切线, ,训练学生的训练学生的推理判断能力推理判断能力2.2.会过圆上一点画圆的切线会过圆上一点画圆的切线, ,训练学生的作图能力训练学生的作图能力3.3.会作三角形的内切圆会作三角形的内切圆 直线和圆相交直线和圆相交d d r rd d r r直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相离直线和圆相离d d r r相交相交相切相切相离相离 B BO OA Ald d d dd d你能写出一个命题来表述这个事你能写出一个命题来表述这个事实吗实吗? ?如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径, ,直线直线l经过点经过点A,A,l与与ABAB的夹角为的夹角为,当当l绕点绕点A A顺时针旋转时顺时针旋转时, , 圆心圆心O O到直线到直线l的的距离距离d d如何变化？如何变化？过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. .C CD DB BOA AABAB是是O O的直径的直径, ,直线直线CDCD经过经过A A点点, ,且且CDAB,CDAB, CD CD是是O O的切线的切线. .这个定理实际上就是这个定理实际上就是d=r d=r 直线和圆相切直线和圆相切的另一种说法的另一种说法. .探究新知探究新知例例1.1.如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径, ABT=45,AT=BA, ABT=45,AT=BA求证求证:AT:AT是是O O的切线的切线. . A AT TB BO O证明：证明：ATAT经过直径的一端，因此只要证经过直径的一端，因此只要证ATAT垂直于垂直于ABAB即可，即可，而由已知条件可知而由已知条件可知AT=ABAT=AB，所以，所以ABTABTATBATB，又由，又由ABTABT4545，所以，所以ATB=45.ATB=45.由三角形内角和定理可证由三角形内角和定理可证TAB=90TAB=90，即，即ATABATAB，故，故ATAT是是O O的切线的切线 【例题例题】1.1.如图如图, ,已知直线已知直线AB AB 经过经过O O上的点上的点C, C, 并且并且AO=OB,CA=CB,AO=OB,CA=CB,那么直线那么直线 ABAB是是O O的切线吗的切线吗? ?解：解：连接连接OCOC，C C为半径的外端，因此只要为半径的外端，因此只要证证OCOC垂直于垂直于ABAB即可，而由已知条件即可，而由已知条件AO=OBAO=OB，所以，所以A AB B，又由，又由ACACBCBC，所以，所以OCABOCAB直线直线ABAB是是O O的切线的切线. .【跟踪训练跟踪训练】2 2如图如图, ,已知：已知：OA=OBOA=OB,AB,AB，以，以O O为圆心，以为圆心，以3 3为半为半径的圆与直线径的圆与直线ABAB相切吗？为什么？相切吗？为什么？解：解：过过O O作作OCAB OCAB ，因此只要证，因此只要证OC=3OC=3即可即可, ,而由已知而由已知条件可知条件可知AO=OB=5AO=OB=5，AB=8AB=8，所以，所以ACACBC=4BC=4，据勾股定，据勾股定理得理得OC=3. OOC=3. O与直线与直线ABAB相切相切. .从一块三角形材料中从一块三角形材料中, ,能否剪下一个圆能否剪下一个圆, ,使其使其与各边都相切与各边都相切? ?ABCABCIDMN探究新知探究新知三角形的内切圆作法：三角形的内切圆作法：（1 1）作）作ABC,ACBABC,ACB的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I.I.（2 2）过点）过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D.D.（3 3）以）以I I为圆心，为圆心，IDID为半径作为半径作I I， I I就是所求就是所求. .BEBE和和CFCF只有一个交点只有一个交点I,I,并且点并且点I I到到ABCABC三边的距离相等三边的距离相等, ,因此和因此和ABCABC三边都相切的三边都相切的圆可圆可以作出一个以作出一个, ,并且只能作一个并且只能作一个. .ABCIEF定义：定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. . 内内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点交点. .这样的圆可以作出几个呢这样的圆可以作出几个呢? ?为什么为什么? ?分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形, ,直角三角形直角三角形, ,钝角三角形的内切钝角三角形的内切圆圆, ,并说明它们内心的位置情况并说明它们内心的位置情况. .内心均在三角形内部内心均在三角形内部A AB BC CA AB BC CC CA AB B做一做做一做判断题：判断题：1.1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）2.2.三角形的外心到三角形各边的距离相等三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）3.3.等边三角形的内心和外心重合（等边三角形的内心和外心重合（ ）4.4.三角形的内心一定在三角形的内部（三角形的内心一定在三角形的内部（ ）错错错错对对对对巩固练习巩固练习例例2.2.如图，在如图，在ABCABC中，点中，点O O是内心，是内心， （1 1）若）若ABC=50ABC=50，ACB=70ACB=70，则则BOCBOC的度数是的度数是 . .A AB BC CO O（2 2）若）若A=80A=80，则，则BOC= .BOC= . （3 3）若）若BOC=110BOC=110，则，则A= .A= .1301304040120120【例题例题】A AB BC C解：由解：由RtABCRtABC的三边长与其内切圆半径间的三边长与其内切圆半径间的关系得的关系得A AB BC COb ba ac cO OD DE EF F【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知已知: :如图如图, ,OO是是RtABCRtABC的内切圆的内切圆, ,CC是直角是直角, AC=3,BC=4., AC=3,BC=4.求求O O的半径的半径r.r.A AB BC CO OE ED DF F2.2.已知已知: :如图如图,ABC,ABC的面积的面积S=4cmS=4cm2 2, ,周长等于周长等于10cm.10cm.求内切圆求内切圆O O的半径的半径r.r.3.3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象. .已知雕塑已知雕塑中心中心M M到道路三边到道路三边ACAC，BCBC，ABAB的距离相等，的距离相等，ACBCACBC，BC=30BC=30米，米，AC=40AC=40米米. .求镇标雕塑求镇标雕塑中心中心M M离道路三边的距离有多远？离道路三边的距离有多远？A AC CB B古镇区古镇区镇镇商商业业区区镇工业区镇工业区 ME ED DF F提示：提示：ACBCACBC，BC=30BC=30米，米，AC=40AC=40米米, ,得得AB=50AB=50米米. .由由得得M M离道路三边的距离为离道路三边的距离为1010米米. .1.1.（黄冈（黄冈中考）如图，点中考）如图，点P P为为ABCABC的内心，延长的内心，延长APAP交交ABCABC的外接圆于的外接圆于D D，在，在ACAC延长线上有一点延长线上有一点E E，满足，满足ADAD2 2ABAEABAE，求证：，求证：DEDE是是O O的切线的切线. .证明：证明：连接连接DCDC，DODO，并延长，并延长DODO交交O O于于F F，连接，连接AF.AF.ADAD2 2ABABAEAE，BADBADDAEDAE，BADDAEBADDAE，ADBADBE.E.又又ADBADBACBACB，ACBACBE E，BCDEBCDE，CDECDEBCDBCDBADBADDACDAC，又又CAFCAFCDFCDF，FDEFDECDE+CDFCDE+CDFDAC+CAFDAC+CAFDAFDAF9090，故故DEDE是是O O的切线的切线. .2.2.（德化（德化中考）如中考）如图，在矩形，在矩形ABCDABCD中，点中，点O O在在对角角线ACAC上，以上，以OAOA的的长为半径的半径的圆O O与与ADAD，ACAC分分别交于点交于点E E，F F，且，且ACB=DCEACB=DCE(1)(1)判断直线判断直线CECE与与O O的位置关系，的位置关系，并证明你的结论并证明你的结论. .(2)(2)若若tanACB= tanACB= ，BC=2BC=2，求求O O的半径的半径. .【解析解析】（1 1）直线）直线CECE与与O O相切相切. . 四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， BCADBCAD，ACB=DAC ACB=DAC ， 又又 ACB=DCEACB=DCE，DAC=DCE,DAC=DCE,连接连接OEOE，则，则DAC=AEO=DCEDAC=AEO=DCE，DCE+DEC=90DCE+DEC=90，AE0+DEC=90AE0+DEC=90，OEC=90 OEC=90 ， 直线直线CECE与与O O相切相切. .BC=2BC=2，AB=BCtanACB=AB=BCtanACB= AC= . AC= .又又ACB=DCE tanDCE= ACB=DCE tanDCE= ，设设O O的半径为的半径为r r，则在，则在RtCOERtCOE中，中，解得：解得：r= .r= .（2 2）tanACB=tanACB=DE=DCDE=DC tanDCE=1tanDCE=1，在在RtCDERtCDE中，中，CE=CE=得得，由由3.3.（临沂沂中考）如中考）如图,AB,AB是半圆的直径是半圆的直径,O,O为圆心，为圆心，ADAD，BDBD是半圆的弦，且是半圆的弦，且PDA=PBD.PDA=PBD.（1 1）判断直线）判断直线PDPD是否为是否为O O的切线，并说明理由的切线，并说明理由. .（2 2）如果）如果BDE=60BDE=60， ，求，求PAPA的长的长. .【解析解析】（1 1）PDPD是是O O的切线的切线. .连接连接OD,OB=OD,OD,OB=OD,ODB=PBD.ODB=PBD.又又PDA=PBD.ODB=PDA.PDA=PBD.ODB=PDA.又又ABAB是半圆的直径，是半圆的直径，ADB=90.ADB=90.即即ODB+ODA=90. ODA+PDA=90,ODB+ODA=90. ODA+PDA=90,即即ODPD.PDODPD.PD是是O O的切线的切线. .（2 2）BDE=60,ODE=90,ADB=90,BDE=60,ODE=90,ADB=90,ODB=30,ODA=60.ODB=30,ODA=60.OA=OD,OA=OD,AODAOD是等边三角形是等边三角形. .POD=60.POD=60.P=PDA=30.P=PDA=30.在在RtPDORtPDO中，设中，设OD=x,OD=x,xx1 1=1,x=1,x2 2=-1=-1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）PA=1.PA=1.【规律方法规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法的作法：（：（1 1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（于半径；（2 2）连接圆心与圆上的点，证垂直）连接圆心与圆上的点，证垂直. .本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：1 1探索切线的判定条件探索切线的判定条件2 2作三角形的内切圆作三角形的内切圆3 3了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念风再大也会停，路再长也要行。当你到达风再大也会停，路再长也要行。当你到达平静的港湾，找到美丽的城堡，才能真切平静的港湾，找到美丽的城堡，才能真切感受到：坚持是如此重要。感受到：坚持是如此重要。