旋涡理论旋涡理论( (vortex theory) )本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容。本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容。 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究存在旋涡运动的流场存在旋涡运动的流场旋涡场旋涡场: :即流场中即流场中课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 本章讨论内容：本章讨论内容：1.1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）度速度环量）2.2.司托克斯定理司托克斯定理3.3.汤姆逊定理汤姆逊定理4.4.海姆霍兹定理海姆霍兹定理5.5.毕奥沙伐尔定理毕奥沙伐尔定理6.6.旋涡诱导速度的一般提法旋涡诱导速度的一般提法7.7.兰金组合涡兰金组合涡 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余的地方则为无旋区域。的地方则为无旋区域。 自然界中如龙卷风自然界中如龙卷风, ,桥墩后面规则的双排涡桥墩后面规则的双排涡列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。有旋运动：有旋运动：x x,y y,z z在流场中不全为零的流动在流场中不全为零的流动园盘绕流尾流场中的旋涡园盘绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡弯曲槽道内的二次流弯曲槽道内的二次流 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。的无旋运动。 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。噪声等问题密切相关。与压力差、质量力和粘性力等与压力差、质量力和粘性力等因素有关。因素有关。旋涡的产生：旋涡的产生：旋涡场的几个基本概念：旋涡场的几个基本概念： 涡线上所有流体质点在涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。与此线相切。涡线涡线(vortex line)(vortex line)：一、涡线一、涡线, ,涡管涡管, ,旋涡强度旋涡强度涡线微分方程：涡线微分方程：取涡线上一段微弧长取涡线上一段微弧长该处的旋转角速度该处的旋转角速度 由由涡涡线线的的定定义义（涡涡矢矢量量与与涡涡线线相相切切），得得涡涡线微分方程式：线微分方程式： 若已知若已知 ，积分上式可得涡线。积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将看成参数。取定与流线的积分一样，将看成参数。取定值就得到该瞬时的涡线。值就得到该瞬时的涡线。涡管涡管（ vortex tube vortex tube ）：）： 在旋涡场中任取一微小封闭曲线在旋涡场中任取一微小封闭曲线C C（不是不是涡线），过涡线），过C C上每一点作涡线，这些涡线形成上每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称涡管。的管状曲面称涡管。 涡管中充满着作旋转运动的涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无流体，称为涡束。截面积为无限小的涡束称为涡索（涡丝）。限小的涡束称为涡索（涡丝）。涡丝涡丝（vortex filamentvortex filament）：）：则则 d dn ndd为为dd上的上的旋涡强度旋涡强度( (涡通量涡通量) )若若是涡管的截面，则称为是涡管的截面，则称为涡管强度涡管强度。问题：式问题：式（5-35-3）与前面学过的什么公式类似？）与前面学过的什么公式类似？任取微分面积任取微分面积dd， 法线分量为法线分量为沿沿面积分得旋涡强度：面积分得旋涡强度：表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量二、速度环量（二、速度环量（velocity circulationvelocity circulation）某瞬时在流场中任取曲线某瞬时在流场中任取曲线ABAB ：速度矢在积分路径方向的分量沿该：速度矢在积分路径方向的分量沿该 路径的线积分。路径的线积分。速度环量速度环量定义定义在在 向的投影向的投影微元弧微元弧A B 速度环量是速度环量是标量标量，速度方向与积分，速度方向与积分ABAB曲线方曲线方向相同时（成锐角）为正向相同时（成锐角）为正, ,反之为负。反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即线积分方向相反的速度环量相差一负号，即ABABBABA速度环量的其他表示形式：速度环量的其他表示形式：沿封闭周线沿封闭周线C C的速度环量的速度环量C C对于无旋流场对于无旋流场:对于有旋场对于有旋场:速度环量的计算速度环量的计算1) 1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量由公式由公式 计算计算2. 2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场对于无旋场:对于有旋场对于有旋场:此式称为斯托克斯定理此式称为斯托克斯定理 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环等于该沿任意闭曲线的速度环等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍度的两倍, ,即即 J或或斯托克斯定理：斯托克斯定理：环量与旋涡强度通过线积分环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。与面积分联系起来了。0 0c cd da ab bdxdxx xy ydydy 证证 明明: :流场中取微元矩形流场中取微元矩形abcdabcd而而微矩形面积微矩形面积dsds上上的环量：的环量：将将C域分为若干微矩形域分为若干微矩形, 对各微分面积求对各微分面积求d 推广到有限大平面推广到有限大平面 两邻矩形公共边积分两邻矩形公共边积分反向反向, ,速度环量其和为零。速度环量其和为零。内部线段环量相互抵消，内部线段环量相互抵消，只剩外部边界的环量。只剩外部边界的环量。证毕证毕上述斯托克斯定理只适用于上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域单连通区域” C C 所包围的区域所包围的区域内全部是流内全部是流体，没有固体或空洞。体，没有固体或空洞。单连通区域：单连通区域：C C的内部有空洞或者包的内部有空洞或者包含其他的物体含其他的物体。复连通域复连通域( (多连通域多连通域) )：ABAB线将线将切开，则沿周线切开，则沿周线ABBABB，A A，EAEA前进所围的区域前进所围的区域为单连通域。为单连通域。用斯托克斯定理有用斯托克斯定理有: :CC区域在走向的左侧区域在走向的左侧C积分路线相反，抵消掉了。积分路线相反，抵消掉了。：沿外边界逆时针的环量：沿外边界逆时针的环量L L ：沿内边界顺时针的环量：沿内边界顺时针的环量最后有最后有这就是双连通域的斯托克斯定理。这就是双连通域的斯托克斯定理。 反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为零的结论。零，可得处处为零的结论。推论一推论一 单连域内的无旋运动，流场中单连域内的无旋运动，流场中处处处处 为为零零，则沿任意封闭周线的速度环量为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。推论二推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。个封闭周线的环量彼此相等。则则 有：有：即即即即 (与积分路径方向一致时与积分路径方向一致时)C（3 3）正压流体（流体密度仅为压力的数）正压流体（流体密度仅为压力的数）假设：假设：（1）理想流体；）理想流体；（2）质量力有势；）质量力有势；沿流体质点组成的任一封闭流体沿流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变周线的速度环量不随时间而变. . 汤姆逊定理汤姆逊定理: :即即汤姆逊定理汤姆逊定理证明证明: :C上微分长上微分长 经经dtdt时间后移到时间后移到CC，移动速度移动速度导数：导数：第二项积分可写成第二项积分可写成 因此因此CC由欧拉方程由欧拉方程而积分式而积分式第一项积分可写成第一项积分可写成 若质量力有势若质量力有势则若流体正压则若流体正压则证毕证毕所以所以1)1)在理想流体中在理想流体中, ,速度环量和旋涡不生不灭。速度环量和旋涡不生不灭。2)2) 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 2) 推论推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。就永远无旋涡和速度环量。 例如，从静止开始的波浪运动，由于流例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。浪运动是无旋运动。注意注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。的存在，这极薄一层为有旋运动。 又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋运动。保持为无旋运动。海姆霍兹定理海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）涡管上任取截面涡管上任取截面和和，并将涡管表面在，并将涡管表面在处切开。处切开。由斯托克斯定理由斯托克斯定理0因为因为 内内所以所以因为因为故得故得 即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截面上的旋涡强度都相同。面上的旋涡强度都相同。若涡管很小，若涡管很小， 垂直于垂直于 d ，则上式可写成，则上式可写成d const.由斯托克斯定理上式写成由斯托克斯定理上式写成: :或而而结论：结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则开始，否则时有时有。不可能的情况因为因为涡管存在的形式涡管存在的形式：要么终止于：要么终止于流体边界或固体边界，要么自流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。行封闭形成涡环。海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理涡管保持定理涡管保持定理 正压、理想流体在有势质量力作用下，正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。证明：证明：涡管表面上取封闭流体周线涡管表面上取封闭流体周线C由斯托克斯定理知沿周线由斯托克斯定理知沿周线C C的的 =0=0涡管涡管由汤姆逊定理该速度环量永远为零由汤姆逊定理该速度环量永远为零即即C C所围的区域永远没有涡线通过。所围的区域永远没有涡线通过。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。但涡管的形状和位置可能随时间变化。海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变涡管旋涡强度不随时间而变 正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。的旋涡强度不随时间而变。 由斯托克斯定理知由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该，又汤姆逊定理知该速度环量不随速度环量不随时间变时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。粘性流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。因为流体的粘性将导致剪切、速度等因为流体的粘性将导致剪切、速度等参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时间衰减。间衰减。毕奥一沙伐尔定理毕奥一沙伐尔定理已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题要讨论的问题问题的前提：问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其流场中只存在一部分旋涡，其 它区域全为无旋区。它区域全为无旋区。例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场旋涡诱导速度场。涡丝诱导的速度场的计算涡丝诱导的速度场的计算: 为了求为了求涡丝涡丝诱导速度场，现将电磁场中诱导速度场，现将电磁场中的毕奥的毕奥沙伐尔定理引用过来。沙伐尔定理引用过来。诱导速度场与电磁场的类比诱导速度场与电磁场的类比带电导线带电导线 涡丝涡丝(线线)电流强度电流强度 旋涡强度旋涡强度 诱导磁场强度诱导磁场强度 诱导速度场诱导速度场磁磁 场场诱导速度场诱导速度场电磁场与诱导速度场的类比电磁场与诱导速度场的类比场点场点 电磁学中，电流强度为的导线，微元导电磁学中，电流强度为的导线，微元导线线dsds对场点所产生的磁场强度由对场点所产生的磁场强度由毕奥毕奥沙沙伐尔公式伐尔公式得得: :垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法则确定。和所在的平面，按右手法则确定。: ds离场点离场点P的矢径的矢径式中：式中：: 是是ds与的夹角与的夹角dH的方向的方向:流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式 旋涡强度为（环量旋涡强度为（环量2 2）的）的dsds段涡丝段涡丝对于点所产生的诱导速度：对于点所产生的诱导速度： 流场中单一有限长涡丝在流场中单一有限长涡丝在P P点的诱导速度沿点的诱导速度沿整个涡丝积分：整个涡丝积分：该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场 流场中多条涡丝可组成一涡面流场中多条涡丝可组成一涡面, , 每条每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。速度场可以看成是涡丝诱导出来的。典型实例：无限长直涡丝典型实例：无限长直涡丝dxdx段对点的诱段对点的诱导速度是：导速度是：直涡丝直涡丝段对点的段对点的诱导速度：诱导速度：方向垂直于纸面向外方向垂直于纸面向外= =1801.1.对于无限长直涡对于无限长直涡丝：丝：2.2.对于半无限长直涡丝：对于半无限长直涡丝：=90 =180 在垂直于无限长直涡丝的任何平面内在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动流动都是相同的，可视为二维流动都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面相当于一个平面点涡。如环量为点涡。如环量为，则在平面极坐标内的诱导速，则在平面极坐标内的诱导速度为度为:R R为场点至点涡的距离为场点至点涡的距离已证明这种速度场是无旋的。已证明这种速度场是无旋的。 如图强度相等的两点涡的初始位置，试如图强度相等的两点涡的初始位置，试就就(a)(a)和和(b)(b)两种情况决定此两点涡的运动。两种情况决定此两点涡的运动。兰金（兰金（Rankin）组合涡）组合涡 设流场中有一半径为的无限长圆柱形设流场中有一半径为的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。 已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就是速度就是。 这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。旋涡内部和外部分开。一、速度分布一、速度分布（1 1）旋涡内部：）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动流体象刚体一样绕中心转动（r R）式中：式中：外部流速与成反比。外部流速与成反比。二、压力分布二、压力分布（1 1）旋涡外部：）旋涡外部：流动定常且无旋流动定常且无旋由欧拉积分式确定速度和压力的关由欧拉积分式确定速度和压力的关系。略去质量力有：系。略去质量力有：由边界条件由边界条件，该处该处0 0，则有，则有0 0 压力分布压力分布为：为：（rR）结论：结论：1.1.愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。2.在旋涡边界上，在旋涡边界上，r=Rr=R，V V V VR R，如相应，如相应 的压力为的压力为P P 则则即在边缘即在边缘R R上，压力较无穷远处下降了上，压力较无穷远处下降了 （2 2）旋涡内部）旋涡内部: :定常有旋流动定常有旋流动由伯努利方程有：由伯努利方程有：流线为同心圆族，不同流线上压力不同。流线为同心圆族，不同流线上压力不同。由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力）由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力）求解：求解：因因 V Vx xyy，V Vy y，代入上式得：，代入上式得：将以上两式分别乘将以上两式分别乘 的的dxdx 和和 dydy， 再相加得：再相加得：或或积分得：积分得：在旋涡边缘上：在旋涡边缘上：旋涡内部压力分布：旋涡内部压力分布：代入代入得得 旋涡中心旋涡中心旋涡中心的相对压力为旋涡中心的相对压力为旋涡外部旋涡外部:速度越大压力越小速度越大压力越小旋涡内部旋涡内部:速度越小压力越小速度越小压力越小兰金（兰金（RankineRankine）涡）涡: :具有自由表面流场中的铅具有自由表面流场中的铅 直方向的圆柱形涡。直方向的圆柱形涡。压力分布：压力分布：重力的影响重力的影响r rR R R区域，水面凹区域，水面凹陷与陷与2 2成反比成反比 水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向外逐渐减少，作为一种近似，可认为是由涡外逐渐减少，作为一种近似，可认为是由涡量均匀分布的核心部分（称涡核）和其外部量均匀分布的核心部分（称涡核）和其外部的无旋流动两部分所组成。的无旋流动两部分所组成。可直接应用本节可直接应用本节的结果。的结果。实际情况：实际情况： 兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物理模型。的物理模型。 例例5.2 设流场的速度分布为设流场的速度分布为V Vr r， V V= = rr， constconst，求涡线方程。，求涡线方程。解：解：容易验证容易验证: : x xy y涡线方程涡线方程:积分得积分得: : = =1 1 = =2 2 垂直于垂直于xoyxoy平面的直线平面的直线例例5.3 5.3 在大圆内包含了在大圆内包含了A A、BCBC、D D四个旋涡四个旋涡, , 其强度分别为其强度分别为: : A = B = C = D = 求求: :沿周线沿周线S S的速度环量的速度环量解解: 由斯托克斯定理由斯托克斯定理 S S所围区域内速度环量为零，但该区域内并所围区域内速度环量为零，但该区域内并非处处无旋。非处处无旋。求求: :绕圆心的速度环量绕圆心的速度环量例例5.4 已知速度场已知速度场所以所以解：解： 在极坐标下在极坐标下1.1.由伯努利方程知不计重力影响下，速度大则由伯努利方程知不计重力影响下，速度大则压力小。对于兰金组合涡，为什么旋涡中心速压力小。对于兰金组合涡，为什么旋涡中心速度小压力最低？而在旋涡边缘速度大压力反而度小压力最低？而在旋涡边缘速度大压力反而比旋涡中心大比旋涡中心大, ,能否从物理上解释能否从物理上解释? ? 讨论讨论