算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数中位数中位数众数众数主要内容主要内容数数值值平平均均数数位置平均数位置平均数第一节第一节平均指标（平均数）的涵义平均指标（平均数）的涵义概念概念平平均均指指标标反反映映同同类类现现象象的的一一般般水水平平，是是对对变变量量分分布布集集中中趋趋势势的的测测定定。它它消消除除了了总总体体各各单单位位标标志志值值之之间间的的数数量量差差异异，它它是是总总体体各各单单位位某某一一数数量量标标志志的的代代表表数数值值。也也叫叫集集中中趋趋势势指指标标、静静态态平平均均数数或或一一般般平平均均数数。如如：平平均均工工资资、平平均均价价格等。格等。数据集中区数据集中区变量变量x作用作用：比较的作用：比较的作用表表6.1 6.1 按日产量分组表按日产量分组表日产量分组（件）日产量分组（件） 工人人数（人）工人人数（人） 151516161717181819192020101020203030505040403030合合 计计 180180 180名工人的平均日产量为名工人的平均日产量为18件件平均指标的种类平均指标的种类指标名称指标名称指标名称指标名称 简单平均数简单平均数简单平均数简单平均数 公式公式公式公式 加权平均数公式加权平均数公式加权平均数公式加权平均数公式算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数中位数中位数中位数中位数将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值将总体标志值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值众数众数众数众数总体中出现次数最多的标志值总体中出现次数最多的标志值总体中出现次数最多的标志值总体中出现次数最多的标志值数数值值平平均均数数位置位置平均平均数数第二节第二节算术平均数（算术平均数（） 算术平均数及其基本计算公式算术平均数及其基本计算公式 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数= = = =总体标志总量总体标志总量总体标志总量总体标志总量/ / / /总体单位总量总体单位总量总体单位总量总体单位总量即：即：即：即： 利利利利用用用用上上上上面面面面的的的的基基基基本本本本公公公公式式式式，若若若若已已已已知知知知总总总总体体体体标标标标志志志志总总总总量量量量和和和和总总总总体单位总量体单位总量体单位总量体单位总量, , , ,计算算术平均数甚为简单。计算算术平均数甚为简单。计算算术平均数甚为简单。计算算术平均数甚为简单。 算术平均数基本计算公式的说明算术平均数基本计算公式的说明注意：上述公式的分子和分母在总体范围上注意：上述公式的分子和分母在总体范围上注意：上述公式的分子和分母在总体范围上注意：上述公式的分子和分母在总体范围上是可比的，即两者属于同一总体。是可比的，即两者属于同一总体。是可比的，即两者属于同一总体。是可比的，即两者属于同一总体。 使使使使用用用用条条条条件件件件：各各各各单单单单位位位位标标标标志志志志值值值值的的的的总总总总和和和和等等等等于于于于总总总总体体体体标标标标志总量。志总量。志总量。志总量。 算术平均数的种类及计算算术平均数的种类及计算简单算术平均数简单算术平均数设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：x x1 1 ，x x2 2 ， ，x x n n 简单均值的计算公式为简单均值的计算公式为简单均值的计算公式为简单均值的计算公式为加权算术平均数加权算术平均数设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：x x1 1 ，x x2 2 ， ，x xn n相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为： f f1 1 ， f f2 2， ，f fn n 加权均值的计算公式为加权均值的计算公式为加权均值的计算公式为加权均值的计算公式为权数（权数（Weighted），），是分布数列中的频数或频率是分布数列中的频数或频率（严格地说，权数应指频率），严格地说，权数应指频率），对求平均数具有权对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响衡轻重的作用，是影响加权加权平均数变动的两个因素平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。之一（另一因素是变量值）。权数权数例例(1)(2)(3)X456合计合计频数频数 频率频率(%)10201025.050.025.040100.0X456合计合计频数频数 频率频率(%)20402025.050.025.080100.0X456合计合计频数频数 频率频率(%)20101050.025.025.080100.0=5=5=4.75简单算术平均数公式的应用简单算术平均数公式的应用1原始数据:10591368简单算术平均数公式的应用简单算术平均数公式的应用2 例例例例: : : : 设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量分别为分别为分别为分别为20202020、22222222、23232323、25252525、27272727件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：简单算术平均数公式的应用简单算术平均数公式的应用2 例例例例: : : : 设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量设某工业企业某一生产班组个工人的日产量分别为分别为分别为分别为20202020、22222222、23232323、25252525、27272727件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：件。则人均日产量为：件件 加权算术平均数公式的应用加权算术平均数公式的应用1 表表表表6.2 6.2 6.2 6.2 按日产量分组表按日产量分组表按日产量分组表按日产量分组表 日产量（件）日产量（件） 工人人数（人）工人人数（人） 20202222232325252727 8 8101015151212 5 5160160220220345345300300135135合合 计计 5050 11601160 平均日产量平均日产量: 件件 加权算术平均数公式的应用加权算术平均数公式的应用2甲乙两组各有甲乙两组各有甲乙两组各有甲乙两组各有1010名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：甲组：甲组：甲组： 考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（x x ）: : 0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（人数分布（人数分布（f f ）：）：）：）：1 1 81 1 8 乙组：乙组：乙组：乙组： 考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（x x）: : 0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（人数分布（人数分布（f f）：）：）：）：8 1 18 1 1加权算术平均数公式的应用加权算术平均数公式的应用3表表表表 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零件数分组组中值（组中值（组中值（组中值（x x）频数（频数（频数（频数（f f）xfxf105105 110110110110 115115115115 120120120120125125125125 130130130130 135135135135 140140107.5107.5112.5112.5117.5117.5122.5122.5127.5127.5132.5132.5137.5137.53 35 58 8141410106 64 4322.5322.5562.5562.5940.0940.01715.01715.01275.01275.0795.0795.0550.0550.0合计合计合计合计50506160.06160.0计算计算计算计算5050名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值两种算术平均数之间的关系两种算术平均数之间的关系 当当各各组组单单位位数数相相等等时时，加加权权算算术术平平均均数数等等于于简简单单算算术术平平均均数数（简简单单算算术术平平均均数数是是加权算术平均数的特例）。加权算术平均数的特例）。 =算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质1 1、各各各各个个个个变变变变量量量量值值值值与与与与其其其其算算算算术术术术平平平平均均均均数数数数的的的的离离离离差差差差总总总总和和和和恒恒恒恒等等等等于于于于零。零。零。零。 记作：记作：记作：记作：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为：算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质2 2 2 2、各各各各个个个个变变变变量量量量值值值值与与与与其其其其算算算算术术术术平平平平均均均均数数数数的的的的离离离离差差差差平平平平方方方方总总总总和和和和为最小值。为最小值。为最小值。为最小值。记作：记作：记作：记作：n n简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为： 加权算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为：算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质3 3 3 3、算术平均数与总体单位数的乘积等于各个变量、算术平均数与总体单位数的乘积等于各个变量、算术平均数与总体单位数的乘积等于各个变量、算术平均数与总体单位数的乘积等于各个变量值的总和。值的总和。值的总和。值的总和。记作：记作：记作：记作：n n 简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：简单算术平均数的关系式为：n n 加权算术平均数的关系式为：加权算术平均数的关系式为： 第三节第三节 调和平均数（调和平均数（H）概念概念调和平均数又称调和平均数又称“倒数平均数倒数平均数”，它是根，它是根据变量值的倒数来计算的平均数，具体说，据变量值的倒数来计算的平均数，具体说，调和平均数就是各个变量值倒数的算术平调和平均数就是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。均数的倒数。使用使用统计中往往是把调和平均数的计算形式，统计中往往是把调和平均数的计算形式，作为算术平均数的变形形式来使用的作为算术平均数的变形形式来使用的。调和平均数的计算调和平均数的计算简单调和平均数简单调和平均数简单调和平均数简单调和平均数设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：x x1 1 ，x x2 2 ， ，x x n n ， 则其计算公式为则其计算公式为则其计算公式为则其计算公式为加权调和平均数加权调和平均数加权调和平均数加权调和平均数设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：x x1 1 ，x x2 2 ， ，x xn n相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为： mm1 1 ， mm2 2， ，mmn n，则其计算公式为则其计算公式为则其计算公式为则其计算公式为其中：其中：m=xf简单调和平均数计算举例简单调和平均数计算举例例例例例: : : : 设设设设市市市市场场场场上上上上某某某某种种种种蔬蔬蔬蔬菜菜菜菜早早早早、中中中中、晚晚晚晚的的的的价价价价格格格格每每每每斤斤斤斤分分分分别别别别为为为为：0.250.250.250.25元元元元，0.200.200.200.20元元元元，0.100.100.100.10元元元元。现现现现在在在在早早早早、中中中中、晚晚晚晚各买各买各买各买1 1 1 1元，求平均每斤的价格？元，求平均每斤的价格？元，求平均每斤的价格？元，求平均每斤的价格？ 平均每斤的价格应为：平均每斤的价格应为：平均每斤的价格应为：平均每斤的价格应为：加权调和平均数加权调和平均数计算举例计算举例表表表表 某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜蔬菜蔬菜名称名称名称名称批发价格批发价格批发价格批发价格( (元元元元) ) x x成交额成交额成交额成交额( (元元元元) ) mm成交量成交量成交量成交量( (公斤公斤公斤公斤) )m / xm / x甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙1.201.200.500.500.800.8018000180001250012500640064001500015000250002500080008000合计合计合计合计36900369004800048000某某某某蔬蔬蔬蔬菜菜菜菜批批批批发发发发市市市市场场场场三三三三种种种种蔬蔬蔬蔬菜菜菜菜的的的的日日日日成成成成交交交交数数数数据据据据如如如如表表表表，计计计计算算算算三三三三种种种种蔬蔬蔬蔬菜菜菜菜该日的平均批发价格该日的平均批发价格该日的平均批发价格该日的平均批发价格价格（元）价格（元）3.32.52.0合计合计销售量（斤销售量（斤）f34512价格（元）价格（元）3.32.52.0合计合计销售额（元）销售额（元）m10101030两种平均数比较两种平均数比较例：求某种商品三地零售价格的平均值例：求某种商品三地零售价格的平均值算术平均算术平均调和平均调和平均由相对数求平均数由相对数求平均数例例例例: : : : 根据表中资料计算管理局平均计划完成情况根据表中资料计算管理局平均计划完成情况根据表中资料计算管理局平均计划完成情况根据表中资料计算管理局平均计划完成情况计划完成程度计划完成程度计划完成程度计划完成程度 （% % % %） 企业数企业数企业数企业数 计划产值计划产值计划产值计划产值（万元）（万元）（万元）（万元） 组中值组中值组中值组中值（% % % %） 90100901009010090100100110100110100110100110110120110120110120110120 2 2 2 210101010 3 3 3 3 2052052052051500150015001500 345 345 345 34595959595105105105105115115115115194.75194.75194.75194.751575157515751575396.75396.75396.75396.75合合合合 计计计计1515151520502050205020502166.52166.52166.52166.5 总产值总产值平均平均平均平均计计划完成程度：划完成程度：划完成程度：划完成程度： 凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法平均法 凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法平均法。调和平均数与算术平均数的区别调和平均数与算术平均数的区别平均指标平均指标=第四节第四节 几何平均数几何平均数 ( G ) 1. 1. 集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一 2. 2. N N 个变量值连乘积的个变量值连乘积的个变量值连乘积的个变量值连乘积的 N N 次方根次方根次方根次方根 3. 3. 主要用于计算平均比率和平均发展速度主要用于计算平均比率和平均发展速度主要用于计算平均比率和平均发展速度主要用于计算平均比率和平均发展速度 4. 4. 计算公式为计算公式为计算公式为计算公式为 5. 5. 可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形, , 也叫对数平均数也叫对数平均数也叫对数平均数也叫对数平均数 6. 6. 已分组资料的计算公式为已分组资料的计算公式为变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象例如例如例如例如各车间产品合格率的总和各车间产品合格率的总和各车间产品合格率的总和各车间产品合格率的总和 = = = = 全厂总的合格率（不成立）全厂总的合格率（不成立）全厂总的合格率（不成立）全厂总的合格率（不成立） 第一车间的产品合格率第一车间的产品合格率第一车间的产品合格率第一车间的产品合格率 = = = = 第一车间合格品数量第一车间合格品数量第一车间合格品数量第一车间合格品数量 / / / / 第一车间产品总数量第一车间产品总数量第一车间产品总数量第一车间产品总数量 第二车间的产品合格率第二车间的产品合格率第二车间的产品合格率第二车间的产品合格率 = = = = 第二车间合格品数量第二车间合格品数量第二车间合格品数量第二车间合格品数量 / / / / 第一车间合格品数量第一车间合格品数量第一车间合格品数量第一车间合格品数量 第三车间的产品合格率第三车间的产品合格率第三车间的产品合格率第三车间的产品合格率 = = = = 第三车间合格品数量第三车间合格品数量第三车间合格品数量第三车间合格品数量 / / / / 第二车间合格品数量第二车间合格品数量第二车间合格品数量第二车间合格品数量 第四车间的产品合格率第四车间的产品合格率第四车间的产品合格率第四车间的产品合格率 = = = = 第四车间合格品数量第四车间合格品数量第四车间合格品数量第四车间合格品数量 / / / / 第三车间合格品数第三车间合格品数第三车间合格品数第三车间合格品数则则则则: : : :各车间产品合格率的连乘积各车间产品合格率的连乘积各车间产品合格率的连乘积各车间产品合格率的连乘积 = = = = 第四车间合格品数量第四车间合格品数量第四车间合格品数量第四车间合格品数量 / / / / 第一车间产品总数量第一车间产品总数量第一车间产品总数量第一车间产品总数量几何平均数的几何平均数的使用条件使用条件= = 全厂总的合格率（成立）全厂总的合格率（成立）全厂总的合格率（成立）全厂总的合格率（成立）几何平均数计算举例几何平均数计算举例1一一位位投投资资者者持持有有一一种种股股票票，19961996年年、19971997年年、19981998年年和和19991999年年收收益益率率分分别别为为4.5%4.5%、2.0%2.0%、3.5%3.5%、5.4%5.4%。计计算算该该投投资资者者在在这这四四年年内内的的平平均均收益率。收益率。平均收益率平均收益率平均收益率平均收益率103.84%-1=3.84%103.84%-1=3.84%几何平均数计算举例几何平均数计算举例2 例例例例: : : : 设设设设某某某某工工工工业业业业企企企企业业业业有有有有五五五五个个个个流流流流水水水水作作作作业业业业的的的的车车车车间间间间。某某某某日日日日各各各各车车车车间间间间制制制制品品品品合合合合格格格格率率率率分分分分别别别别为为为为92929292，98989898，95959595，94949494，88888888。要求计算五个车间的制品平均合格率。要求计算五个车间的制品平均合格率。要求计算五个车间的制品平均合格率。要求计算五个车间的制品平均合格率。 平均合格率为：平均合格率为：平均合格率为：平均合格率为：几何平均数计算举例几何平均数计算举例3 例例例例: : : : 某某某某商商商商业业业业银银银银行行行行某某某某笔笔笔笔投投投投资资资资是是是是按按按按复复复复利利利利计计计计算算算算的的的的，其其其其12121212年年年年的的的的年年年年利利利利率率率率分分分分别别别别为为为为：有有有有4 4 4 4年年年年为为为为3 3 3 3，2 2 2 2年年年年为为为为5 5 5 5，2 2 2 2年年年年为为为为8 8 8 8，3 3 3 3年为年为年为年为10101010，1 1 1 1年为年为年为年为15151515。要求计算平均年利率。要求计算平均年利率。要求计算平均年利率。要求计算平均年利率。 该例分两步计算该例分两步计算该例分两步计算该例分两步计算n n先依公式计算平均年本利率：先依公式计算平均年本利率：先依公式计算平均年本利率：先依公式计算平均年本利率： = = n n 再计算平均年利率为：再计算平均年利率为：再计算平均年利率为：再计算平均年利率为：G G G G1 = 106.821 = 106.821 = 106.821 = 106.821001001001006.826.826.826.82.第五节第五节 中位数中位数1.1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一2.2.排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值MMe e50%50%3.3.不受极端值的影响不受极端值的影响不受极端值的影响不受极端值的影响4.4.主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据类数据类数据类数据5.5.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数的确定中位数的确定 中中位位数数是是在在序序列列中中居居于于中中间间位位置置的的数数值值。这这里里所所谓谓序序列列，是是指指将将总总体体各各单单位位标标志志值值按按大大小小顺顺序序排排列列的的结结果果。习习惯惯上上以以e e表表示示中中位数。位数。 其其计计算算分分别别在在未未分分组组资资料料、单单项项分分组组资资料料和和组组距距分分组组资资料料中中而而不不同同。总总的的原原则则是是分分两两步步：一一是是找找出出中中位位数数的的位位置置；二二是是确确定定该该位置上的变量值为中位数。位置上的变量值为中位数。在未分组资料中计算中位数在未分组资料中计算中位数 在在未未分分组组资资料料中中计计算算中中位位数数，一一般般是是先先把把各各单单位位的的变变量量值值按按大大小小顺顺序序排排成成序序列列，若若变变量量值值的的个个数数n n为为奇奇数数个个，中中间间位位置置上上的的变变量量值值就就是是中中位位数数；若若变变量量值值的的个个数数n n为为偶偶数数个个，用用(n(n1)21)2的的公公式式计计算算中中位位数数所所在在的的位位置置，这这个个位位置置相相邻邻两两项项变变量量值值的的简简单单平均数就是中位数。平均数就是中位数。 中位数（未分组数据的中位数（未分组数据的计算公式计算公式)在未分组资料中计算中位数在未分组资料中计算中位数例例例例: : : : 计算计算计算计算10,12,14,16,1810,12,14,16,1810,12,14,16,1810,12,14,16,18的中位数。的中位数。的中位数。的中位数。 因因因因n n n n, , , ,为为为为奇奇奇奇数数数数，所所所所以以以以中中中中间间间间位位位位置置置置上上上上的的的的的的的的变变变变量量量量值值值值就就就就是中位数，即是中位数，即是中位数，即是中位数，即: : : : 14141414。例例例例: : : : 计算计算计算计算10,12,14,16,18,2010,12,14,16,18,2010,12,14,16,18,2010,12,14,16,18,20的中位数。的中位数。的中位数。的中位数。 因因因因n n n n，为偶数，所以中位数的位置在，为偶数，所以中位数的位置在，为偶数，所以中位数的位置在，为偶数，所以中位数的位置在 (6(6(6(61)1)1)1)= 3.5= 3.5= 3.5= 3.5处，即：处，即：处，即：处，即： 在单项分组资料中计算中位数在单项分组资料中计算中位数 分两步进行：分两步进行： 第第一一步步：确确定定中中位位数数所所在在组组的的位位置置f f2 2处；处； 第第二二步步：位位数数所所在在组组对对应应的的变变量量值值就是中位数。就是中位数。分组资料的中位数分组资料的中位数(算例算例)根根根根据据据据下下下下表表表表中中中中的的的的数数数数据据据据，计计计计算算算算甲甲甲甲城城城城市市市市家家家家庭庭庭庭对对对对住住住住房房房房满满满满意意意意状状状状况况况况评评评评价的中位数价的中位数价的中位数价的中位数解：中位数的位置为：解：中位数的位置为：解：中位数的位置为：解：中位数的位置为：300/2300/2150150从从从从累累累累计计计计频频频频数数数数看看看看，中中中中位位位位数数数数的的的的在在在在“ “一一一一般般般般” ”这这这这一一一一组组组组别别别别中。因此中。因此中。因此中。因此 MMe e一般一般一般一般表表表表 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 ( (户户户户) )累计频数累计频数累计频数累计频数 非常不满意非常不满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意24241081089393454530302424132132225225270270300300合计合计合计合计300300在组距分组资料中计算中位数在组距分组资料中计算中位数 分两步进行分两步进行分两步进行分两步进行 第一步：确定中位数所在组的位置第一步：确定中位数所在组的位置第一步：确定中位数所在组的位置第一步：确定中位数所在组的位置f f f f2 2 2 2处；处；处；处； 第第第第二二二二步步步步：在在在在假假假假设设设设组组组组内内内内分分分分布布布布均均均均匀匀匀匀的的的的前前前前提提提提下下下下, , , ,用用用用插插插插值值值值法法法法求求求求出中位数。其计算公式有两个：出中位数。其计算公式有两个：出中位数。其计算公式有两个：出中位数。其计算公式有两个：n n下限公式下限公式下限公式下限公式 n n上限公式上限公式上限公式上限公式 分组数据的中位数分组数据的中位数(算例算例)表表表表 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）频数（人）频数（人）累积频数累积频数累积频数累积频数105105 110110110110 115115115115 120120120120 125125125125 130130130130 135135135135 1401403 35 58 8141410106 64 43 38 816163030404046465050合计合计合计合计5050计计算算50 50 名名工工 人人 日日 加加工工 零零 件件 数数的中位数的中位数第六节第六节 众数众数1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数可能没有众数或有几个众数5.主要用于定类数据，也可用于定序主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据数据和数值型数据众数的确定众数的确定 众数是指总体中出现次数最多的变量值。众数是指总体中出现次数最多的变量值。众数是指总体中出现次数最多的变量值。众数是指总体中出现次数最多的变量值。用用用用 表示。表示。表示。表示。 在未分组资料和单项分组资料中计算众数在未分组资料和单项分组资料中计算众数在未分组资料和单项分组资料中计算众数在未分组资料和单项分组资料中计算众数比较简单，只要哪一个变量值出现次数最多，比较简单，只要哪一个变量值出现次数最多，比较简单，只要哪一个变量值出现次数最多，比较简单，只要哪一个变量值出现次数最多，则该变量值就是众数。则该变量值就是众数。则该变量值就是众数。则该变量值就是众数。 在组距分组资料中计算众数在组距分组资料中计算众数在组距分组资料中计算众数在组距分组资料中计算众数, , , ,与中位数类与中位数类与中位数类与中位数类似，假定众数组次数分布均匀的前提下似，假定众数组次数分布均匀的前提下似，假定众数组次数分布均匀的前提下似，假定众数组次数分布均匀的前提下, , , ,用插用插用插用插值法计算。值法计算。值法计算。值法计算。 众数的不唯一性众数的不唯一性无众数无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42分组数据的众数分组数据的众数 (算例算例1)表表表表 某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型广告类型广告类型广告类型人数人数人数人数( (人人人人) )比例比例比例比例频率频率频率频率(%)(%) 商品广告商品广告商品广告商品广告 服务广告服务广告服务广告服务广告 金融广告金融广告金融广告金融广告 房地产广告房地产广告房地产广告房地产广告 招生招聘广告招生招聘广告招生招聘广告招生招聘广告 其他广告其他广告其他广告其他广告11211251519 9161610102 20.5600.5600.2550.2550.0450.0450.0800.0800.0500.0500.0100.01056.056.025.525.54.54.58.08.05.05.01.01.0合计合计合计合计2002001 1100100【例例例例】根据下表中的数据，计算众数根据下表中的数据，计算众数根据下表中的数据，计算众数根据下表中的数据，计算众数解解解解：这这这这里里里里的的的的变变变变量量量量为为为为“ “广广广广告告告告类类类类型型型型” ”，这这这这是是是是个个个个定定定定类类类类变变变变量量量量，不不不不同同同同类类类类型型型型的的的的广广广广告告告告就就就就是是是是变变变变量量量量值值值值。我我我我们们们们看看看看到到到到，在在在在所所所所调调调调查查查查的的的的200200人人人人当当当当中中中中，关关关关注注注注商商商商品品品品广广广广告告告告的的的的人人人人数数数数最最最最多多多多，为为为为112112人人人人，占占占占总总总总被被被被调调调调查查查查人人人人数数数数的的的的56%56%，因因因因此此此此众众众众数数数数为为为为“ “商商商商品品品品广广广广告告告告” ”这这这这一一一一类类类类别别别别，即即即即 MMo o商品广告商品广告商品广告商品广告分组数据的众数分组数据的众数 (算例算例2)【例例例例】根据前例表中的数据，计算众数根据前例表中的数据，计算众数根据前例表中的数据，计算众数根据前例表中的数据，计算众数解解解解：这这这这里里里里的的的的数数数数据据据据为为为为定定定定序序序序数数数数据据据据。变变变变量量量量为为为为“ “回回回回答答答答类类类类别别别别” ”。甲甲甲甲城城城城市市市市中中中中对对对对住住住住房房房房表表表表示示示示不不不不满满满满意意意意的的的的户户户户数数数数最最最最多多多多，为为为为108108户户户户，因因因因此此此此众众众众数数数数为为为为“ “不不不不满满满满意意意意” ”这一类别，即这一类别，即这一类别，即这一类别，即 MMo o不满意不满意不满意不满意表表表表 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 ( (户户户户) )百分比百分比百分比百分比 (%)(%) 非常不满意非常不满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意24241081089393454530308 83636313115151010合计合计合计合计300300100.0100.0分组数据的众数分组数据的众数 (算例算例3 )表表表表 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）频数（人）频数（人）累积频数累积频数累积频数累积频数105105 110110110110 115115115115 120120120120 125125125125 130130130130 135135135135 1401403 35 58 8141410106 64 43 38 816163030404046465050合计合计合计合计50505050名名名名工工工工人人人人日日日日加加加加工工工工零件数的众数零件数的众数零件数的众数零件数的众数: :常用的几种平均数比较常用的几种平均数比较概概念念 计算计算公公式式 特特点点优点：优点：容易理解便于计算容易理解便于计算灵敏度高灵敏度高稳定性好稳定性好缺点：缺点：易受极值影响易受极值影响在偏斜分布和在偏斜分布和U形形分布中，不具有代表分布中，不具有代表性性1.算术平均数算术平均数标志总标志总量与总量与总体单位体单位总量的总量的比值比值简单：简单：加权：加权：常用的几种平均数常用的几种平均数比较比较概概念念 计算计算公公式式 特特点点优点：优点：灵敏度高灵敏度高在某种不能计在某种不能计算的条件下，可算的条件下，可以代替以代替 缺点：缺点：不易理解不易理解易受极值影响易受极值影响有有“0”值时不值时不能计算能计算 2.调和平均数调和平均数标志值标志值倒数的倒数的算术平算术平均数的均数的倒数倒数简单：简单：加权：加权：常用的几种平均数比较常用的几种平均数比较概概念念 计算计算公公式式 特特点点优点：优点：灵敏度高灵敏度高受受极极值值影影响响小小于于和和适宜于各比率之积适宜于各比率之积为总比率的变量求平为总比率的变量求平均比率均比率缺点缺点:有有“0”或负值时或负值时不能计算不能计算偶偶数数项项数数列列只只能能用用正根正根3.几何平均数几何平均数几个几个变量变量值连值连乘积乘积的的n次根次根简单：简单：加权：加权：常用的几种平均数比较常用的几种平均数比较概概念念 计算计算公公式式特特点点4.中位数中位数（Me）标志值标志值由小到由小到大顺序大顺序排列，排列，居中间居中间位置的位置的标志值。标志值。是位置是位置平均数平均数上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：优点：容易容易理解，理解，不受不受极值影响极值影响适宜于开口适宜于开口组资料和某些组资料和某些不能用数字测不能用数字测定的事物定的事物缺点：缺点：灵敏灵敏度和计算功能度和计算功能差差间断数间断数Me常用的几种平均数比较常用的几种平均数比较概概念念 计算计算公公式式特特点点5.众数众数（Mo）分配数列分配数列中出现次中出现次数最多的数最多的标志值。标志值。是位置平是位置平均数均数上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：优点：容易理解容易理解不受极值不受极值影响影响缺点：缺点：灵灵敏敏度度和和计算功能差计算功能差稳定性差稳定性差具具有有不不唯唯一性一性第七节第七节正确运用平均指标的原则正确运用平均指标的原则 1 1、计算平均指标的社会经济现象必须是同质的。、计算平均指标的社会经济现象必须是同质的。、计算平均指标的社会经济现象必须是同质的。、计算平均指标的社会经济现象必须是同质的。 2 2、用组平均数补充总平均数。、用组平均数补充总平均数。、用组平均数补充总平均数。、用组平均数补充总平均数。 3 3、用变量数列补充说明平均数。、用变量数列补充说明平均数。、用变量数列补充说明平均数。、用变量数列补充说明平均数。 4 4、应用平均数应结合变异指标。、应用平均数应结合变异指标。、应用平均数应结合变异指标。、应用平均数应结合变异指标。1、社会经济现象必须是同质的、社会经济现象必须是同质的 计计计计算算算算平平平平均均均均指指指指标标标标要要要要求求求求现现现现象象象象的的的的同同同同质质质质性性性性，这这这这也也也也是是是是平平平平均均均均指指指指标标标标与与与与强强强强度度度度相相相相对对对对指指指指标标标标的的的的主主主主要要要要区区区区别别别别之之之之一一一一。因因因因为为为为，强强强强度度度度相相相相对对对对指指指指标标标标是是是是指指指指两两两两个个个个不不不不同同同同性性性性质质质质的的的的总总总总体体体体量量量量对对对对比比比比，反反反反映映映映某某某某现现现现象象象象总总总总体体体体量量量量在在在在另另另另一一一一有有有有联联联联系系系系总总总总体体体体范范范范围围围围内内内内的的的的普普普普及及及及程程程程度度度度或或或或密密密密集集集集程程程程度度度度。而而而而平平平平均均均均指指指指标标标标用用用用作作作作对对对对比比比比的的的的是是是是同同同同一一一一总总总总体体体体的的的的标标标标志志志志值值值值总总总总量量量量和和和和单单单单位位位位数数数数总总总总量量量量，反反反反映映映映总总总总体体体体内内内内各单位标志值的平均。各单位标志值的平均。各单位标志值的平均。各单位标志值的平均。2、用组平均数补充总平均数、用组平均数补充总平均数 尽尽尽尽管管管管平平平平均均均均指指指指标标标标是是是是以以以以同同同同质质质质性性性性为为为为其其其其计计计计算算算算的的的的前前前前提提提提，但但但但是是是是总总总总体体体体各各各各单单单单位位位位的的的的标标标标志志志志值值值值之之之之间间间间还还还还存存存存在在在在着着着着差差差差异异异异, , , ,这这这这些些些些差差差差异异异异直直直直接接接接影影影影响响响响着着着着总总总总体体体体平平平平均均均均指指指指标标标标。因因因因此此此此，还还还还要要要要进进进进一一一一步步步步利利利利用用用用分分分分组组组组法法法法，按按按按反反反反映映映映重重重重要要要要差差差差别别别别的的的的标标标标志志志志值值值值把把把把总总总总体体体体单单单单位位位位进进进进行行行行分分分分组组组组，计计计计算算算算组组组组平平平平均数，用来补充说明总体平均数。均数，用来补充说明总体平均数。均数，用来补充说明总体平均数。均数，用来补充说明总体平均数。3、用变量数列补充说明平均数、用变量数列补充说明平均数 平平平平均均均均指指指指标标标标只只只只反反反反映映映映现现现现象象象象的的的的一一一一般般般般水水水水平平平平，不不不不能能能能揭揭揭揭示示示示出出出出各各各各部部部部分分分分的的的的差差差差异异异异程程程程度度度度及及及及其其其其分分分分配配配配状状状状况况况况, , , ,为为为为进进进进一一一一步步步步分分分分析析析析问问问问题题题题，需需需需要要要要编编编编制制制制分分分分配配配配数数数数列列列列和和和和更更更更深深深深入入入入的的的的收收收收集集集集现现现现象象象象的的的的典典典典型型型型资资资资料料料料，以以以以观观观观察察察察先先先先进进进进部部部部分分分分和和和和后后后后进进进进部部部部分的情况及其变化程度。分的情况及其变化程度。分的情况及其变化程度。分的情况及其变化程度。4、应用平均数应结合变异指标、应用平均数应结合变异指标 平平平平均均均均指指指指标标标标与与与与变变变变异异异异指指指指标标标标是是是是反反反反映映映映总总总总体体体体分分分分布布布布的的的的两两两两个个个个重重重重要要要要特特特特征征征征指指指指标标标标。平平平平均均均均指指指指标标标标反反反反映映映映总总总总体体体体各各各各单单单单位位位位标标标标志志志志值值值值的的的的集集集集中中中中趋趋趋趋势势势势，变变变变异异异异指指指指标标标标反反反反映映映映总总总总体体体体各各各各单单单单位位位位标标标标志志志志值值值值的的的的离离离离中中中中趋趋趋趋势势势势。只只只只有有有有用用用用变变变变异异异异指指指指标标标标衡衡衡衡量量量量平平平平均均均均指指指指标标标标的的的的代代代代表表表表性性性性，说说说说明明明明平平平平均均均均指指指指标标标标反反反反映映映映总总总总体体体体一一一一般般般般水水水水平平平平的的的的有有有有效效效效程程程程度，才能使我们对问题的分析更可靠。度，才能使我们对问题的分析更可靠。度，才能使我们对问题的分析更可靠。度，才能使我们对问题的分析更可靠。思考题与习题思考题与习题1、算术平均数和强度相对数有何区别？、算术平均数和强度相对数有何区别？2、加权和加权、加权和加权H在计算上有何不同？在计算上有何不同？3、平均指标的计算原则是什么？、平均指标的计算原则是什么？4、平均指标的特点和作用是什么？、平均指标的特点和作用是什么？